人教A版高一数学必修1达标训练：1.3.1单调性与最大(小值)_含解析

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基础·巩固·达标
1.下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是（ ）
A.y=3-x
B.y=x 2+1
C.y=
x 1 D.y=-|x| 思路解析：y=3-x ，y=
x 1，y=-|x|，在（0，2）上都是减函数，y=x 2+1在（0，2）上是增函数.
答案：B
2.已知函数f （x ）=x
3，则下列区间不是递减区间的是（ ） A.（0，+∞） B.（-∞，0）
C.（-∞，0）∪（0，+∞）
D.（1，+∞）
思路解析：f （x ）=x
3的递减区间有两个，即（-∞，0），（0，+∞）. 答案：C
3.设函数f （x ）=（2a-1）x+b 是R 上的减函数，则有（ ）
A.a ≥
21 B.a ≤21 C.a ＞-21 D.a ＜2
1 思路解析：由已知f （x ）为一次函数，且2a-1＜0，解得a ＜21. 答案：D
4.小刚离家去学校由于怕迟到，所以一开始就跑步，跑累了再走余下的路程.在下图所示中，纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图象中较符合小刚走法的是（ ）
答案：D
5.函数f （x ）=2x 2-mx+3，当x ∈［-2，+∞）时为增函数，x ∈（-∞，-2］时为减函数，则f
（1）等于（ ）
A.-3
B.13
C.7
D.由m 而定
思路解析：二次函数的对称轴为x=4m ，由条件，得4
m =-2，所以m=-8.所以f （x ）=2x 2+8x+3，所以f （1）=2+8+3=13.
答案：B
6.(经典回放)g （x ）=x （2-x ）的递增区间依次是（ ）
A.(-∞，0]，(-∞,1]
B.(-∞，0]，［1，+∞)
C.［0，+∞)，(-∞，-1]
D.［0，+∞］，［1，+∞］
思路解析：由于f(x)=|x|=⎩⎨⎧>-≥.0,,0,
x x x x g(x)=-(x-1)2+1，结合图象易知选C.
答案：C
7.已知函数f （x ）在区间（-1，1）上是减函数，且f （a 2-1）＜f （a-1），则a 的取值范围是 ______________________.
思路解析：∵1>a 2-1>-1得0＜a ＜2或-2＜a ＜0.又由1>a-1>-1得0＜a ＜2，
所以，要使f （a 2-1）、f （a-1）有意义，则0＜a ＜2 ① 又f （x ）在（-1，1）上是减函数，由f （a 2-1）＜f （a-1）得a 2-1>a-1,即a>1或a ＜0 ② 综合①②可得，1＜a ＜2.
答案：1＜a ＜2
8.当|x|≤1时，函数y=ax+2a+1的值有正也有负，则实数a 的取值范围是_______________. 思路解析：∵f （x ）=ax+2a+1在［-1，1］时，f （x ）有正也有负，
∴f （-1）·f （1）＜0，即（a+1）（3a+1）＜0.
∴-1＜a ＜-
3
1. 答案：（-1，-31） 综合·应用·创新
9.已知f （x ）满足f （-x ）=f （x ），定义域为R 且当x ≥0时单调递增，若f （π）＜f （m ），则m 的取值范围是__________________.
思路解析：f （x ）满足f （-x ）=f （x ），定义域为R ，且x ≥0时递增，则x ＜0时递减，又f （π）＜f （m ），∴π＜|m|，即m>π或m ＜-π.
答案：（-∞，-π）∪（π，+∞）
10.（经典回放）f(x)=a|x-b|+2在[0,+∞]上为增函数,则实数a 、b 的取值范围是____________. 答案：a>0且b ≤0
11.已知A=［1，b ］（b ＞1），对于f （x ）=
21（x-1）2+1，若x ∈A ，f （x ）∈A ，试求b 的取值范围.
答案：∵f （x ）=21（x-1）2+1的图象是抛物线，2
1>0，∴开口向上，顶点坐标是（1，1）. 当x ∈［1，b ］时，f （x ）单调递增.
当x=b 时，f （x ）max =f （b ）∈［1，b ］.∴f （b ）≤b ， 即2
1（b-1）2+1≤b ，b 2-4b+3≤0.解得1≤b ≤3. ∵b>1，∴1＜b ≤3为所求.
12.已知函数f （x ）=x+x
1， （1）求函数的定义域；
（2）证明f （x ）在（0，1］上是减函数，在［1，+∞）上为增函数；
（3）求函数f （x ）在区间（0，+∞）上的最小值；
（4）根据以上函数的性质作出f （x ）在区间（0，+∞）上的图象.
（1）解：函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）.
（2）证明：设x 1、x 2是（0，1）上的任意两个实数，且x 1＜x 2，则f （x 2）-f （x 1）=（x 2+21x ）-（x 1+11x ）=（x 2-x 1）+（21x -1
1x ）=（x 2-x 1）+2121x x x x =（x 2-x 1）（1-211x x ）. ∵x 1、x 2∈（0，1］，
∴0＜x 1x 2＜1，2
11x x ＞1. ∴1-2
11x x ＜0. 又∵x 2-x 1＞0，
∴f （x 2）-f （x 1）＜0，即f （x 2）＜f （x 1）.
∴函数f （x ）=x+
x
1在（0，1）上是减函数. 同理可证f （x ）=x+x
1在［1，+∞］上是增函数. （3）解：∵函数f （x ）=x+x 1在（0，1］上是减函数， ∴当x=1时，函数取最小值y min =f （1）=1+1=2.
又∵f （x ）=x+x
1在［1，+∞）上是增函数，∴当 x=1时，也取最小值y min =f （1）=1+1=2 . 综上所述，函数在（0，+∞）上的最小值为2.
（4）解：函数的图象如下图：。