吉林省实验中学届高三第三次模拟考试(数学理)A卷

吉林省实验中学 2008 届高三第三次模拟考试数学试卷（理科）
A 卷
一、选择题（本大题共
12 小题，每题 5 分，合计 60 分）
1．设 A { x | x 2}, B { x || x 1
3}, 则A
B =
A ． [2，4]
B ．,2
C ． [－2， 4]
D ．
2． sin 15 cos75
cos15 sin105 等于
A ． 0
1
3 D ． 1
B ．
C ．
2
2
3．假如复数 (m 2
i )(1 mi)是实数 ,则实数 m 是
A ． 1
B ．－ 1
C ． 2
D ．－
（ ）
2,
（ ）
（ ）
2
4．若 p : lg( x
1) 0, q :|1 x | 2, 则p 是 q 建立的
（
）
A ．充足不用要条件
B ．必需不充足条件
C ．充要条件
D ．既不充足也不用要条件
5．已知过点 A
( 2, m)和B(m,4)的直线与直线 2x y 1
0平行, 则m 的值为（ ）
A ． 0
B ． 2
C ．－ 8
D ． 8
6．如图，正四棱柱 ABCD — A 1B 1C 1D 1 中， AA 1=2AB ，则
异面直线 A 1B 与 AD 1 所成角的余弦值为
（ ）
1
2
A ．
B ．
5 5 3
4
C ．
D ．
5
5
7．已知 log 2 (x
y)
log 2 x log 2 y,则xy 的取值范围是
（
）
A ． 4,
B ． 2,
C ．
,0
2,
D ．[0，2]
8．函数 y
log 2 x
1
(x 1) 的反函数是
（ ）
1
x
1
A ． y
x ( x 0)
B ． y (x 0)
1 2 2
x
1
C ． y
1 x ( x 0) D ． y
1
x (x 0)
1 21 2
9．以下给出的函数中，认为周期的偶函数是
（
）
A ． y
sin xcos x B ． y
tan x
C ． y
cos 2
x sin 2
x
D ． y
cos
x
2
10．若 (1
2x) n 睁开式中 x 3的系数等于 x 2 的系数的 4 倍，则 n 等于
（ ）
A ． 7
B ．8
C ．9
D ． 10
11．设 { a n }是公差为正数的等差数 列,若 a 1 a 2 a 3 15, a 1a 2 a 3 105,则 a 7 a 8
a 9 =
（ ）
A ． 102
B ．35
C ．50
D ． 51
12．将函数 y 2 x 的图像按向量 a 平移后获得函数 y 2x 6 的图像，给出以下四个命题：
① a 的坐标能够是（－ 3， 0）；② a 的坐标能够是（ 0， 6）；③ a 的坐标能够是（－
3， 0）或
（0， 6）；④ a 的坐标能够有无数种状况，此中真命题的个数是 （ ）
A ． 1
B ．2
C ．3
D ． 4
B 卷
二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，合计 20 分）
13． lim (
1 2
x x 2 ) =.
x 0 x 2
2x
14．已知函数 y
f (x) 的图象如图，则不等式
f (
2x
1) 0
x
1
的解集为
.
15．从颜色不一样的
5 个球中任取 4 个放入 3 个不一样的盒子中，要求每个盒子不空，则不一样的放
法
总数为
.
16 ．给出以下四个函数①
f (x)
x 2 1 ；② f ( x) ln x ；③ f ( x) e x ；④ f ( x) sin x .其
中知足：“对随意
x 1, x 2 (1,2) (x 1 x 2 ),| f ( x 1 ) f ( x 2 ) | | x 1 x 2 | 总建立”的是
.（把你认为正确函数的序号都填上）
三、解答题（本大题共 6 小题，合计70 分）17．（本小题满分10 分）
已知锐角△ ABC 中，角 A 、 B、 C 的对边分别为、
b、 c，且tan B
3ac
2
. a2
c
2
b
a
（ 1）求∠ B；
（ 2）求函数f (x)sin x 2 sin B cos x在 x[0,]上的最大值 .
2
18．（本小题满分12 分）
设甲、乙两套实验方案在一次实验中成功的概率均为p，且这两套实验方案中起码有一套实验成功的概率为0.51.假定这两套实验方案在实验过程中，互相之间没有影响.
（ 1）求 p 的值；
（ 2）设实验成功的方案的个数为, 求的散布列及数学希望 E .
19．（本小题满分12 分）
在正方体ABCD —A 1B 1C1D1中， M 是棱 AB 的中点 .
（1）求证： BC ∥平面 A 1MD 1；
（2）求二面角 A 1— D1M — C 的大小 .
20．（本小题满分12 分）
x 2y2
1 (a b 0) ，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点， A 为椭圆的
如图，已知椭圆
2b 2
a
上极点，直线AF2交椭圆于另一点 B.
（1）若∠ F 1AB=90 °，求椭圆的离心率；
（2）若椭圆的焦距为 2，且AF22F2B，求椭圆的方程 .
21．（本小题满分12 分）
已知点列 P n (a n , b n )在直线 l : y 2x1上, P1为直线 l 与y轴的交点 , 数列{ a n} 是等差数列，其公差为 1 (n N *).
（ 1）求{ a n}、{ b n}的通项公式；
（ 2）C n
5(n 2), 求 lim (C
2C3C n ) ；n | P1 P n |n
（ 3）若d n2d n 1 a n 1 (n 2), 且 d11,求{ d n }的通项公式 .
22．（本小题满分12 分）
已知函数 f ( x)
ax在 x 1 处获得极值 2.
2
x b
（1）求函数f (x)的解读式；
（2） m 知足什么条件时，函数 f (x)在区间（ m， 2m+1 ）上为单一递加函数？
（ 3）若P( x0, y0)为f ( x)ax的图象上的随意一点,直线 l与 f ( x)ax的图象切于
2x2
x b b P 点，求直线l 的斜率的取值范围.
参照答案
一、选择题（本大题共12 小题，每题 5 分，合计60 分）
1．A 2．D 3．B 4．A 5．C 6．D 7．A 8． B 9． C 10．B 11．D 12．D 二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，合计20 分）
1
13．14．2,115． 18016．②③④
2
三、解答题（本大题共 6 小题，合计70 分）
17．（本小题满分10 分）
解：（ 1）由题意得：tan B
3
sin B
3
0B,B
,,
2 cos B223
5 分
（ 2）由（ 1）及条件得
f ( x)sin x 3 cos x 2 sin( x)8 分
, 53
x[0,],x
3[
3
];当 x时 ,f ( x) 获得最大值，最大值为 2.
266
10 分
18．（本小题满分12 分）
（ 1）解：记这两套实验方案在一次实验中均不可功的事件为A，则起码有一套实验成功的事件为 A.
由题意，这两套实验方案在一次实验中不可功的概率均为1p.
因此, P(A) (1 p)2 ,
从而, P(A) 1 (1p) 2 .
令 1(1p) 20.51, 解得 p0.3. 6 分
（ 2）解：的可取值为0，1，27 分
P(0)(10.3)20.49,
P(1)2(10.3)0.42,
P(2)20.09.10 分
因此的散布列为：
ξ012
P
的数学希望 E0P(0)1P(1) 2P(2)12 分
19．（本小题满分 12 分）
解法 1：（ 1）∵ BC ∥ B 1C 1， B 1C 1∥A 1D 1，∴ BC ∥ A 1D 1. 又 A 1D 1
平面 A 1MD 1，BC 平面 A 1MD 1
∴ BC ∥平面 A 1MD 1； 5 分
（ 2）设平面 A 1MD 1 与棱 DC 订交于点 N ， 连接 D 1N ，则点 N 是 DC 的中点 . ∴ A 1D 1⊥平面 D 1DCC 1， A 1D 1
平面 A 1MND 1
∴平面 A 1MND 1⊥平面 D 1DCC 1 ，
且 D 1N 是交线 .
过点 C 作 CH ⊥D 1N 于 H 点， 则 CH ⊥平面 A 1MND 1， 再过 H 作 HO ⊥D 1M 于 O 点，
连接 CO ，依据三垂线定理得 CO ⊥ D 1 M ，
从而∠ COH 是二面角 C — D 1M —N ，
也就是所求二面角
A 1—D 1M — C 的补二面角的平面角
8 分
2，则在 Rt
DND 1中,因为 DD 1 2, DN
1
1， 设正方体的棱长为
DC
2
因此有 cos
DD 1N
DD 1
2 2 5 .
DD 12
DN
2
5
5
在 Rt CHN 中,因为 CN
1
DC 1,
NCH
DD 1
N
，因此有
2
CH
CN cos NCH
CN
cos DD 1 N
2 5 .
5
又因为可求得
D 1 M A 1 D 12 A 1M 2
A 1D 12 A 1 A 2 AM 2 3,
MCCB 2
BM 2
5, D 1CD 1C 12
C 1C 2
2 2
因此在
D 1C 2
MC 2 D 1M 2 8 5 9
10
MD 1
C 中有 cos
1
,
D CM
2 D 1C MC
2 2 2
5
10
从而有 sin
D 1 CM 1
1 3 10.
10
10
依据三角形面积公式得
D 1 M CO
D 1C MC sin
D 1CM
3 CO 2
2
5
3 10 CO
2
10
从而在
Rt CHO 中, sin COH
CH 5 , COH arcsin
5 .
CO
5
5
A 1
D 1M C 的大小为
arcsin
5 . 12
5
2
DA DC DD 1 x y z
D — xyz
2
A 1(2 0 2) D 1(0 0 2) C(0 2 0) M(2 1 0)
6
设n ( x, y, z)是平面 A 1MD 1的法向量 ,则 n 1 D 1 A 1 n 1 A 1 M 0,
并且 D 1 A 1 (2,0,0), D 1M (2,1, 2), 因此有
(x, y, z) (2,0,0) 0 即 x 0
(x, y, z) (2,1, 2) , 2x y 2z 0
令z 1,则 y 2, x 0, 从而 n 1 (0,2,1).
8
n 2
( x , y , z )是平面 CMD 1的法向量 , 则n 2
D 1C
n 2 D 1 M
0 ,
并且 D 1C
(0,2, 2), D 1 M (2,1, 2), 因此有
(x , y , z ) (0,2, 2) 0 y z 0
(x , y , z ) (2,1, 2) ,即
2x y 2 z
x
1, 则y
z 2, 从而 n 2 (1,2,2)
10
是所求二面角 A 1
D 1 M C 的平面角 ,则
cos
| cos n 1 , n 2 | n 1 n 2 | 2 5
|
|
5
| n 1 | | n 2
arccos(
2 5 ) arccos
2
5 12
5
5
20 12
1F 1AB 90 ,则
AOF 2
OA=OF 2b=c
2
c 2 a2c, e
4
a
2
2
A(0,b), F 2 (1,0), 设B( x, y)
AF 2
2F 2 B,解得 x 3 , y
b , 6
2 2
x
2
y 2
9
b 2 即 9
1
得
4
4 1
a 2
b 2 1
a 2
b 2
1
4a 2
4
a 2
3
10
x 2
y 2 1
12
3
2
21
12
1
P n ( a n , b n )在直线 l : y 2x 1上, b n 2a n 1
P 1为直线 l 与 y 轴的交点 , P 1 (0,1) a 1 0
{ a n }的公差为 1
a n
n 1( n N * )
b n 2n 1(n N * )
3
2P 1 (0,1), P n (a n , b n )
| P 1P n |
a n 2 (
b n 1)2
( n 1)2 (2n 2) 2
5( n 1)
C n
5
1
1 1 (n 2)
6
n | P 1 P n | n(n 1)
n 1
n
C 2 C 3
C n 1
1 1
1 1 1 1
2
2 3
n
1
1
n
n
lim (C 2
C 3
C n ) 1
8
n
3d n
2d n 1 n d n n 2 d (d n
1
n 1 2)
10
{ d n n
2}24
d n n 2 2n 1 ,
d n
2n 1
n 2.
12
22 12
1
ax , f (x)
a( x 2
b) ax(2x)
2
f (x)
( x
b) 2
x 2 b
2
f (1) 0
a(1 b) 2a
a 4
f ( x)在x
a
1处获得极值 2,
,即 2
b
1
f (1)
2 1 b
4x
4
f (x)
1
x 2
2f (x)
4( x 2
1) 4x(2x) 0 x1
( x 2 1)2
f ( x)
4 x 的单一增区间为 [ 1,1]
x 2 1
m 1
f ( x)在 (m,2m
1)为单一递加函数 ,则有 2m 1 1
2m
1 m
1 m 0
m
1,0 时 ,( m,2m 1)为函数 f ( x)的单一增区间 .
6
8
3
f ( x)
4x 4(x 2
1) 4x( 2x)
2 f ( x)
(x 2
1) 2
x 1
l k
4( x 02 1) 8x 02
2 1
] f (x 0 )
1)
4[
(x 02
1) 2 x 02
( x 02 2
1
1
t,t 0,1 , 则直线 l 的斜率 k
4(2t 2 t ), t
0,1 ,
x 02
1
k
[
1
,4].
12
2。