2020届福建省长泰县第一中学高三上学期期中考试 数学(文)(PDF版)

长泰一中高三上期中考试卷
文科数学
（考试时间：120分钟 总分150分）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.每题仅有一个选项是正确的. 1.设全集{}{},|(3)0,|1,U R A x x x B x x ==+<=<-则图 中阴影部分表示的集合为 （ ）
A.(1,0)-
B.(3,1)--
C.[1,0)-
D.(,1)-∞- 2.设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值为（ ）
A ． 15
B ． 16
C ．49
D ．64
3. 向量(12)a →=，，(1)b x →=，，2c a b →→→=+，2d a b →→→=-，，且//c d →→
，则实数x 的值等于（ ）
A ．21-
B ．61
- C ．61 D ．2
1 4.“23πθ=
”是“tan 2cos 2πθθ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
”的 ( ) A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5. 在ABC ∆中，角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，，C a A c A b cos cos cos 3+=，则 A tan 的值是 （ ）
A ． 22-
B ． 2-
C ． 22
D ． 2
6. 定义运算⎩⎨
⎧>≤=⊗)
()(b a b
b a a
b a ，则函数x
x f 21)(⊗=的图像大致为 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 7.若函数sin()y A x m ωϕ=++的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π
2
，直线
x ＝π
3
是其图象的一条对称轴，则它的一个解析式是 ( )
A ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6
B ．y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2 C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3＋2 D ．y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2
8.若x ，y ∈R ＋
，且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为( )
A ．12
B ．14
C ．16
D ．18
9.已知函数31()()log 5
x f x x =-,若实数0x 是方程()0f x =的解,且100x x <<,则1()f x 的值为( )
A.不小于0
B.恒为正值
C.恒为负值
D.不大于0 10. 下列图象中，有一个是函数)0(1)1(3
1)(223
≠∈+-++=
a R a x a ax x x f ，的导函数()f x '的图象，则=-)1(f
( )
A.
3 B.3 C.3- D.3-或3
11. 已知m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下面命题中正确的是( ) A.m n m ,,αα⊂⊂∥β，n ∥βα⇒∥β B.α∥β，βα⊂⊂n m ,m ⇒∥n C.n m m ⊥⊥,αn ⇒∥α D.m ∥n ，⊥n αm ⇒α⊥
12. 设)(x f 的定义在R 上以2为周期的偶函数，当]3,2[∈x 时，x x f =)(则]0,2[-∈x
时，)(x f 的解析式为（ ）
A.|1|2)(++=x x f
B.x x f -=2)(
C.|1|3)(+-=x x f
D.4)(+=x x f
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在答题卷的相应位置. 13. 一简单组合体的三视图及尺寸如右图示（单位：
cm ）， 则该组合体的体积为 cm 3。

14. 设x 、y 满足约束条件,01
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤≤+y x y y x y x Z 53-=的
最大值为___ __． 15. 数列{}n a 中，)2(112,
1,21
121≥+===-+n a a a a a n n n ，
则其通项公式为n a = ． 16. 已知以下四个命题：
①如果12,x x 是一元二次方程20ax bx c ++=的两个实根，且12x x <，那么不等式20ax bx c ++<的解集为{}
12x x x x <<；
②“若2m >，则220x x m -+>的解集是实数集R ”的逆否命题； ③“
1
02
x x -≤-”是“(1)(2)0x x --≤”的充要条件； ④直线1y =与曲线2
y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是)4
5,1( 其中为真命题的是 （填上你认为正确的序号）．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本题满分12分）已知在等比数列}{n a 中，11=a ，且2a 是1a 和13-a 的等差中项. （1）求数列}{n a 的通项公式；
（2）若数列}{n b 满足)(12*
N n a n b n n ∈+-=，求}{n b 的前n 项和n S .
18．（本题满分12分）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为1DD 、BD 的中
点。

（1）求证：EF //平面11ABC D （2）求证：EF ⊥1B C
19．（本题满分12分）已知向量，(,1),(sin ,cos )a m b x x ==，()f x a b =⋅且满足
()12
f π
=。

F
B 1
A
C
D
A 1
C 1
D 1
B
E
（1）求函数()y f x =的解析式；并求函数()y f x =的最小正周期和最值及其对应的x 值; （2）锐角ABC ∆
中，若()12
f A π
=，且2AB =，3AC =，求BC 的长．
20．（本题满分12分）已知二次函数2()f x ax bx =+满足(1)(1)f x f x -=--，且在R 上的最小值为
（1）求函数()f x 在0x =处的切线方程；
（2）当[]2,1x ∈-时，求函数()()x g x xf x e =⋅的极值..
21.（本题满分12分）已知函数1
()ln 3()a f x x ax a R x
+=++
+∈ （1）当1a =时，若关于x 的不等2
()5f x m m ≥-恒成立，求实数m 的取值范围。

（2）当1
2
a ≥-
时，讨论()f x 的单调性.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.(10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，曲线C 的方程为()2
cos sin 0a a ρθθ=>，以极点为原点，极轴所在直线为x 轴建立
直角坐标，直线l
的参数方程为22
12x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩
（t 为参数），l 与C 交于M ，N 两点．
（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；
（2）设点()2,1P -；若PM 、MN 、PN 成等比数列，求a 的值
23. (10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数()||||2f x x a x a =+--.
(1)当1=a 时，求不等式()2>x f 的解集；
(2)若对任意R x ∈，不等式()332
--≥a a x f 恒成立，求a 的取值范围．
2020长泰一中高三上文科数学期中考试卷答案
二、填空题
13. 64 14. 3 15. 2
n
16. ○
2○4 三、解答题：
17．（本题满分12分）已知在等比数列}{n a 中，11=a ，且2a 是1a 和13-a 的等差中项. （1）求数列}{n a 的通项公式；
（2）若数列}{n b 满足)(12*N n a n b n n ∈+-=，求}{n b 的前n 项和n S . 18．（本题满分12分）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为1DD 、BD 的中
点。

（1）求证：EF //平面11ABC D （2）求证：EF ⊥1B C
19．（本题满分12分）已知向量，(,1),(sin ,cos )a m b x x ==，()f x a b =⋅且满足()12
f =。

（1）求函数()y f x =的解析式；并求函数()y f x =的最小正周期和最值及其对应的x 值;
（2）锐角ABC ∆中，若()f A π
=，且2AB =，3AC =，求BC 的长．
sin cos x x +20．（本题满分12分）已知二次函数2
()f x ax bx =+满足(1)(1)f x f x -=--，且在R 上的最小值为
（1）求函数()f x 在0x =处的切线方程；
（2）当[]2,1x ∈-时，求函数()()x
g x xf x e =⋅的极值..
）依题意得：二次函数.................8得
在.......................1221.（本题满分12分）已知函数()ln 3()f x x ax a R x
=++
+∈ （1）当1a =时，若关于x 的不等2
()5f x m m ≥-恒成立，求实数m 的取值范围。

（2）当1
a ≥-
时，讨论()f x 的单调性.
g x 令()。