八年级数学 第十二章 12.1~12.4 北京实验版

初二数学第十二章~实验版
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
第十二章平方根、立方根、用科学计算器开方、无理数与实数
二. 教学要求
1. 了解数的平方根、算术平方根、立方根的概念，并能用符号表示它们，通过用平方与开平方、立方与开立方互为逆运算的关系求某些数的平方根和立方根。

2. 了解数系扩展的过程，了解无理数的意义，会按要求对实数进行分类。

3. 了解实数的相反数和绝对值的意义，了解实数与数轴上的点具有一一对应关系，了解有理数的运算律与运算性质在实数X围内仍然成立，能用计算器进行简单的实数运算。

三. 教学重点、难点
（一）重点：平方根及算术平方根的概念、性质及其求法。

（二）难点：无理数的意义。

四. 教学过程
（一）知识要点：
1. 平方根：
（1）定义：一般地，如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根。

即若x a
2=，则x叫做a的平方根，或a的平方根是x。

a的平方根用±a表示，读作“正负二次根号a”。

“”是二次根号，这里“↓
”箭头所指位置省略了“2”，亦可写成“2”
a叫被开方数
（2）性质：
①正数有两个平方根，它们互为相反数。

②零的平方根是零。

③负数没有平方根。

（3）开平方：
求一个数的平方根的运算叫做开平方，开平方和平方运算互为逆运算。

2. 算术平方根：
我们把正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根。

记作“a”（读作“二次根号a”），另一个负的平方根是a的相反数，即-a。

规定：0的算术平方根是0。

注：平方根是它本身的数是零。

算术平方根是它本身的数是零和1。

3. 立方根
（1）定义：一般地，如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫做a的立方根。

即若x a
3=，则x叫做a的立方根（或a的立方根是x）
记作：a
3，读作：三次根号a，3是根指数，a仍和平方根类似，叫被开方数。

（2）性质：正数的立方根是一个正数。

负数的立方根是一个负数。

零的立方根是零。

（3）开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方。

开立方与立方运算为互逆运算，开立方的运算结果是立方根。

（4）立方根是它本身的数是1，0，-1。

（5）-=-a a 33
4. 平方根和立方根的区别：
（1）被开方数的取值X 围不同：在±a 中，a ≥0，在a 3中，a 可以为任意数值。

（2）正数的平方根有两个，而它的立方根只有一个；负数没有平方根，而它有一个立方根。

5. 用科学计算器开方
这部分以同学们自学为主，在这不再复习。

6. 无理数：
无限不循环小数都是无理数。

“π以及和π相关的运算结果都是无理数”
“用根号形式表示且开方开不尽的数是无理数”
以下说法是错误的“（1）无限小数都是无理数；（2）无理数是带根号的数；（3）带根号的数是无理数。

”
无理数也能用数轴上的点表示。

7. 实数：
（1）定义：有理数和无理数统称为实数，用字母R 表示。

（2）实数集分类：
实数有理数正有理数零负有理数有限小数或无限循环小数
无理数正无理数负无理数无限不循环小数⎧⎨⎪⎩⎪⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪⎧⎨⎪⎩⎪⎫⎬⎪⎭⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪ 实数正实数正有理数正整数正分数
正无理数零负实数负有理数负整数负分数负无理数⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
（3）①实数的相反数、倒数、绝对值的意义与在有理数X 围内的意义是一样的。

②实数同有理数一样，可用数轴上的点表示，且实数和数轴上的点一一对应。

③两个实数可以按有理数比较大小的法则比较大小。

④实数可以按有理数的运算法则和运算律进行运算。

（4）实数运算，注意以下三点：
①运算法则和运算律。

②涉及无理数的计算时，可根据问题的要求取其近似值，转化成有理数进行计算。

③在实数X 围内，负数不能进行开平方运算。

【典型例题】
例1. 求下列各数的平方根
（1）361；（2）14449
；（3）；（4）23 分析：依据平方根的定义求解 解：（1）由于()±=193612，所以361的平方根是±19
即±=±36119
（2）由于±⎛⎝ ⎫⎭⎪=12714449
2
所以14449的平方根是±127 即±=±14449127
（3）由于()±=090812.. 所以的平方根是08109..± 即±=±081
09.. （4）由于没有一个有理数的平方数是23，所以23的平方根记作±23
例2. 求下列各数的算术平方根。

（1）81；（2）
2536
；（3）7；（4）0 解：（1）819=；（2）253656= （3）7；（4）00=
例3. 求下列各式的值
（1）196；（2）±169.；（3）()--172
解：（1）196表示196的算术平方根，且141962=
∴=19614
（2）()±±=169169131692
....表示的平方根，且 ∴±=±16913..
（3）()--172表示()-=172892的负的平方根 ()∴-
-=-=-17289172
例4. 求下列各数的立方根
（1）27；（2）-8；（3）12564
；（4）4；（5）64 解：（1）由于3273=，所以3是27的立方根
∴=2733
（2）由于()-=-283
，所以-8的立方根是-2 ∴-=-823
（3）由于+⎛⎝ ⎫⎭⎪=54125643，所以54是12564的立方根 ∴=1256454
3 （4）由于没有一个有理数的立方数是4，所以4的立方根记作43
（5）由于648=，8的立方根是2
∴64的立方根是2，即6423=
例5. 下列各数，哪些是有理数，哪些是无理数？
---⋅-π，，，，，，，，，，314317320031825362131
716... 分析：有理数是无限循环小数和有限小数
无理数是无限不循环小数
解：有理数：-⋅-31417320031825362131
16...，，，，，，， 无理数：--
3π，，7
例6. 某某数-293的相反数和绝对值。

分析：实数的相反数、绝对值的意义与在有理数X 围内一致 解： -293的相反数为--293 而--=292933
∴-292933的相反数为
又 -=-<2929033
∴-=-=||||292929333
（三）小结：
平方根、算术平方根、立方根是由于实际问题的需要而产生的，平方与开平方，立方与开立方互为逆运算，随着开平方、开立方运算的产生，数系扩展了实数，有理数和无理数统称为实数，有理数的相关概念运算法则，大小比较方法在实数内依然适用。

【模拟试题】（答题时间：30分钟）
一. 选择题
1. “25的平方根是±5”的表达式是（）
A. 255=±
B. 255=-
C. ±=±255
D. -=-255 2. 下列说法正确的是（）
A. 9的算术平方根是±3
B. 4是16的算术平方根
是的算术平方根
D. ()-52的算术平方根是-5
3. 下列说法中不正确的是（）
A.
4是有理数 B. 16是无理数 C. 93是实数 D. 273是有理数 4. 下列实数中，有理数的个数有（） π，，，…，，-⋅⋅160250010010001227
53.. A. 2个
B. 3个
C. 1个
D. 4个
二. 填空题
1. 如果一个正数的一个平方根是a ，那么它的另一个平方根是___________。

2. 若±=x x ，则x=___________。

3. 若x x 3=，则x=______________。

4. 如果a 的平方根是±3，则a=_______________。

三. 求下列各式的值
（1）1253；（2）-13；（3）-25；（4）()-
-42；（5）()-22；（6）()-233
四. 求下列各数的相反数和绝对值 （1）-37；（2）-213；（3）23-
；（4）π-11
【试题答案】
一. 选择题
1. C
2. B
3. B
4. B
二. 填空题
1. -a
2. 0
3. ±10，
4. 81
三. （1）5；（2）-1；
（3）-5；（4）-4；
（5）2；（6）-2
四. （1）37，37 （2）212133， （3）32-，32- （4）1111--ππ，。