(教师原创)上海交大附中2014-2015学年高一上学期数学精品教学案 ：1-4-2 命题的形式及等价关系(二)

【教案样例】
教学目标：
1．知道命题的四种形式及其相互关系，理解否命题、逆否命题；
2．在探究命题的四种形式及其相互关系的过程中，领会分类、判断、推理的思想方法；
3．在进一步认识基本的逻辑关系及其运用活动中，体会逻辑语言在数学表达和论证中的重要作用，树立分析问题条理清楚、理由充分、符合逻辑的数学意识.
教学重点：理解否命题、逆否命题.
教学难点：正确写出命题的否命题和逆否命题；运用逻辑语言表述和论证真命题.
教学过程：
就是“如果α，那么β”.如果我们把这个命题的结论和条件互换，就得到一个新命题：“如果β，那么α”，这个命题与前一个命题有怎样的关系呢？这就是我们将要学习的“命题的四种形式”(引入新课)……
2.概念形成：(教学提示：这一环节可采用教师引领下的学生阅读教材或学生阅读教师呈现的PPT 素材，教师引导学生自己互写命题的形式建构概念，激发学生积极思考、参与教学的热情) (1)逆命题：把命题：“如果α，那么β”的结论与条件互换，得到的新命题：“如果β，那么α”.我们把这个新命题叫做原命题的逆命题.事实上，这两个命题互为逆命题.
如命题(A)“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等”的逆命题是命题(B)“如果两个三角形面积相等，那么这两个三角形全等”.
(2)否命题：若一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定与结论的否定，则把这两个命题叫做互否命题.如果其中一个是原命题，则另一个就叫做原命题的否命题.
我们通常把αβ
、的否定分别记为αβ、，那么命题“如果α，那么β”的否命题就是：“如果α，那么β”.
如命题(A)的否命题是“如果两个三角形不全等，那么这两个三角形的面积不相等”.
(3)逆否命题：我们把原命题“如果α，那么β”的结论否定作条件，把条件否定作结论，就
数学思考：
命题的否定形式：把原命题“如果α，那么β”的条件不变，结论否定，得到一个新命题：“如果α，那么β”.这个新命题叫做原命题的否定形式.请你说一说否命题与命题的否定形式的区别在哪里？
3．概念应用(教学提示：采用师生共同完成，或让学生独立完成，再选代表交流，提问是否有不同答案，进一步明晰概念，达成正确理解概念的目的)
【属性】高一（上），集合与命题，四种命题形式，解答题，中，分析问题解决问题
【题目】
写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假：
原命题：若1
x>，则0
x>.
【解答】逆命题：若0
x>，则1
x>．这是假命题.
否命题：若1
x≤，则0
x≤.这是假命题.
逆否命题：若0
x≤，则1
x≤.这是真命题.
解题反思：熟悉和准确理解一些常见的词或符号的否定形式：“‘<’的否定形式是‘≥’”、“‘>’的否定形式是‘≤’”、“‘=’的否定形式是‘≠’”、“‘或’的否定形式是‘且’”、“‘且’的否定形式是‘或’”，是正确写出一个命题的否命题或逆否命题的前提条件.
变式练习：写出命题“如果12
a b
==
且，那么21
a b ab
+>>
或”的否命题.
【属性】高一（上），集合与命题，四种命题形式，解答题，中，分析问题解决问题
【题目】
写出命题“偶数加偶数是偶数”的否命题和逆否命题.
【解答】我们先把原命题改写为：如果是两个偶数相加，那么他们的和是偶数.
否命题：如果不是两个偶数相加，那么他们的和不是偶数.
逆否命题：如果两个整数相加不是偶数，那么他们不是两个偶数之和.
解题反思：若一个命题不是“如果…，那么…”的形式，则我们应先把他改写成“如果…，那么…”的形式，再写他的其他三种命题形式就容易了.
数学交流活动：
对于四种命题形式，你能画图分析他们之间哪些是互为逆命题、互为否命题、互为逆否命题呢？看谁画的图表直观明了.
4．课堂反馈(学生独立完成，教师巡视，提供指导和发现闪光点，获取第一手反馈材料,强化概念的理解和重视概念的应用)
(1)教材练习18P 1.4(2)：1，2.
(2)练习册习题1.4 A 组5P 4；6P 6.
5．课堂小结：（让学生用自己的语言归纳小结，并通过补充和订正提高参与度）
(1)原命题、逆命题、否命题、逆否命题；
(2)理解四种命题的相互关系，并熟悉一些常见词或符号的否定形式是正确写出一个命题的否命题或逆否命题的保证；
(3)知道否命题与命题的否定形式的区别；会写出一个已知命题的逆命题、否命题、逆否命题，并初步判断其真假.
6．作业布置： (基础型)必做题：
(1) 教材练习18P 1.4(2)：3；
(2) 练习册5P 1.4A 5．
(拓展型)选做题：
(3)写出命题：“如果1x ≥且1y ≥，那么2x y +≥或1xy ≥”的否命题和逆否命题.
【情景资源】
情景１(新课导入)
在初中，我们已经知道命题由条件和结论构成．通过进一步学习和探究，我们发现有些命题
∆中，若的条件与结论与另一个命题的条件与结论之间存在某种关系，譬如，命题：“在ABC
≠，则C B
∆中，若AB AC
∠≠∠”，两个命题的=，则C B
AB AC
∠=∠”与命题：“在ABC
条件与结论互为否定关系.那么命题之间存在哪些关系呢？这就是我们今天学习的“四种命题形式”(引入新课)……
情景２(过渡衔接)
学好数学，准确理解概念，弄清概念之间的异同关系是关键，你能说一说否命题与命题的否定形式的区别吗？相同点是什么？不同点有哪些？
情景３(过渡衔接)
我们已经学习了四种命题形式，你能对他们之间的相互关系“互为逆命题、互为否命题、互为逆否命题”用一个图表的形式加以描述吗？……
【题目资源】
【属性】高一（上），集合与命题，命题的四种形式，填空题，中，分析问题解决问题
【题目】
命题“有一个角是60o的等腰三角形是正三角形”的逆命题是．
【解答】逆命题：如果一个三角形是正三角形，那么它是有一个角为60o的等腰三角形．
【属性】高一（上），集合与命题，命题的四种形式，填空题，中，分析问题解决问题
【题目】
命题“奇数加奇数是偶数”的逆命题是．
【解答】逆命题：如果两个整数之和为偶数，那么这两个整数都是奇数．
【属性】高一（上），集合与命题，命题的四种形式，填空题，易，分析问题解决问题
【题目】
命题“若2
4x =，则2x =”的否命题是 ．
【解答】否命题：若24x ≠，则2x ≠．
【属性】高一（上），集合与命题，命题的四种形式，填空题，中，分析问题解决问题
【题目】
命题“如果一元二次方程2
0(0,)ax bx c a a b c R ++=≠∈、、满足0ac <，那么这个方程有实数根”的逆命题是 ，并判断逆命题的真假． 【解答】逆命题：如果一元二次方程20(0,)ax bx c a a b c R ++=≠∈、、有实数根，那么满足0ac <.逆命题是假命题，反例：方程2
320x x -+=有实数根，2ac =不满足0ac <.
【属性】高一（上），集合与命题，命题的四种形式，填空题，易，分析问题解决问题
【题目】
命题“如果3≤x ，那么3x <”的否命题是 .
【解答】否命题：如果3x >，那么3x ≥.
【属性】高一（上），集合与命题，命题的四种形式，填空题，易，分析问题解决问题
【题目】
命题“如果3≤x ，那么92
≤x ”的逆否命题是 ，是 命题
【解答】逆否命题：如果29x >，那么3x >.这个命题是假命题.
【属性】高一（上），集合与命题，命题的四种形式，填空题，较难，分析问题解决问题
【题目】
命题“如果34x ==且y ，那么66x y xy +>>或”的否命题是 ．
【解答】否命题：如果34x ≠≠或y ，那么66x y xy +≤≤且.
【属性】高一（上），集合与命题，命题的四种形式，填空题，易，分析问题解决问题
【题目】
命题“已知x R ∈，如果||2x <，那么2x <”的逆否命题是 命题(填：真或假)．
【解答】原命题的逆否命题是：已知x R ∈，如果2x ≥，那么||2x ≥.这个命题是真命题.
【属性】高一（上），集合与命题，命题的四种形式，填空题，中，分析问题解决问题
【题目】
命题“已知P Q 、是集合，如果P Q P =I ，那么P Q Q =U ”的否命题是 ．
【解答】否命题：已知P Q 、是集合，如果P Q P ≠I ，那么P Q Q ≠U .
【属性】高一（上），集合与命题，命题的四种形式，填空题，易，分析问题解决问题
【题目】
命题“如果ABC ∆是等边三角形，那么ABC ∆是轴对称图形”的逆否命题是 ， 并判断逆否命题的真假.
【解答】逆否命题是：如果ABC ∆不是轴对称图形，那么ABC ∆不是等边三角形．逆否命题是真命题.
【属性】高一（上），集合与命题，命题的四种形式，填空题，较难，分析问题解决问题
【题目】
命题“已知0k ≠，如果函数y kx b =+的图像不经过第四象限，那么00k b >≥且”的否命题是 ．
【解答】否命题：已知0k ≠，如果函数(0)y kx b k =+≠的图像经过第四象限，那么00k b <<或
【属性】高一（上），集合与命题，命题的四种形式，填空题，较难，分析问题解决问题
【题目】
命题“四边相等的平面四边形是菱形”的否命题是 .
【解答】原命题可改写成：如果一个平面四边形的四边都相等，那么该四边形是一个菱形. 因此，原命题的否命题是：如果一个平面四边形的四边不都相等，那么该四边形不是一个菱形.
【属性】高一（上），集合与命题，命题的四种形式，填空题，较难，分析问题解决问题
【题目】
命题：“已知x y N ∈、，如果x y +是偶数，那么x 和y 都是偶数”的逆否命题是 ．
【解答】逆否命题：已知x y N ∈、，如果x 和y 不都是偶数，那么x y +不是偶数．
【属性】高一（上），集合与命题，命题的四种形式，解答题，易，分析问题解决问题
【题目】
已知命题A 是B 互为否命题，命题C 是B 的逆命题，则命题C 与A 互为 命题.
【解答】逆否命题.
【属性】高一（上），集合与命题，命题的四种形式，填空题，较难，分析问题解决问题
【题目】
命题“已知m n Z ∈、，如果m n 、均为偶数，那么m n +是偶数”.的逆否命题是 ， 并判断逆否命题的真假. 【解答】逆否命题是：已知m n Z ∈、，如果m n +不是偶数，那么m n 、不都为偶数”． 这个命题是真命题.
【属性】高一（上），集合与命题，命题的四种形式，填空题，较难，分析问题解决问题
【题目】
命题“如果00x y >>且，那么0xy >”的逆否命题是 ，是 命题(填：真或假).
【解答】逆否命题是：如果0xy ≤，那么00x y ≤≤或.这是一个真命题.
【属性】高一（上），集合与命题，命题的四种形式，填空题，易，分析问题解决问题
【题目】
命题“已知a b c R ∈、、且0a ≠，如果 240b ac ->，那么关于x 的方程2
0ax bx c ++=有实数根”的逆命题是 ，并判断逆命题的真假. 【解答】逆命题是：已知a b c R ∈、、且0a ≠，如果关于x 的方程20ax bx c ++=有实数根，那么2
40b ac ->.逆命题是假命题.
【属性】高一（上），集合与命题，命题的四种形式，填空题，易，分析问题解决问题 【题目】
命题“如果0a ≠，那么0ab ≠”的逆否命题是 ，并判断其真假.
【解答】，逆否命题：如果0ab =，那么0a =.逆否命题是假命题.
【属性】高一（上），集合与命题，命题的四种形式，填空题，中，分析问题解决问题
【题目】
已知命题A ：如果2x <，那么4x <；命题B ：如果2x ≥，那么4x ≥；命题C ：如果4x ≥，那么2x ≥，填写各命题之间的关系：
A B 与互为 命题， B C 与互为 命题，A 与C 互为 命题.
【解答】A B 与互为否命题；B C 与互为逆命题；A 与C 互为逆否命题.
【属性】高一（上），集合与命题，命题的四种形式，填空题，中，分析问题解决问题
【题目】
命题“如果抛物线)0(2
≠++=a c bx ax y 的图像经过原点，那么0=c ”的逆命题是 ，并判断逆命题的真假.
【解答】逆命题是：如果0=c ，那么抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的图像经过原点.逆命题是真命题.。