【压轴卷】高三数学下期末一模试题含答案

【压轴卷】高三数学下期末一模试题含答案
一、选择题
1．函数ln ||
()x
x f x e =
的大致图象是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
2．123{
3
x x >>是12126{
9
x x x x +>>成立的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．即不充分也不必要条件
3．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 A ．10
B ．11
C ．12
D ．15
4．已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(⌝q )；④(⌝p )∨q 中，真命题是( ) A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．②④
5．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有（ ） A ．20种
B ．30种
C ．40种
D ．60种
6．已知函数()(3)(2ln 1)x
f x x e a x x =-+-+在(1,)+∞上有两个极值点，且()f x 在
(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(,)e +∞
B ．2(,2)e e
C ．2(2,)e +∞
D ．22(,2)(2,)e e e +∞U 7．由a 2，2﹣a ，4组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是（ ） A ．1
B ．﹣2
C ．6
D ．2
8．设0＜a ＜1，则随机变量X 的分布列是
X
a 1 P
13 13
13
则当a 在（0，1）内增大时（ ） A ．()D X 增大 B ．()D X 减小 C ．()D X 先增大后减小
D ．()D X 先减小后增大 9．已知锐角三角形的边长分别为2，3，x ，则x 的取值范围是（ ） A ．513x << B ．135x << C ．25x <<
D ．55x <<
10．已知,a b r r 是非零向量且满足(2)a b a -⊥r r r
，(2)b a b -⊥，则a r 与b r 的夹角是（ ）
A ．
6
π B ．
3
π C ．
23
π D ．
56
π 11．已知a R ∈，则“0a =”是“2
()f x x ax =+是偶函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
12．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ） A ．
54
钱 B ．
43
钱 C ．
32
钱 D ．
53
钱 二、填空题
13．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3
A π
=
，3a =，b=1,则
c =_____________
14．如图所示，平面BCC 1B 1⊥平面ABC ，∠ABC ＝120︒，四边形BCC 1B 1为正方形，且AB ＝BC ＝2，则异面直线BC 1与AC 所成角的余弦值为_____．
15．若x，y满足约束条件
x y10
2x y10
x0
--≤
⎧
⎪
-+≥
⎨
⎪≥
⎩
，则
x
z y
2
=-+的最小值为______．
16．设a R
∈，直线20
ax y
-+=和圆
22cos,
12sin
x
y
θ
θ
=+
⎧
⎨
=+
⎩
（θ为参数）相切，则a的值为
____.
17．ABC
V的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2
b=，3
c=，2
C B
=，则ABC
V的面积为______．
18．如图，长方体1111
ABCD A B C D
-的体积是120，E为
1
CC的中点，则三棱锥E-BCD的体积是_____.
19．若45100
a b
==，则
12
2()
a b
+=_____________．
20．在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m=
_________．
三、解答题
21．已知平面直角坐标系xoy.以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P点的
极坐标为23,
6
π
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，曲线C的极坐标方程为223sin1
ρρθ
+=
（1）写出点P的直角坐标及曲线C的普通方程；
（2）若Q为C上的动点，求PQ中点M到直线
32
:
2
x t
l
y t
=+
⎧
⎨
=-+
⎩
（t为参数）距离的最小值. 22．已知复数12i
z m
=-，复数
2
1i
z n
=-，其中i是虚数单位，m，n为实数.
（1）若1
m=，1
n=-，求
12
z z
+的值；
（2）若2
12
z z
=，求m，n的值.
23．设函数()15,
f x x x x R
=++-∈.
（1）求不等式()10
f x≤的解集；
（2）如果关于x的不等式2
()(7)
f x a x
≥--在R上恒成立，求实数a的取值范围.
24．
已知函数2()sin(
)sin 2
f x x x x π
=-.
(1)求()f x 的最小正周期和最大值； (2)求()f x 在2[
,]63
ππ
上的单调区间
25．（选修4-4：坐标系与参数方程） 在平面直角坐标系xOy
，已知曲线:sin x a
C y a
⎧=⎪⎨
=⎪⎩（a 为参数），在以O 原点为极点，
x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l
的极坐标方程为cos()124
π
ρθ+=-． （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；
（2）过点()1,0M -且与直线l 平行的直线1l 交C 于A ，B 两点，求点M 到A ，B 的距离之积．
26．已知0,0a b >>. (1)
211a b
≥
+ ；
(2)若a b >，且2ab =，求证：22
4a b a b
+≥-．
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一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】
由函数解析式代值进行排除即可. 【详解】 解：由()x
ln x f x =e
，得()f 1=0，()f 1=0-
又()1f e =
0e e >，()1f e =0e e
--> 结合选项中图像，可直接排除B ，C ，D
故选A 【点睛】
本题考查了函数图像的识别，常采用代值排除法.
2．A
解析：A 【解析】 试题分析：因为123{
3
x x >>12126{
9
x x x x +>⇒>，所以充分性成立；1213{
1
x x ==满足12126{
9
x x x x +>>，但
不满足123{
3
x x >>，必要性不成立，所以选A.
考点：充要关系
3．B
解析：B 【解析】 【分析】 【详解】
由题意知与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类： 第一类：与信息0110有两个对应位置上的数字相同有246C =个；
第二类：与信息0110有一个对应位置上的数字相同有1
4C 4=个；
第三类：与信息0110没有位置上的数字相同有0
4C 1=个，
由分类计数原理与信息0110至多有两个数字对应位置相同的共有64111++=个， 故选B ．
4．C
解析：C 【解析】
试题分析：根据不等式的基本性质知命题p 正确，对于命题q ，当,x y 为负数时2
2
x y
>不成立，即命题q 不正确，所以根据真值表可得,(p q p ∨∧q )为真命题，故选C.
考点：1、不等式的基本性质；2、真值表的应用.
5．A
解析：A 【解析】 【分析】 【详解】
根据题意，分析可得，甲可以被分配在星期一、二、三；据此分3种情况讨论，计算可得其情况数目，进而由加法原理，计算可得答案．
解：根据题意，要求甲安排在另外两位前面，则甲有3种分配方法，即甲在星期一、二、三；
分3种情况讨论可得，
甲在星期一有A 42=12种安排方法， 甲在星期二有A 32=6种安排方法， 甲在星期三有A 22=2种安排方法， 总共有12+6+2=20种； 故选A ．
6．C
解析：C 【解析】 【分析】
求得函数的导数()(2)()x xe a
f x x x
-'=-⋅，根据函数()f x 在(1,)+∞上有两个极值点，
转化为0x xe a -=在(1,)+∞上有不等于2的解，令()x
g x xe =，利用奥数求得函数的单
调性，得到()1a g e >=且()2
22a g e ≠=，又由()f x 在(1,2)上单调递增，得到
()0f x '≥在(1,2)上恒成立，进而得到x a xe ≥在(1,2)上恒成立，借助函数()x g x xe =在
(1,)+∞为单调递增函数，求得2(2)2a g e >=，即可得到答案.
【详解】
由题意，函数()(3)(2ln 1)x
f x x e a x x =-+-+，
可得2()(3)(1)(2)()(2)()x x
x
x
a xe a f x e x e a x e x x x x
-'=+-+-=--=-⋅，
又由函数()f x 在(1,)+∞上有两个极值点，
则()0f x '=，即(2)()0x xe a
x x
--⋅=在(1,)+∞上有两解，
即0x xe a -=在在(1,)+∞上有不等于2的解，
令()x
g x xe =，则()(1)0,(1)x
g x x e x '=+>>，
所以函数()x
g x xe =在(1,)+∞为单调递增函数，
所以()1a g e >=且()2
22a g e ≠=，
又由()f x 在(1,2)上单调递增，则()0f x '≥在(1,2)上恒成立，
即(2)()0x xe a
x x
--⋅≥在(1,2)上恒成立，即0x xe a -≤在(1,2)上恒成立，
即x a xe ≥在(1,2)上恒成立，
又由函数()x
g x xe =在(1,)+∞为单调递增函数，所以2
(2)2a g e >=，
综上所述，可得实数a 的取值范围是22a e >，即2
(2,)a e ∈+∞，故选C.
【点睛】
本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.
7．C
解析：C 【解析】
试题分析：通过选项a 的值回代验证，判断集合中有3个元素即可． 解：当a=1时，由a 2=1，2﹣a=1，4组成一个集合A ，A 中含有2个元素， 当a=﹣2时，由a 2=4，2﹣a=4，4组成一个集合A ，A 中含有1个元素， 当a=6时，由a 2=36，2﹣a=﹣4，4组成一个集合A ，A 中含有3个元素， 当a=2时，由a 2=4，2﹣a=0，4组成一个集合A ，A 中含有2个元素， 故选C ．
点评：本题考查元素与集合的关系，基本知识的考查．
8．D
解析：D 【解析】 【分析】
利用方差公式结合二次函数的单调性可得结论； 【详解】
解：1111
()013333a E X a +=⨯+⨯+⨯=，
222111111()(
)()(1)333333
a a a D X a +++=⨯+-⨯+-⨯ 2222212211[(1)(21)(2)](1)()279926
a a a a a a =
++-+-=-+=-+ 01a <<Q ，()D X ∴先减小后增大 故选：D ． 【点睛】
本题考查方差的求法，利用二次函数是关键，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
9．A
解析：A 【解析】
试题分析：因为三角形是锐角三角形，所以三角形的三个内角都是锐角，则设边3对的锐
角为角α，根据余弦定理得22223
cos 04x x
α+-=>，解得x >x 边对的锐角为
β
，根据余弦定理得222
23cos 012
x β+-=>，解得0x <<x 的取值范
x << A. 考点：余弦定理.
10．B
解析：B 【解析】 【分析】
利用向量垂直求得222a b a b ==⋅r r
r r ，代入夹角公式即可.
【详解】
设,a b r
r 的夹角为θ；
因为(2)a b a -⊥r r r
，(2)b a b -⊥，
所以222a b a b ==⋅r r r r ，
则22|2,|2a a b b a b =⋅⋅=r r r r r r ，
则2212cos ,.23a
a b a b a
πθθ⋅===∴=r r
r r r r 故选：B 【点睛】
向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式cos a b a b θ⋅=r r r r
；二是向量的平方等于向量模的平方2
2a a =r r . 11．C
解析：C 【解析】
因为()2
f x x ax =+是偶函数，所以22
()()20f x x ax f x x ax ax -=-==+∴=
所以0a =.所以“0a =”是“()2
f x x ax =+是偶函数”的充要条件.故选C.
12．B
解析：B 【解析】
设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2,,,,2a d a d a a d a d --++,则
22a d a d a a d a d -+-=++++,解得6a d =-,又
225,a d a d a a d a d -+-+++++=1a \=,则4
42263
3a a d a a ⎛⎫-=-⨯-== ⎪⎝⎭,故
选B.
二、填空题
13．2【解析】【分析】根据条件利用余弦定理可建立关于c 的方程即可解出c 【详解】由余弦定理得即解得或（舍去）故填2【点睛】本题主要考查了利用余弦定理求三角形的边属于中档题
解析：2 【解析】 【分析】
根据条件，利用余弦定理可建立关于c 的方程，即可解出c. 【详解】
由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得231c c =+-，即220c c --=，解得2c =或
1c =-（舍去）.故填2. 【点睛】
本题主要考查了利用余弦定理求三角形的边，属于中档题.
14．【解析】【分析】将平移到和相交的位置解三角形求得线线角的余弦值【详解】过作过作画出图像如下图所示由于四边形是平行四边形故所以是所求线线角或其补角在三角形中故【点睛】本小题主要考查空间两条直线所成角的 解析：
6 【解析】 【分析】
将AC 平移到和1BC 相交的位置，解三角形求得线线角的余弦值. 【详解】
过B 作//BD AC ，过C 作//CD AB ，画出图像如下图所示，由于四边形ABCD 是平行四边形，故//BD AC ，所以1C BD ∠是所求线线角或其补角.在三角形1BC D 中，
1122,23BC C D BD ===，故16
cos 422223
C B
D ∠=
=⨯⨯.
【点睛】
本小题主要考查空间两条直线所成角的余弦值的计算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
15．-
1【解析】【分析】画出约束条件表示的平面区域由图形求出最优解再计算目标函数的最小值【详解】画出约束条件表示的平面区域如图所示由图形知当目标函数过点A时取得最小值由解得代入计算所以的最小值为故答案为
解析：-1
【解析】
【分析】
画出约束条件表示的平面区域，由图形求出最优解，再计算目标函数
1
z x y
2
=-+的最小值．
【详解】
画出约束条件
10
210
x y
x y
x
--≤
⎧
⎪
-+≥
⎨
⎪≥
⎩
表示的平面区域如图所示，
由图形知，当目标函数
1
z x y
2
=-+过点A时取得最小值，由{x0
x y10
=
--=，解得
()
A0,1-，代入计算()
z011
=+-=-，所以
1
z x y
2
=-+的最小值为1-．
故答案为1
-．
【点睛】
本题考查了线性规划的应用问题，也考查了数形结合的解题方法，是基础题．16．【解析】【分析】根据圆的参数方程确定圆的半径和圆心坐标再根据直线与圆相切的条件得出满足的方程解之解得【详解】圆化为普通方程为圆心坐标为圆的半径为由直线与圆相切则有解得【点睛】直线与圆的位置关系可以使
解析：3 4
【解析】
【分析】
根据圆的参数方程确定圆的半径和圆心坐标，再根据直线与圆相切的条件得出a满足的方
程，解之解得。

【详解】
圆22cos ,12sin x y θθ
=+⎧⎨=+⎩化为普通方程为22(2)(1)2x y -+-=， 圆心坐标为(2,1)，圆的半径为2，
2=，解得34
a =。

【点睛】
直线与圆的位置关系可以使用判别式法，但一般是根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小作出判断。

17．【解析】【分析】由已知利用正弦定理二倍角的正弦函数公式可求的值根据同角三角函数基本关系式可求的值利用二倍角公式可求的值根据两角和的正弦函数公式可求的值即可利用三角形的面积公式计算得解【详解】由正弦定
【解析】 【分析】
由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式可求cos B 的值，根据同角三角函数基本关系式可求sin B 的值，利用二倍角公式可求sin C ，cos C 的值，根据两角和的正弦函数公式可求sin A 的值，即可利用三角形的面积公式计算得解． 【详解】
2b =Q ，3c =，2C B =，
∴由正弦定理sin sin b c B C =，可得：23
sin sin B C
=，可得：
233sin sin22sin cos B B B B
==， ∴可得：3cos 4B =
，可得：sin B ==， ∴
可得：sin sin22sin cos C B B B ===，21
cos cos22cos 18C B B ==-=，
(
)13sin sin sin cos cos sin 484816
A B C B C B C ∴=+=+=⨯+⨯=
，
11sin 2322S bc A ∴=
=⨯⨯=
．
． 【点睛】
本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
18．【解析】【分析】由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积【详解】因为长方体的体积为120所以因为为的中点所以由长方体的性质知底面所以是三棱锥的底面上的高所以三棱锥的体积【点睛】本题蕴
解析：【解析】 【分析】
由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积. 【详解】
因为长方体1111ABCD A B C D -的体积为120， 所以1120AB BC CC ⋅⋅=， 因为E 为1CC 的中点， 所以11
2
CE CC =
， 由长方体的性质知1CC ⊥底面ABCD ， 所以CE 是三棱锥E BCD -的底面BCD 上的高， 所以三棱锥E BCD -的体积
1132V AB BC CE =⨯⋅⋅=11111
1201032212AB BC CC =⨯⋅⋅=⨯=.
【点睛】
本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中，往往需要注意理清整体和局部的关系，灵活利用“割”与“补”的方法解题.
19．【解析】【分析】根据所给的指数式化为对数式根据对数的换地公式写出倒数的值再根据对数式的性质得到结果【详解】则故答案为【点睛】本题是一道有关代数式求值的问题解答本题的关键是熟练应用对数的运算性质属于基 解析：2
【解析】 【分析】
根据所给的指数式，化为对数式，根据对数的换地公式写出倒数的值，再根据对数式的性质，得到结果． 【详解】
45100a b ==Q ，
4log 100a ∴=，5log 100b =，
10010010012
log 42log 5log 1001a b
∴+=+==， 则1222a b ⎛⎫
+=
⎪⎝
⎭ 故答案为2 【点睛】
本题是一道有关代数式求值的问题，解答本题的关键是熟练应用对数的运算性质，属于基础题．
20．3【解析】【分析】【详解】如图区间长度是6区间﹣24上随机地取一个数x 若x 满足|x|≤m 的概率为若m 对于3概率大于若m 小于3概率小于所以m=3故答案为3
解析：3 【解析】 【分析】 【详解】
如图区间长度是6，区间[﹣2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x|≤m 的概率为，若m 对于3概率大于，若m 小于3，概率小于，所以m=3． 故答案为3．
三、解答题
21．（1）3)P ，22(3)4x y ++=；（2115
1-. 【解析】 【分析】
（1）把x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ代入即可得出；
（2）利用中点坐标公式、点到直线的距离公式及三角函数的单调性即可得出. 【详解】
（1）x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ代入计算，3
232336
P x π
===，236P y π=＝1
2332
= ∴点P 的直角坐标(3，由23sin 1ρρθ+=，得22231x y ++=， 即(2
2
3
4x y ++=，所以曲线C 的直角坐标方程为(2
2
3
4x y ++=
（2）曲线C
的参数方程为22x cos y sin θ
θ
=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），由32:2x t l y t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参
数），得直线l 的普通方程为270x y --=.
设()
2cos ,2sin Q θθ，则PQ 中点3cos ,sin 2M θθ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
，那么点M 到直线l 的距离，
(
)11d θϕ-+
=
=
=
11
110≥
=-，
所以点M 到直线l
1. 【点睛】
本题考查了极坐标与直角坐标的互化、中点坐标公式、点到直线的距离公式、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了计算能力，属于中档题．
22．（1
（2）0,
1.m n =⎧⎨=⎩
【解析】 【分析】
（1）根据题意求出()()121212i z i z i +=-++=-，即可得到模长； （2）根据212z z =，化简得()2
212m i n ni -=--，列方程组即可求解.
【详解】
（1）当1m =，1n =-时112z i =-，21z i =+， 所以()()121212i z i z i +=-++=-，所以
12z z +==.
（2）若21
2z z =，则()
2
21m i ni -=-，
所以()2
212m i n ni -=--，所以2
122m n n ⎧=-⎨-=-⎩
解得0,1.m n =⎧⎨=⎩
【点睛】
此题考查复数模长的计算和乘法运算，根据两个复数相等，求参数的取值范围. 23．（1）{}|37x x -≤≤；（2）(],9-∞. 【解析】 【分析】
（1）分别在1x ≤-、15x -<<、5x ≥三种情况下去掉绝对值符号得到不等式，解不等式求得结果；（2）将不等式变为()()2
7a f x x ≤+-，令()()()2
7g x f x x =+-，可得到分段函数()g x 的解析式，分别在每一段上求解出()g x 的最小值，从而得到()g x 在R 上的最小值，进而利用()min a g x ≤得到结果. 【详解】
（1）当1x ≤-时，()154210f x x x x =--+-=-≤，解得：31x -≤≤- 当15x -<<时，()15610f x x x =++-=≤，恒成立 当5x ≥时，()152410f x x x x =++-=-≤，解得：57x ≤≤ 综上所述，不等式()10f x ≤的解集为：{}
37x x -≤≤ （2）由()()2
7f x a x ≥--得：()()27a f x x ≤+-
由（1）知：()42,16,1524,5x x f x x x x -≤-⎧⎪
=-<<⎨⎪-≥⎩
令()()()
22
221653,171455,151245,5x x x g x f x x x x x x x x ⎧-+≤-⎪
=+-=-+-<<⎨⎪-+≥⎩
当1x ≤-时，()()min 170g x g =-= 当15x -<<时，()()510g x g >= 当5x ≥时，()()min 69g x g == 综上所述，当x ∈R 时，()min 9g x =
()a g x ≤Q 恒成立 ()min a g x ∴≤ (],9a ∴∈-∞
【点睛】
本题考查分类讨论求解绝对值不等式、含绝对值不等式的恒成立问题的求解；求解本题恒成立问题的关键是能够通过分离变量构造出新的函数，将问题转化为变量与函数最值之间的比较，进而通过分类讨论得到函数的解析式，分段求解出函数的最值. 24．（1）f (x )的最小正周期为π
，最大值为22
- （2）f (x )在5[,
]612ππ
上单调递增；在52[
,]123
ππ
上单调递减． 【解析】 【分析】
（1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值求得()f x 的最小正周期和最大值．
（2）根据[]20,3
x π
π-∈，利用正弦函数的单调性，即可求得()f x 在2[,
]6
3
ππ
上的单调区
间． 【详解】
解：（1
）函数2()sin()sin cos sin cos2)2f x x x x x x x π=-=+
1sin 22sin(2)23x x x π==-， 即(
)sin(2)3f x x π=-
故函数的周期为22T ππ==
，最大值为12
-． （2）当2[
,
]63
x ππ
∈ 时，[]20,3
x π
π-∈，
故当023
2
x ππ
-剟
时，即5[
,]612
x ππ
∈时，()f x 为增函数； 当223x πππ-剟时，即52[,]123
x ππ
∈时，()f x 为减函数； 即函数()f x 在5[,
]612ππ
上单调递增；在52[
,]123
ππ
上单调递减． 【点睛】
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和最值，正弦函数的单调性，属于中档题．
25．（1）曲线C ：2
213
x y +=，直线l 的直角坐标方程20x y -+=；（2）1.
【解析】
试题分析：（1）先根据三角函数平方关系消参数得曲线C 化为普通方程，再根据
cos ,sin x y ρθρθ== 将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）根据题意设直线
1l 参数方程，代入C 方程，利用参数几何意义以及韦达定理得点M 到A ，B 的距离之积
试题解析：（1）曲线C 化为普通方程为：2
213
x y +=，
由
cos 124πρθ⎛
⎫+=- ⎪⎝
⎭，得cos sin 2ρθρθ-=-， 所以直线l 的直角坐标方程为20x y -+=．
（2）直线1l
的参数方程为1x y ⎧=-+
⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数），
代入2
213
x y +=
化简得：2220t -=，
设,A B 两点所对应的参数分别为12,t t ，则121t t =-，
121MA MB t t ∴⋅==．
26．（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】
(1) 已知0,0a b >>直接对
11
a b
+使用均值不等式； (2)不等式分母为-a b ，通过降次构造-a b ，再使用均值不等式． 【详解】
证明：
(1)2 “”11a b a b ≤===+时取； (2)()()()
2
2
22
244 4a b ab a b a b a b a b a b a b a b
-+-++===-+≥=----
，当
且仅当11a b =
=-+
或11a b ==-- 【点睛】
“一正二定三相等”，不能直接使用均值不等式的化简变形再用均值不等式．。