漫谈勾股数

的两 个对 象—— 数 与 形 的第 一定 理 ； 它 揭 示 了 三 角形 的周长 问题提 供 了方 便． 无理 数 与有 理数 的区 别 ， 引发 了 第一 次数 学 危 问题 １ ： 直 角 三 角 形的 两 条 直 角边 为 正整
机； ［ ＿ ＝ ＝ 开 始把 数学 由计 算与 测量 的 技术 转 变 为 数 ， 其 中一 条 短 直 角边 的 长 为 ｌ ３ ， 求这 个 角 沦证 与 推理 的 科学 ． ｝ 蒿足勾股 定理 方程 “ ＋ ＝ ｃ 的 Ｅ 整数组 （ ｎ ， ｂ ， ｃ ） 就 称 为 勾股 数 组 ， 简 称 勾 数， 也叫 毕达 哥拉斯 数 ． 形的 周 长． ， 艮多同 学 看 到 只 有一 个条 件 ， 束手尢巢，
２ ｎ ＋ ２ ｎ ＋ １ ， 且ａ ＋ ６ ＝ ｃ ， 至此 ， 可 以得 出此 类 勾 股数 的 公式 ： （ ２ ｎ ＋ ｌ ， ２ ｎ ＋ ２ ｎ ， ２ ｎ ＋ ２ ｎ ＋ １ ） ．
２ ． ａ为 偶 数 ．
下面， 我们 来 更为深 入地研 究一 下 勾股 数 ．
形， 曼 边长 部 是它的 解 ． 本 文 只讨 论它 的正 整数 程 得 ｌ ３ ＋ ＝ （ ＋ １ ） ， 解得ｘ ＝ ８ ４ ， 则 周长 ＝ １ ８ ２ ． 或
我们可以先求出另一条直 角边 解的情况 ． 即 勾股数 ， 以下全文均设勾股数 中 者根据特点② ，
第一 个数 为 ｎ ． 第 二 个数 为 ｂ ， 第三 个 数 为 Ｃ ， 且
由勾股定理 ， 一个数 的平方等于另外两个 数 的平 方和 ， 我们很 自然地 想到完全平方公
式： （ ＋ ） ， ） ＝ 十 ） ， ＋ ２ ① ， （ ｘ － ｙ ） － Ｘ ＋ 一 ２ ｘ ｙ ＠． 但是勾股定理的左右两边一共只有三项 ， 且都
是平方项 ， 而完全平 方公式却有四项 ， 如何 消 去一项呢？若将① ＋② ， 可得 （ ＋ ｙ ） ＋ （ — ） ＝ ＋ ２ ， 仍有 四项 ， 不合适 ； 若将①一 ②， 可得
它 是 人 类最 早 发现 并 用于 生 产 、 观天 、 测 地 的 点 ： ①ｎ 为奇数 ， 且从 ３ 开始无『 日 Ｊ 断， ｂ 、 连续 第 ・ 个定 理 ； 它 是联 系数 学 Ｉ 中最 基 本 、 最 原始
自然数 ； ②ａ ２ ＝ ｂ ＋ ｃ ． 以上两个特点 ， 为解决直 『 ｆ ］
两个特点 ： ①。 为偶数 ， 且从 ６ 开始无间断 ， ｂ 、
ｃ
是连续 奇数 或连续偶数 ； ②。 ＝ ２ （ ｂ ＋ ｃ ） ． 以上
两个特 点 ， 也 为求直角三 角形的周长提 供了
方便．
的左右两边成功变成 了三项 ， 但不能保证 ４ ｘ ｙ
且ｏ 十 ６ ＝ Ｃ ７ － ， 至此 ， 可以得出此类勾股数的公式
（ ２ ｎ ， ｎ 一１， ｎ ＋１） ．
３ ． 厶 勺股 数 的 通 式 ．
能不能用代数式表示这 ３ 条边 呢？因为ａ 为奇数 ， 所 以设 ａ ＝ ２ ｎ＋１ （ ｎ ＞Ｏ ）， 则 ６ ＝
［ （ ２ ｎ ＋ １ ） 。 一 １ １ ＝ ２ ｎ ＋ ２ ｎ， ｃ ＝ ［ （ ２ ｎ ＋ １ ） ＋ １ 】 ：
５ ＋ ＝１ ３
同样 ， 能 否利用代数式表示这 ３ 条边呢？
７
７ ＋ ＝ ２ ５
因 为 ａ为 偶 数 ， 所 以设 ａ ＝ ２ ｎ （ ｎ ＞２ ） ， 则６ ：
④ １ ９
９ 十 ＝ ４ １
（ × ２ ｎ ） 一 ＝ ｎ ２ 一 ， ｃ ＝ （ × ２ ｎ ） ＋ ・ ： ｎ ＋ ・ ，
（ ＋ ｙ ） 一 （ — ｙ ） 。 ＝ ４ ｘ ｙ ， 即（ ） ＝ （ Ｉ ｙ ） ＋ ４ ｘ ｙ ， 等式
观察下列 勾股数 ： （ １ ） ６ ， ８ ， １ ０ ； （ ２ ） ８ ， １ ５ ，
１ ７ ； （ ３ ） １ ０ ， ２ ４ ， ２ ６ ； （ ４ ） １ ２ ， ３ ５ ， ３ ７ … …可 发 现
戮 学 Ｘ ｕ ｅ ， 阅 Ｙ ｕ ｅ 读 Ｄ ｕ
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责任编辑 ： 李
诗
Ｅ － ｍａ ｉ ｌ ： ｃ ｚ ｓ ｓ ｉ ｌ ｓ ＠ｌ ２ ６ ． ｃ ｏ ｍ
勾 股数
勾 股定 理 是 人类 历 史上 光彩 夺 目的 明珠 ，
（ ３ ） ７ ， ２ ４， ２ ５ ； （ ４ ） ９ ， ４ ０， ４ １ …… 口 『 以 发现 两 个特
其实 ， 根据特 点① ， 我们可 以设出另一条直角
ｌ ｌ Ｉ 斜边 ， 利 用 勾股 理 列 出 方 程 ． 进 而 求得 勾股 方 程 ｎ ＋ ６ ＝ ｃ 中 含有 ３ 个未 知数 ， 方 程 边 乖
的解不唯一． 根据 勾股 定 理 ， 只要 是 直 角 三 角
周长 ． 设 另一 条 直 角边 为 ， 则斜边 为 ＋ ｌ ， 列方
ｎ＜ ｂ（ ｒ
与 斜 边 的和 ， 进 而求得 周长 ． 在 利用 勾股 定 理解 决 直 角三 角形问 题时 ， 掌握 勾股 数之 间 的特 征 ， 往 往能事 半功 倍 ． 进一 步研 究 ３ 条边 的关 系 ， 我 们 可以 发现 ：
一
、
勾 股数 有公 式可 以计 算吗 ？
１ ． “为奇数 ． 《 祭 卜 ｊ Ｊ ９ 敬 ： （ １ ） ３ ， ４ ， ５ ； （ ２ ） ５ ， １ ２ ． １ ３ ；
① １（ ３ 一 １ ） ＝ ４ ， １ （ ３ ２２ ４ ＝ ４ ０