数学选讲四边形证明经典题

四边形证明经典题.
1. 在□ ABCD 中，AC 、BD 交于点O ，过点O 作直线EF 、GH ，分别交平行四边形的四条边于E 、G 、F 、H 四点，连结EG 、GF 、FH 、HE .
（1）如图①，试判断四边形EGFH 的形状，并说明理由；
（2）如图②，当EF ⊥GH 时，四边形EGFH 的形状是 ；
（3）如图③，在（2）的条件下，若AC =BD ，四边形EGFH 的形状是 ；
（4）如图④，在（3）的条件下，若AC ⊥BD ，试判断四边形EGFH 的形状，并说明理由.
2. 已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 和CD 上，AE = AF ．
（1）求证：BE = DF ；
（2）连接AC 交EF 于点O ，延长OC 至点M ，使OM = OA ，连接EM 、FM ．判断四边形AEMF
是什么特殊四边形？并证明你的结论．
3.如图，ABM ∠为直角，点C 为线段BA 的中点，点D 是射线BM 上的一个动点（不与点B 重合），连结AD ，作BE AD ⊥，垂足为E ，连结CE ，过点E 作EF CE ⊥，交BD 于F ．
（1）求证：BF FD =；
（2）A ∠在什么范围内变化时，四边形ACFE 是梯形，并说明理由； （3）A ∠在什么范围内变化时，线段DE 上存在点G ，满足条件1
4
DG DA =，并说明理由．
H
G F E O D C B A 图① H G F E O D C B A 图② A B C D O E F G H 图③ A B C D O E F G H 图④ （第1题图）
A D
B E F
O C
A
B
C D F
E
M
5.如图所示，在△ABC 中，分别以AB 、AC 、BC 为边在BC 的同侧作等边△ABD ，等边△ACE 、等边△BCF ．
(1)求证：四边形DAEF 是平行四边形；
(2)探究下列问题：(只填满足的条件，不需证明)
①当△ABC 满足_________________________条件时，四边形DAEF 是矩形； ②当△ABC 满足_________________________条件时，四边形DAEF 是菱形；
③当△ABC 满足_________________________条件时，以D 、A 、E 、F 为顶点的四边形不存在．
6.如图，已知正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是AC 上一点，过A 作AG ⊥EB 于G ，AG 交BD 于点F ，则OE ＝OF ，对上述命题，若点E 在AC 的延长线上，AG ⊥EB ，交EB 的延长线于点G ，AG 的延长线交DB 的延长线于点F ，其它条件不变，则结论“OE ＝OF ”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，说明理由。

问题一图1
O F G E
D
C B
A
7、在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且
BE AE ＝BF
FC
＝DG GC ＝HD
AH
＝k （k ＞0），阅读下列材料，然后回答下面的问题： 如上图，连结BD ∵BE AE ＝HD AH ，BF FC ＝DG
GC
∴EH ∥BD ，FG ∥BD
①连结AC ，则EF 与GH 是否一定平行，答： ；
②当k 值为 时，四边形EFGH 是平行四边形；
③在②的情形下，对角线AC 和BD 只需满足 条件时，EFGH 为矩形； ④在②的情形下，对角线AC 和BD 只需满足 条件时，EFGH 为菱形；
第2题图
H
G
F E
D
C
B
A
(第29题图)
C B A
D F E
8.如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 、BC 上的点，且EF ∥AC ，在DA 的延长线上取一点G ，使AG ＝AD ，EG 与DF 相交于点H 。

求证：AH ＝AD 。

例1图
需要证明GHD 与DCF 相似
9、如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC 、BD 相交于点O ，∠ACD ＝600，点S 、P 、Q 分别是OD 、OA 、BC 的中点。

（1）求证：△PQS 是等边三角形；
（2）若AB ＝8，CD ＝6，求PQS S ∆的值。

（3）若PQS S ∆∶AOD S ∆＝4∶5，求CD ∶AB 的值。

第4题图
S Q
P
O
D C
B
A
10.将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD 上，并使它的直角顶点P 在对角线AC 上滑行，直角的一边始终经过点B ，另一边与射线DC 相交于点Q 。

探究：设A 、P 两点间的距离为x 。

（1）当点Q 在边CD 上时，线段PQ 与线段PB 之间有怎样的关系？试证明你观察得到的结论；
（2）当点Q 在边CD 上时，设四边形PBCQ 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出函数的定义域；
（3）当点P 在线段AC 上滑行时，△PCQ 是否可能成为等腰三角形，如果可能，指出所有能使△PCQ 成为等腰三角形的点Q 的位置，并求出相应的x 值；如果不可能，请说明理由（题目中的图形形状大小都相同，供操作用）。

D
C
B A
D
C
B A
D
C
B A
11、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．
求证：CE＝CF．Array 12、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直线EC交DA延长线于F．
求证：AE＝AF.。