[初中数学]初中数学复习用书(丰富的图形世界等68个) 人教版19

第十三讲 二元一次方程组
【课标要求】
1.了解二元一次方程（组），二元一次方程（组）的解等概念。

2.了解二元一次方程组的解法――代入法、加减法以及解二元一次方程组的“消元”思想。

理解化“未知”为“已知”和化复杂问题为简单问题的化归思想。

3.会从实际问题中抽象出二元一次方程组解决简单的实际问题（能检验解的合理性）发展学
生灵活运用有关知识解决问题的能力，培养学生良好的数学应用意识。

【中考动向】
解二元一次方程组和二元一次方程组解应用题是各省市历届中考的重要考点，二元一
次方程组的解法多以填空题、选择题形式出现，有时又融入了函数等其他知识，以综合题形
式出现，列方程组解应用题以大题形式出现，一般占5～8分。

【知识网络】
第1课时 方程组的有关概念及解法
【知识要点】
1. 二元一次方程的概念: 含有两个未知数，并且未知数的次数为1的整式方程叫做二元一
次方程。

2. 二元一次方程与二元一次方程组的的解的概念：适合一个二元一次方程的一组未知数的
值，叫做二元一次方程的一个解。

二元一次方程组中各个方程的公共解叫做二元一次方程组
的解
3. 二元一次方程组的解法：代入消元法和加减消元法
【典型例题】
）
数是（
属于二元一次方程的个⑧⑦⑥⑤④③②①下列各式：例.325;6;321
;
25;31
;4;021
;1212y x x z y x y x y x yz z y y x y x -=+=++=+-==-=+=- A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
分析：考查二元一次方程的概念
解： C
例2 （台州市中考题） 方程组⎩⎨⎧=+=+5438
52y x y x 的解为 （ ）
A ⎩⎨⎧-=-=21y x
B ⎩⎨⎧=-=21y x
C ⎩⎨⎧-==21y x
D ⎩⎨⎧==2
1y x 分析： 考查二元一次方程组的的解的概念。

解： B
例3 （2005.南京）解方程组⎩⎨⎧=+=-82302y x y x
分析： 考查二元一次方程组的的解法，用加减消元法。

解：⎩⎨⎧==1
2y x 【知识运用】
一、选择题
⒈ 下列方程中，属于二元一次方程的是 （ ）
y x D y x C y x B xy A 2
1431213152==+=+=- ⒉ 若二元一次方程123=-y x 有正整数解，则x 的取值为（ ）
A 偶数
B 奇数
C 奇数或偶数
D 0
⒊ （2004.济宁）关于的二元一次方程组⎩⎨
⎧=-=+k
y x k y x 95的解也是二元一次方程632=+y x 的解，则k 的值是（ ） 3
434
4343-===-=k D k C k B k A ⒋ （2004。

北京丰台）若0422=++++-y x y x ，则y x 的值为（ ）
A 1
B 0
C -1
D -2
二、填空题
⒌ （2004。

南京）已知⎩⎨⎧==1
2y x 是方程52=+ay x 的解，则a =________
⒍ （2005.武汉课改试验区）方程组⎩⎨
⎧=+=-3253y x y x 的解为________
⒎ （2005.黄冈预测）若关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=+=+354by ax y x 和⎩
⎨⎧=-=-1123by ax y x 有相同的解，则a =____, b =____
三． 解答题
⒏ （2005.十堰市） 已知：
23(1)(2)12
x A B x x x x -=+-+-+，求A 、B 的值。

⒐ （2005.年绵阳）已知等式108)83()72(+=-+-x B A x B A 对一切实数x 都成立，求
A 、
B 的值。

⒑ （2004。

天津）已知关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧-=++=+m y x m y x 25431332的解满足6=+y x ，求m
的值.
第2课时 方程组的应用（一）
【知识要点】
⒈ 熟练列二元一次方程组解决简单的实际调配问题，百分比问题，利润问题，。

⒉ 列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
⑴ 审题，弄清题意及题目中的数量关系。

⑵ 设未知数，可直接设，也可间接设元。

⑶ 列出方程组，根据题目中能表示全部含义的相等关系列出方程，并组成方程组。

⑷ 解所列方程组，并检验解的正确性。

⑸ 写出答案。

【典型例题】
例1 （2003。

益阳）朝阳中学在预防“SARS ”活动中，初三（2）班45名同学被平均分配
到甲、乙、丙三处打扫卫生。

甲处的同学最先完成打扫任务，班卫生委员根据实际情况及时
把甲处同学全部调到乙、丙两处支援，调到后乙处的人数恰好为丙处人数的1.5倍。

问从甲
处调往乙、丙两处个多少人？
分析：考查实际调配问题，所列方程必须满足：⑴方程两边表示的是同类量；⑵同类量的单
位要统一；⑶方程两边的数值要相等。

解：设从甲处调往乙处x 人，调往丙处y 人，则由题意得：
⎪⎩
⎪⎨⎧+=+=+)345(5.1345345y x y x 整理方程组，得⎩⎨⎧=-=+②①153215yy x y x
由①，得y x -=15 ③
将③代入②，得3,155,153)15(2=-=-=--y y y y
将y=3代入③，得12,315=-=x x 答：从甲处调往乙处12人，调往丙处3人。

例2 某工厂去年的总产值比总支出多500万元。

由于今年总产值比去年增加15%,总支出
比去年节约10％，因此今年总产值比总支出多950万元。

今年的总产值和总支出各是多少？
分析：考查百分比问题，注意解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的
实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去。

“设”、“答”两步，都要
写清单位名称。

解 设去年的总产值是x 万元，去年的总支出是y 万元，则由题意列方程组。

⎩⎨⎧=--+=-②①950%)101(%)151(500y x y x
化简②，得 190001823=-y x ③
由①得 500+=y x ④
④ 入③得 1500,75005,19000
18)500(23===-+y y y y 将1500=y 代入④，得 2000=x
所以去年的总产值是2000万元，去年的总支出是1500万元。

从而 1350%)101(,2300
%)151(=-=+y x 答 今年的总产值是2300万元，总支出是1350万元。

例3 李红用甲、乙两种形式储蓄共储存了1万元人民币，其中甲种储蓄的年利率为7％，
乙种储蓄的年利率为6％，一年后得到本息共10680元，问李红两种形式各储蓄多少钱？ 分析：考查了利润问题。

利息＝本金×利率×时间，利润率＝％进价
售价－进价100⨯ 解 设李红用甲种形式储蓄x 元，乙种形式储蓄y 元，根据题意得
⎩⎨⎧=+=+②①680
%6%710000y x y x
解这个方程组得⎩⎨⎧==20008000y x
答：甲种形式储蓄8000元，乙种形式储蓄2000元。

疑难解析
【知识运用】
一、选择题
⒈ （2005。

宁夏）买甲、乙两种纯净水公用250元，其中甲种水每桶8元，乙种水每桶6
元，乙种水的桶数是甲种水桶数的75％，设买甲种水x 桶，乙种水y 桶，则所列方程组种
正确的是 （ ）
A ⎩⎨⎧==+x y y x %7525068
B ⎩⎨⎧==+y x y x %7525068
C ⎩⎨⎧==+x y y x %7525086
D ⎩⎨⎧==+y x y x %7525086
⒉ 补：幸福中学七年级学生到礼堂开会，若每条长凳坐5人，则少10条长凳，若每条长凳
坐6人，则又多余2条长凳，若设学生人数为x 人，长凳数为y ，则可列方程组 （ ）
A ⎩⎨⎧⨯-=⨯+=2665105y x y x
B ⎩⎨⎧+=-=26105y x y x
C ⎩⎨⎧+=-=12
6505y y y x D ⎩⎨⎧-=+=26105y x y x 二、填空题
⒊ “五一”期间，某商场搞优惠促销，决定由顾客抽奖确定折扣。

某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折（按售价的70％销售）和九折（按售价的90％销售），共付款386元，这两种商品原销售价之和为500元。

则这两种商品的原销售价分别为 元 ⒋ （2005。

北京丰台） 如图13-2-1：用8块相同的长方形地砖拼成一块矩形地面，地砖的拼放方式及相关数据如图所示，设每块地砖的长为xcm ，宽为ycm 根据题意可列方程为
图13-2-1
三、解答题
⒌ （2005。

乌鲁木齐）为满足市民对优质教育的需求某中学决定改变办学条件计划拆除一部分旧校舍、建造新校舍。

拆除旧校舍每平米需80元，建造新校舍每平米需700元。

计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共7200平方米，在实施中为扩大绿化面积，新建校舍只完成了计划的80％，而拆除校舍则超过了10％，结果恰好完成了原计划的拆、除的总面积
（1）求原计划拆建面积各多少平方米？
（2）若绿化1平方米需200元，那么在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化大约是多少平方米？
⒍ (2005。

潍坊)为了加强学生的交通安全意识，某中学和交警大队联合举行了“我当一日小交警”活动，星期天选派部分学生到交通路口值勤，协助交通警察维护交通秩序．若每一个路口安排4人，那么还剩下78人；若每个路口安排8人，那么最后一个路口不足8人，但不少于4人．求这个中学共选派值勤学生多少人？共有多少个交通路口安排值勤？ ⒎ （2005年十堰市）十堰市东方食品厂2003年的利润（总产值-总支出）为200万元，2004年总产值比2003年增加了20%，总支出减少了10%。

2004年的利润为780万元。

问2003年总产值、总支出各是多少万元？
⒏ （黑龙江）某商场计划用9万元从厂家购进50台电视机，已知该厂生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元。

(1) 若商场同时购进其中两种不同型号电视机共50台，用去9万元，请你研究一下进货方案。

(2) 若商场销售一台甲种电视机获利150元，一台乙种电视机可获利200元，一台丙种电视机可获利250元，在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为使销售获利最多，你选哪种？
(3) 若商场准备用9万元购进三种不同型号的电视机50台，请你设计进货方案。

第3课时 方程组的应用（二）
【知识要点】
⒈ 数字问题 c b a a b c
++=10100 ⒉ 行程问题 速度×时间＝距离
【典型例题】
例1 有一个三位数，现将最左边的数字移到最右边，则比原来的数小45；又已知百位数字
的9倍比由十位数字和个位组成的二位数小3，试求原来的三位数。

分析：考查了数字问题
解 设百位数字为x ，由十位和个位数字组成的两位数为y ，则这个原三位数为100x +y , 对调的新三位数为10y+x ，则
⎩⎨⎧-+=+-=451001039y x x y y x 解方程组，得⎩
⎨⎧==394y x 所以原来的三位数是439
答：所以原来的三位数是439
例2 （2005。

江苏宿迁）在“五一黄金周”期间，小明和他的父母坐游船从甲地到乙地观光，在售票大厅看到表（一）， 爸爸对小明说：“我来考考你，你能知道里程与票价之间有何关系吗？”小明点了点头说：“里程与票价是一次函数关系，具体是……”．
在游船上，他注意到表（二），思考一下，对爸爸说：“若游船在静水中的速度不变，那么我还能算出它的速度和水流速度．”爸爸说：“你真聪明！”亲爱的同学，你知道小明是如何求出的吗？请你和小明一起求出：
（1）票价y （元）与里程x （千米）的函数关系式；
表 （一 ） 表（二）
分析 考查了行程问题
此题用到水路行船问题：顺水速度＝静水速度＋水流速度
逆水速度＝静水速度＋水流速度
解：（1）设票价y 与里程x 关系为y kx b =+，
当x ＝10时，y ＝26；当x ＝20时，y ＝46；
∴10262046k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得：26
k b =⎧⎨=⎩．
∴票价y 与里程x 关系是26y x =+．
（2）设游船在静水中速度为m 千米/小时，水流速度为n 千米/小时，
根据图中提供信息，得1()162()163
m n m n ⨯-=⎧⎪⎨+=⎪⎩， 解得：204m n =⎧⎨=⎩．
答：游船在静水速度为20千米/小时，水流速度为4千米/小时．
例3 (2005。

枣庄)某水果批发市场香蕉的价格如下表：
张强两次共购买香蕉50千克(第二次多于第一次)，共付款264元，请问张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克?
．解：设张强第一次购买香蕉x 千克，第二次购买香蕉y 千克．由题意，得
0<x<25． ………………………………………………………………2分
① 当0<x ≤20，y ≤40时，由题意，得
⎩⎨⎧=⎩⎨⎧=+=+36
142645650y x y x y x ＝　解得 …………………………… 5分 ② 当0<x ≤20，y>40时，由题意，得
⎩
⎨⎧=⎩⎨⎧=+=+18232644650y x y x y x ＝　解得(不合题意，舍去)． ……………8分 ③ 当20<x<25时，25<y<30．此时张强用去的款项为
5x+5y=5(x+y)=5×50=250<264(不合题意，舍去) ……………11分
综合①②③可知，张强第一次购买香蕉14千克，第二次购买香蕉36千克. …12分
例4、 (2005。

浙江)某电脑公司现有A ，B ，C 三种型号的甲品牌电脑和D ，E 两种型号的乙品牌电脑．希望中学要从甲、乙两种品牌电脑中各选购一种型号的电脑． (1) 写出所有选购方案(利用树状图或列表方法表示）；
(2) 如果(1)中各种选购方案被选中的可能性相同，那么A 型号电脑被选中的概率是多
少？
(3) 现知希望中学购买甲、乙两种品牌电脑共36台(价格如图所
示)，恰好用了10万元人民币，其中甲品牌电脑为A 型号电脑，
求购买的A 型号电脑有几台．
分析 此类问题需要透彻地分析实际问题中已知量和未知量之间的关
系，将问题中自然表达的实际问题（即普通语言）译成用数学符合
表达的方程（组）（即数学语言），建立起方程模型，通过解方程（组）
来解决实际问题。

本题是将概率、方程知识融合在一起考察，是一
道新颖设计问题，这到题实用性强，渗透了课改理念，体现了时代发展的特征。

解：(1) 树状图如下(3分)： 列表如下(3分)：
有6种可能结果：(A ，D )，（A ，E ），（B ，D ），
（B ，E ），（C ，D ），（C ，E ）．
(2) 因为选中A 型号电脑有2种方案，即(A ，D )（A ，E ），所以A 型号电脑被选中的概率是3
1 (3) 由(2)可知，当选用方案（A ，D ）时，设购买A 型号、D 型号电脑分别为x ，y 台，
根据题意，得⎩
⎨⎧=+=+.10000050006000,36y x y x 解得⎩⎨⎧=-=.
116,80y x 经检验不符合题意，舍去；
当选用方案（A ，Ｅ）时，设购买A 型号、Ｅ型号电脑分别为x ，y 台，根据题意，得
⎩
⎨⎧=+=+.10000020006000,36y x y x 解得⎩
⎨⎧==.29,7y x 所以希望中学购买了7台A 型号电脑．
【知识运用】 一、 选择题
⒈ （2005。

潍坊）为了改善住房条件，小亮的父母考察了某小区的A B 、两套楼房，A 套楼房在第3层楼，B 套楼房在第5层楼，B 套楼房的面积比A 套楼房的面积大24平方米，两套楼房的房价相同，第3层楼和第5层楼的房价分别是平均价的1.1倍和0.9倍．为了计算两套楼房的面积，小亮设A 套楼房的面积为x 平方米，⎩
⎨⎧=-=241.19.0x y y x B 套楼房的面积1.10.924
x y x y =⎧⎨-=⎩为y 平方米，根据以上信息列出了下列方程组．其中正确的是（ ）． A ．⎩
⎨⎧=-=241.19.0x y y x B ． 1.10.924x y x y =⎧⎨-=⎩ C ．0.9 1.124x y x y =⎧⎨-=⎩ D ． 1.10.924
x y y x =⎧⎨-=⎩ 2．6年前，A 的年龄是B 的3倍，现在A 的年龄是B 的两倍，则A 现在的年龄是（ ）
A 12 B. 18 C. 24 D. 30
3. 已知长江比黄河长836千米，黄河长度的6倍比长江5倍多1284千米，设长江、黄河的长分别是x 、y 千米，则下列方程组正确的是 （ ）
A ．⎩⎨⎧=-=-128465836y x y x
B ． ⎩⎨⎧=-=-1284
56836x y x y
C ．⎩⎨⎧=-=-128456836x y y x
D ．⎩⎨⎧=-=-1284
65836y x x y 二、填空题
4． 甲、乙两人在周长为400米的环形跑道上练跑，如果相向出发，每隔2.5分钟相遇一次；如果同向出发，每隔10分钟相遇一次；如果两人速度不变，且甲比乙慢，则甲、乙两人的速度分别是
5．某江边一洼地发生管涌，江水不断的涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用两台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完，若想尽快处理好险情，将水在10分钟内抽完，那么至少需要抽水机 台
⒍ 一个两位数的十位数字比个位数字小2，且被3整除，若十位数字与个位数字交换，又能被5整除，这个两位数是
⒎ （2005。

临沂）李明家和陈刚家都从甲、乙两供水点购买同样的一种桶装矿泉水，李明家第一季度从甲、乙两供水点分别购买了10桶和6桶，共花费51元；陈刚家第一季度从甲、乙两供水点分别购买了8桶和12桶。

且在乙供水点比在甲供水点多花18元钱。

若只考虑价格因素，通过计算说明到哪家供水点购买这种桶装矿泉水更便宜一些？
⒏ (2005。

盐城)学校书法兴趣小组准备到文具店购买A 、B 两种类型的毛笔，文具店的销售方法是：一次性购买A 型毛笔不超过20支时，按零售价销售；超过20支时，部分超过每支比零售价低0.4元，其余部分仍按零售价销售。

一次性购买B 型毛笔不超过15支时，按零售价销售；超过15支时，部分超过每支比零售价低0.6元，其余部分仍按零售价销售。

（1） 如果全组共有20名同学，若每人各买1支A 型毛笔和2支B 型毛笔，共支付145
元；若每人各买2支A 型毛笔和1支B 型毛笔，共支付129元。

这家文具店的A 、B 两种类型毛笔的零售价各是多少？
（2） 为了促销，该文具店对A 型毛笔除了原来的销售方法外，同时又推出了一种新的销
售方法：无论购买多少支，一律按原零售价（即（1）中所求得的A 型毛笔的零售价）的90%出售。

现要购买A 型毛笔a 支（a ＞40），在新的销售方法和原销售方法中，应选择哪种方法购买花钱较少？并说明理由。

⒐ （北京顺义）为北京成功申办2008奥运会，顺义区准备对潮白河某水上工程进行改道，若请甲工程队单独做此项工程需3个月完成，每月要耗资12万元，若请乙工程队单独做此项工程需6个月完成，每月要耗资5万元。

⑴ 请问甲、乙两工程队合作需几个月完成？耗资多少万元？
⑵ 因种种原因，有关领导要求最迟4个月完成此项工程即可，请你设计一种方案，即保证按时完成任务，又最大限度节省资金（时间按整月计算）。

第十三讲单元测试
一、选择题
⒈ 下列各式中，为二元一次方程的是 （ ）
（1）7231=+y
x （2）b a 3- （3）y x 34= （4）2x y = （5）
1251=-y x （6）y x xy += （7）22y x - （8）1)(5)(4+-=+y x y x A (1)(3) B (2)(6) C (4)(8) D (3)(8)
⒉ 若方程组⎩⎨⎧=--=+8
)1(534y k kx y x 的解中，x 的值比y 值的相反数大1，则k 为 （ ）
A 3
B -3
C 2
D -2
⒊ 方程1523=+y x 在自然数范围内的解共有 （ ）
A 1组
B 2组
C 3组
D 无数组
⒋ (2005。

河南)如图13-4-1，点O 在直线AB 上，OC 为射线，1∠比2∠的3倍 少︒10，设1∠，2∠的度数分别为x ,y ,那么下列求出这两个
角的度数的方程是 （ ）
A ．⎩⎨⎧-==+10180y x y x
B ．⎩⎨⎧-==+103180y x y x
C ．⎩⎨⎧+==+10
180y x y x D ．⎩⎨⎧-==1031803y x y 图13－4－1 ⒌ 一批宿舍，若每间住1人，有10人无处住;若每间住3人，则有10间无人住，这批宿舍的间数为 （ ）
A 20间
B 10间
C 15间
D 12间
⒍ （2001。

咸宁）若0422=++++-y x y x ，则y x 的值为 （）
A 1
B 0
C -1
D -2
二、 填空题
⒎ （03年河南）若单项式2222+-+m n n m b a
与75b a 是同类项， 则m n 的值
⒏ 已知方程组⎩⎨⎧-=-+=-5321y x b by ax ，与方程组⎩⎨⎧=+-=+13
321y x a by ax 解相同，则a= ,b=
⒐ 二元一次方程3052=+y x 所有的正整数解是
⒑ 一张方桌由一张桌面和四根桌腿组成，已知1立方米木料可以做桌面50个或做桌腿300个，现有5立方米木料，能做方桌 张
11．某次知识竞赛共出了25道题，评分细则如下：答对1题加4分；答错1题扣1分；不答题记0分，已知李刚不答的题比答错的题多2道，他的总分为74分，则他答对了
三、 解答题
12．（2002。

陕西）解方程组⎩
⎨⎧-=++=-)3(3)1(2)3(2)1(5y x y x 13．（2005。

重庆）（8分）为了解决农民工子女入学难的问题，我市建立了一套进城农民工子女就学的保障机制，其中一项就是免交“借读费”。

据统计，2004年秋季有5000名农C A B (第4 1 2 O
民工子女进入主城区中小学学习，预测2005年秋季进入主城区中小学学习的农民工子女将比2004年有所增加，其中小学增加20%，中学增加30%，这样，2005年秋季将新增1160名农民工子女在主城区中小学学习。

（1）如果按小学每生每年收“借读费”500元，中学每生每年收“借读费”1000元计算，求2005年新增的1160名中小学生共免收多少“借读费”？
（2）如果小学每40名学生配备2名教师，中学每40名学生配备3名教师，若按2005年秋季入学后，农民工子女在主城区中小学就读的学生人数计算，一共需要配备多少名中小学教师？
14．（2003。

恩施自治州）为了加快西部大开发的步伐，泸蓉高速公路施段即将动工。

修筑高速公路经过某村，因工程的需要，需搬迁一批农户，州政府在“节约土地资源，保护自然环境，保证农民正常生活”的前提下，统一规划了搬迁建房区域，规划要求区域内的绿地面积不得少于区域总面积的20％。

如果搬迁农户建房每户占地150平方米，则区域内绿地面积还占总面积的35％，州政府采取优惠政策，鼓励其他有积蓄的农户到规划区域内建房，这样又有15户农户加入，若仍以每户建房占地150平方米计算，则这时绿地面积又只占规划区域总面积的10％。

⑴求最初需搬迁的农户有多少户，政府规划的建房区域总面积是多少平方米？
⑵求保证绿地面积不少于规划区域总面积的20％。

至少需退几户农户？
15．（2003。

黄冈）已知某电脑公司有A型、B 型、C型三种型号的电脑，其价格分别为每台A型6000元、B型4000元、C型2500元。

我市东坡中学计划将100500元钱全部用于从该电脑公司购进其中两种不同型号的电脑共36台，请你设计出几种不同的购买方案供该校选择，并说明理由。