安徽省肥东高级中学高一数学下学期第二学段考试试题

高一数学
第 I 卷（选择题60分）一、选择题（本大题共12 小题，每题 5 分，共 60分）
1. 在ABC 中，若
a b
，则ABC 的形状是（）cosB cosA
A. 等腰三角形
B.直角三角形
C. 等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
2. 在ABC 中，角A, B,C的对边分别为a, b, c，asinB2sinC ,cosC 1
ABC 的，
3
面积为4，则c等于（）A.3 B.4 C. 5 D. 6
3. 在△中，已知
b2，
a3
， cos＝－，则 sin
B
等于（）
ABC A
A.
8
B.
9
C.
10
D.
11
13131313
90 ，则
a b
的取值
4. 在ABC 中，a, b, c分别是A,B, C 所对应的边，C
c 范围是（）
A. （1,2）
B.1, 2
C.1,2
D.1, 2
5. 以下命题中，错误的选项
是（）
A.在ABC 中，A B 则 sinA sinB ；
B.在锐角ABC 中，不等式 sinA cosB 恒建立；
C. 在ABC 中，若 acosA bcosB ，则 ABC 必是等腰直角三角形；
D. 在ABC 中，若 B60， b2ac ，则ABC 必是等边三角形．
6.数列a n知足a11,a n 12a n1,则 a1000（）
A. 1
B. 1999
C. 1000
D.－ 1
7.已知数列a n是等差数列，若a2 2 ， a3 4 ，则 a5等于（）
A.8
B.8
C.16
D.16
8.等比数列a n中，a4 4 ，则 a2a6等于（）
A. 32
B. 16
C.8
D.4
9. 在等差数列 a n 前 n 项和为 S n ，若 S 4 1, S 8 4 ，则 a 17 a 18 a 19 a 20 的值为（
）
A. 9
B. 12
C. 16
D. 17
10. 一个等比数列的前 n 项和为 45，前 2n 项和为 60，则前 3n 项和为（
）
A. 65
B. 73
C. 85
D.108
11.
x 2y
1 x y 3
0 表示的平面地区为 (
)
A.
B.
C. D.
y 0
12. 若 x, y 知足拘束条件 { x
y 4
0 ，则 z 2x y 的最大值是（
）
x
3y
A. 8
B. 7
C.4
D.0
第 II 卷（非选择题
90 分）
二、填空题（此题有 4 小题，每题
5 分，共 20 分。

）
13. 在
ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ， a
1 ， B
，当
ABC 的面积等
3
于
3 时， tanC __________ ．
14. 在等差数列 中，公差
，且 成等比数列，则 的值为 ____．
15. 已知
，则
__________ ．
16. 已知 a
0， b 0 ，
1
8 2 ，则 2a b 的最小值为 __________ ．
a
b+1
三、解答题（此题有 6 小题，共 70 分。

）
17. （此题共 12 分） 在
ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a, b, c ，且 a
3b .
cosA
sinB
（1）求角 A 的大小；
（2）若 a
23，B
，求 b .
4
18. （此题共 12 分） 已知函数 f
x
sin 2x
3
3 ．
2
（Ⅰ）当 x
0,
时，求 f
x 的值域；
（Ⅱ）已知ABC 的内角A, B,C的对边a,b, c，若 f A 3
, a4,b c 5 ，求ABC
22
的面积．
19. （此题共 12分）已知等差数列a n的前n项和为S n，且a23, S15225 .（1）求数列a n的通项公式；
（2）设b n2a n2n ，求数列b n的前 n 项和 T n.
20. （此题共12 分）已知数列a n的前 n 项和为S n, a11,2 S n S
n 11(n2, n N * 0
2（1）求数列a n的通项公式；
（2）记b n log 1 a n n N *
1
，求的前 n 项和 T n.
2b
n
b
n 1
21.（此题共 12 分）漳州市博物馆为了保护一件宝贵文物，需要在馆内一种透明又密封的长
方体玻璃保护罩内充入保护液体 . 该博物馆需要支付的总花费由两部分构成：①罩内该种
液体的体积比保护罩的容积少0.5 立方米，且每立方米液体花费 500 元；②需支付必定的保险花费，且支付的保险花费与保护罩容积成反比，当容积为 2 立方米时，支付的保险花费为4000 元 .
（Ⅰ）求该博物馆支付总花费y 与保护罩容积 x 之间的函数关系式；
（Ⅱ）求该博物馆支付总花费的最小值.
22. （此题共 10 分）已知函数f x x25x a ．
（1）当a4时，求不等式f x 2 的解集；
（2）对随意x R ，若 f x 2 恒建立，务实数a的取值范围．
参照答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D D
A
C
C
A
D
B
A
A
C
A
1.D
【分析】由正弦定理有：
sinA
sinB
sin2 A
sin2 B ，
cosB
cosA
则： 2 A
2B 或2A
2B
，
即 ABC 的形状是等腰三角形或直角三角形 . 此题选择 D 选项 .
2.D
【 解 析 】 因 为 asinB
2sinC ， 所 以 由 正 弦 定 理 可 得 ab
2c
， 由
cosC
1
得
3
sinC 2
2 ，则 S 1
absinC 2 c 4 ，得 c 6 ，应选 D.
3 2 3
3.A
【分析】
Q cosA
5 , sinA 1 cos 2
A
12
，Q b 2， a 3，
13 13 由正弦定理可得 sinB bsinA 2 12 8
a 3 13 .
13
此题选择 A 选项 . 4.C
【分析】由正弦定理得：
∴a=csinA ， b=csinB ，
a b c sinA
sinB
，又 sinC=1 ，
sinC
所以
a
b csinA csinB , 由 A+B=90°，获得 sinB=cosA ，
c
c
则 csinA
csinB sinA sinB sinA cosA
2sin A
c
4
∵∠ C=90°，∴ A ∈ (0,90 ° ), ∴ sin A
2
,1
，
4
2
∴
a
b
1,2
.
c
此题选择 C 选项 .
5.C
【分析】考察 C选项：在△ ABC中,∵ acosA=bcosB,利用正弦定理可得：sinAcosA=sinBcosB,∴sin 2A=sin 2B,∵ A, B∈(0,π),∴2A=2B 或2A=2π- 2B,∴ A=B或A B，所以
2
△ABC是等腰三角形或直角三角形，所以是假命题.
此题选择C选项 .
6.A
【分析】6.
a n 12a n1a n 1 1 2 a n 1 ,Q a1 1 0 a1000 1 0, a10001 ，选A.
7.D
【分析】设等差数列{ a n} 的公差为d,∵ a2=2, a3=- 4，∴ a1+d=2, a1+2d=- 4,解得 d=- 6, a1=8.
则 a5=8- 6×4= - 16.
此题选择D选项 .
8.B
2
【分析】由等比数列的性质得a · a =a=16.
264
此题选择 B 选项 .
9.A
【分析】∵ S41,S8
4a16d1
得： d
1 4，∴{
28d4
，8a18
a17 a18 a19a204a1 30d 4a16d64d 1 89 ，应选A.
10.A
【分析】由等比数列的性质得：
S n, S2 n- S n, S3n- S2n成等比数列，
∵等比数列的前n 项和为45，前2n 项和为60，
∴45,60 - 45, S3n- 60 成等比数列，
2
∴(60 - 15) =45( S3n- 60) ，
S A
11.C
【分析】不等式组即：{ x 2 y 1 0或{x
2 y 1 0，
x y 3 0x y 3 0
据此可得，不等式组表示的平面地区如选项C所示 .
此题选择C选项 .
12.A
【分析】绘制不等式组表示的可行域，察看可得目标函数在点 B 4,0 处获得最大值z 2x y8 .
此题选择 A 选项 .
13. 2 3
【分析】由题意1
acsin 3 ，即
3
c3 c 4 ，则234
b116 21 4113 ，所以由余弦定理cosC113161，所以
2211313
sinC
112
，所以 tanC
23
13 2 3 ，应填答案23 。

1
1313
13
14.3 ；
【分析】由题意可得：，即：整理可得：.
15.
【分析】由于
所以
【分析】由题意可得：
2a b1
12a b118
2a b 1
1
1016a b1
2b1a
1
216a b1
10
b1a
2
9,
16.8
则 2a b 的最小值为 9 18 .
当且仅当a 3
, b5时等号建立 . 2
17.(1);(2) 22.
3
【分析】
（1）由正弦定理可得，
sinA3sinB
cosA ，
sinB
所以 tan＝．
A
由于 A 为三角形的内角，所以A＝.
（2）a＝ 2，A＝，B＝，
由正弦定理得，b＝＝ 2 ．
18. （Ⅰ）0,3；（Ⅱ）S V ABC 3 3 .
4【分析】
（Ⅰ）∵ x0,∴ 2 x
3,
333
∴
sin 2 x
3
3 , 3 ，
2 2
得
f x
sin 2 x
3 0, 3 3
2
（Ⅱ）∵ f
A sin A
3
3 3
，∴ sin A
3 0
2
2
2
∵ A
0,
∴ A
3
∵ a 4,b
c 5
∴由余弦定理得
bc 3
3 3
∴
S V ABC
4
19. （Ⅰ） a n
2n 1．（Ⅱ） T n b 1
b 2 L
b n 2
4n n 2 n
2 ．
3
3
【分析】本试题主假如考察了等差数列的前 n 项和的求解和通项公式的运用。

（1）设数列
a n 的公差为 d ，依题意得：
a 1 d 3, 解得 { a 1 1,
获得通项公式。

{
15 14 d
15a 1
2 225, d 2,
（2）由（Ⅰ）得 b n
1 4n 2n ，，而后利用分组乞降获得结论。

2
（Ⅰ）设数列
a n 的公差为 d ，依题意得：
a 1 d
3,
{
a
1
1,
{
15 14 d
225, 解 得
∴ 数 列
a n
的通项公式
15a 1
d
2,
2
a n 2n 1．·······
4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
b n 1 4n 2n ，
2
∴
T n b 1 b 2 L
b n
1 4 4
2 L
4n
2 1 2 L
n
············
2
6 分
4n 1
4 n 2 n
2 4n n 2 n 2 ．···················
12
6
3
3
分
20. （ 1） a n
1
n N *
; （2） n
．
2n
n 1
【分析】（ 1）当 n
2
时，由
2S n S n 1
1 及 a 1 1
，得 2S 2 S 1 1 ，即 2a 1 2a 2
a 1 1，
2
解得
a 2
1
． 又由 2S n S n 1 1 ，①
可知2S n 1 S n 1，②
4
②- ①得 2a n
1
a n ，即 a n 1
1
a n n 2
．且 n 1 时， a 2
1 合适上式，
2
a 1 2 所以数列
a n 是以 1
为首项，公比为
1
的等比数列，故
a n
1
n N * ．
2
2
2n
1n
（2）由（ 1）及 b n
log 1 a n
n
N * ，可知 b n log 1
n ，
2
2
2
所以
1 1 1 1 ，
b n b
n 1
n n 1 n n 1
故
T n 1
1
L
1
1
1
1 1 L 1 1
b n b 2 b 2b 3 b n
b
n 1
2
2 3
n n 1
1
1
n n ． n 1
1
21. （Ⅰ） y
8000
250
（Ⅱ）博物馆支付总花费的最小值为
3750 元
500x
x
【分析】（Ⅰ）由题意设支付的保险花费
y 1
k
，把 x 2 ， y 1
4000 代入，得 k
8000 .
8000
x
y 1
0.5 ）
则有支付的保险花费
（ x
x
故总花费 y
500
x 0.5
8000
500 x
8000
0.5 ）
x
250 ，（ x
x
（Ⅱ）由于 y 500x
8000
2
8000
250 3750
x
250
500x
x
当且仅当 500x 8000
且 x
0.5 ，
x
即 x 4立方米时不等式取等号，
所以，博物馆支付总花费的最小值为 3750 元 .
22. （ 1） { x | x
1,或x 6}. （ 17 2） a
【分析】（ 1）当时，由不等式，得
x25x 4 2,
即 x25x 6 0,x 6 x 1 0,
不等式的解集为 { x | x1,或x6}.
（ 2）对随意x R ，恒建立，x R ，不等式x25x a 2 恒建立，x R, a x25x 2 恒建立．
x25x 2 的最大值为17
.
17
4
当 a恒建立．4
时，。