江西省师范大学附属中学2019高三数学上学期期末测试试题理

江西省师范大学附属中学2019高三数学上学期期末测试试题 理
一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1．集合{}
12A x x =-≤≤，{}
1B x x =<，则()R A C B I =( ) A ．{}
1x x > B ．{}1x x ≥ C ．{}12x x <≤ D ．{}
12x x ≤≤
2．复数(
)
53z i i i =
-+(i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数为( )
A ．2i -
B ．2i +
C ．4i -
D ． 4i + 3．如图是计算
11111
++++246810
值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( ) A ．5k ≥ B ．5k < C ．5k > D ．6k ≤
4．已知平面上三点A 、B 、C 满足3,4,5AB BC CA ===uuu r uuu r uuu r ，则AB BC BC CA CA AB
⋅+⋅+⋅uu u r uu u r uu u r uu r uu r uu u r
的值等于( )
A ．25 B.24 C ．25- D. 24- 5．设2cos
5
a π
=，0.33b =，5log 3c =，则( ) A ．c b a << B ．c a b << C ．a c b << D ． b c a <<
6．已知命题:,2lg p x R x x ∃∈->，命题2
:,0q x R x ∀∈>，则( )
A ．命题p q ∨是假命题
B ．命题p q ∧是真命题
C ．命题()p q ∧⌝是真命题
D ．命题()p q ∨⌝是假命题 7．某几何体的三视图如图（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何
体的表面积为( ) A ．9214π+ B ．8214π+ C ．9224π+ D ．8224π+
8．已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭
，3sin 45
πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭
，则cos =α( )
A
．10
-
B
．
10 C
．10-
或10
D ．
10
-
9．在区间[]1,1-上任取两点a ，b ，方程20x ax b ++=有实数根的概率为p ，则( )
A ．1
02
p <<
B ．
19
216p << C ．
916
1625
p << D ．
16
125
p << 10．在等腰三角形ABC 中，AB AC =，D 在线段AC 上，AD kAC =（k 为常数，且
01k <<），BD l =为定长，则ABC ∆的面积最大值为( )
A ．2
2
1l k - B ． 21l k -
C ．()2
221l k -
D ．()
221l
k -
11．已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数(x R ∈)，如：[]1.32-=-，[]0.80=，[]3.43=．
定义{}[]x x x =-，给出如下命题：
①使[]13x +=成立的x 的取值范围是23x ≤<； ②函数{}y x =的定义域为R ，值域为[]0,1；
③23
20202019201920192019+++=10092020202020202020⎧⎫⎧⎫
⎧⎫⎧⎫⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭
L ． 其中正确的命题有( ) A ． 0个
B ． 1个
C ． 2个
D ． 3个
12．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为1F 、2F ，且两条曲线在第一象限的交点为P ，12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形，若110PF =，椭圆与双曲线的离心率分别为12,e e ，则21e e -的取值范围是( )
A ． 2(,)3+∞
B ． 4(,)3+∞
C ． 2(0,)3
D ． 24(,)33
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13
．2)n
x
-的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则它的常数项是 ．
14．已知实数x ，y 满足约束条件0,,290,x y x x y ≥⎧⎪
≤⎨⎪+-≤⎩
则3z x y =+的最大值等于 ．
15．设集合{}1,2,3,4,5,6,7,8S =，集合{}123,,A a a a =，A S ⊆，123,,a a a 满足123a a a <<且325a a -≤，那么满足条件的集合A 的个数为 ．
16．若一个四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球的体积最小时，它的高为 ．
三、解答题:本大题共6小题，共70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知函数()213
22
f x x x =
+，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点()(),n n S n N *∈均在函数()y f x =的图象上.
（I ）求数列{}n a 的通项公式n a ； （II ）令1
1n n n n n
a a c a a ++=
+，证明：121
222
n n c c c n <+++<+L .
18．（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，已知11190B C A ∠=︒，11AB A C ⊥，且1AA AC =. （Ⅰ）求证：平面11ACC A ⊥平面111A B C ；
（Ⅱ）若11112AA AC B C ===，求二面角111C AA B --的余弦值．
19．（本小题满分12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n ，如果3n =，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果4n =，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验． 假设这批产品的优质品率为50％，即取出的每件产品是优质品的概率都是1
2
，且各件产品是否为优质品相互独立．
（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；
（Ⅱ）已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X （单位：元），求X 的分布列及数学期望．
20．（本小题满分12分）平面直角坐标系xOy 中，椭圆22
22:1(0)x y a b a b
∑+=>>的离心率
为
3
1F 、2F ，直线:20l x y +-=经过焦点2F ，并与∑相交于A 、B 两点． （Ⅰ）求∑的方程；
（Ⅱ）在∑上是否存在C 、D 两点，满足CD //AB ，11F C F D =？若存在，求直线CD 的方程；若不存在，说明理由．
21．（本小题满分12分）已知函数()ln ln u x x x x =-，()v x x a =-，()a
w x x
=，三个函数的定义域均为集合{}
1A x x =>．
（Ⅰ）若()()u x v x ≥恒成立，满足条件的实数a 组成的集合为B ，试判断集合A 与B 的关
系，并说明理由；
（Ⅱ）记[]()()()()()2w x G x u x w x v x ⎡⎤
=--
⎢⎥⎣⎦
，是否存在m N +∈，使得对任意的实数(),a m ∈+∞，函数()G x 有且仅有两个零点？若存在，求出满足条件的最小正整数m ，
若不存在，请说明理由．
（以下数据供参考： 2.7183e ≈，)
ln 10.8814≈）
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B
铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合．直线l 的极坐标方
程为：1
sin()6
2π
ρθ-
=
，曲线C 的参数方程为：22cos (2sin x y ααα
=+⎧⎨
=⎩为参数）．
（I ）写出直线l 的直角坐标方程；
（Ⅱ）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()|2||2|f x x x =+--， （I ）解不等式()2f x ≥；
（Ⅱ）当x R ∈，01y <<时，证明：11|2||2|1x x y y
+--≤
+-．
2018-2018学年度江西师大附中高三上学期期末数学（理）答案
1． D 2．A 3．C 4．C 5．C 6．C 7．A 8. A 9．B 10．C 11．B ． 12．A 13． 112 14． 12 15．55 16．3h = 17．
解析：（1）Q 点(),n n S 在()f x 的图象上，213
22
n S n n ∴=+， 当2n ≥时，11n n n a S S n -=-=+；
当1n =时，112a S ==适合上式，()
1n a n n N *
∴=+∈；
（2
）证明：由1112221n n n n n a a n n c a a n n ++++=
+=+>=++， 122n c c c n ∴+++>L ，又1211
22112
n n n c n n n n ++=
+=+-++++， 1211111
12233412n c c c n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L
11122222n n n =+
-<++，121
222
n n c c c n ∴<+++<+L 成立．
18．.
【解析】（1）证明：连接1AC ，在平行四边形11A ACC 中， 由AC AA =1得平行四边形11A ACC 为菱形，所以11AC C A ⊥， 又11AB C A ⊥，所以111C AB C A 面⊥，所以111C B C A ⊥，
又1111C B C A ⊥，所以1111A ACC C B 面⊥，所以平面11ACC A ⊥平面111A B C （2）取11C A 的中点O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，则11A ACC 面的法向量为
)0,0,1(=，
设面11AA B 的法向量为),,(z y x =，
因为)0,1,2(),3,0,0(),0,1,0(11B A A -，所以)
0,2,2(),3,1,0(11==B A A A 由11303220z A A n y z A B n x y x y ⎧⎧=⋅==⎪⎪
⇒⎨⎨⋅=+=⎪⎪⎩=-⎩
u u u r r u u u r r
，令3-=y ，则)1,3,3(-= 设所求二面角为θ，则7
21
cos cos =
=n m θ， 故二面角111C AA B --的余弦值为217
． 19 解：
（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品的事件为A 1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A 2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B 1，第二次取出的1件产品是优
质品为事件B 2，这批产品通过检验为事件A ，依题意有()1122()A A B A B =U ，且11A B 与22
A B 互斥，所以()()()()()()
1122111222()P A P A B P A B P A P B A P A P B A =+=+
41113
161616264
=
⨯+⨯=. （Ⅱ）X 可能的取值为400，500，800，并且
()41114001161616P X ==-
-=，()150016P X ==，()1
8004
P X ==，所以X 的分布列为
期望506.25EX = 20．
解：（Ⅰ）∵直线:20l x y +-=经过焦点2F ， ∴()22,0F ，即2c =； 又e =
，∴a b == ∴椭圆∑的方程为22
162
x y +=；
（2）（方法一）若存在满足条件的直线CD ， ∵CD ∥AB ，∴k CD =k AB =﹣1，
设直线CD 的方程为y x m =-+，由22
162
x y y x m ⎧+
=⎪⎨⎪=-+⎩
， 得2246360x mx m -+-=， ∴296120m ∆=->；（*） 设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），
则1232m x x +=，21236
4
m x x -=；
由已知11F C F D =，若线段CD 的中点为E ，则F 1E ⊥CD ，∴11F E k =；
又()12,0F -，
3,44m m E ⎛⎫
⎪⎝
⎭； 故14=1324
F E m
k m =+，解得4m =-； 当4m =-时，296120m ∆=-<，这与（*）矛盾， ∴不存在满足条件的直线CD ． 21．
（Ⅰ）()()ln ln ()u x v x a x x x x m x ≥⇒≥-+=
()1
()ln ,1,m x x x x
'=
-∈+∞， 已知1
()ln m x x x '=-在()1,+∞上单调递减，
()(1)1m x m ''∴<=，
存在()01,x ∈+∞，使得0()=0m x '，
函数()m x 在()01,x x ∈上单调递增，在()0,x x ∈+∞上单调递减，0()a m x ≥， 由0()=0m x '得001ln x x =
，00
1
()=11m x x x +->，1,a B A ∴>⊆． （Ⅱ）令()()()ln ln a
f x u x w x x x x x
=-=--
， ()()()(),1,22w x a
g x v x x a x x
=-
=--∈+∞， ()21(1)()ln 10,1,a
f x x x x x '=+-+>∈+∞，
由于(),a m ∈+∞，()1,(1)0,,a f a x f x ⇒>=-<→+∞→+∞，
由零点存在性定理可知，()1,a ∀∈+∞，函数()f x 在定义域内有且仅有一个零点．
()2(2)()10,1,2a g x x x '=+
>∈+∞，3(1)102
a g =-<，(),x g x →+∞→+∞， 同理可知()1,a ∀∈+∞，函数()g x 在定义域内有且仅有一个零点．
()3假设存在()01,x ∈+∞，使得00()=()=0f x g x ，
2
000000ln ln ,
2a x x x x a x a x ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩
，消a ，得002
002ln 021x x x x -=--． 令22()ln 21x h x x x x =---，()
2
22142()021x h x x x x +'=+>--， ()h x ∴单调递增．
44132(2)ln 2ln 055h e =-
=<Q
，0.88140h =->
，()
0x ∴∈，
此时
20
0001181,21125422x a x x x ⎛⎫=
=++-∈ ⎪⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝
⎭， ∴满足条件的最小正整数2m =．
22．
【解析】（Ⅰ）1sin()6
2
π
ρθ-
=
Q
11cos )22ρθθ∴-=
，1122
y x -=
，10x -+=.…………5分 （Ⅱ）解法一：由已知可得，曲线上的点的坐标为(22cos ,2sin )αα+ 所以，曲线C 上的点到直线l 的距离
4cos()37322
d π
α++==≤
………10分 解法二：曲线C 为以(2,0)为圆心，2为半径的圆.圆心到直线的距离为3
2
所以，最大距离为37
222
+= ………10分 23．
【解析】（Ⅰ）由已知可得：4,
2()2,224,2x f x x x x ≥⎧⎪
=-<<⎨⎪-≤-⎩
所以，()2f x ≥的解集为{1}x x ≥. …………………5分 (II)由（Ⅰ）知，224x x +--≤；
11111()[(1)]24111y y
y y y y y y y y -+=++-=++≥--- 11
221x x y y
∴+--≤
+-. ……………………10分。