2019_2020学年九年级数学下册第1章二次函数1.2二次函数的图像与性质教学课件(新版)湘教版

8 6 4 2 -4 -2
24
函数
y
1 2
x2
,
y
2x2
的图象与函数
ห้องสมุดไป่ตู้
y=x2的图象相
比，有什么共同点和不同点？
相同点：开口方向：向上
顶点：原点（0,0）——最低点
对称轴： y 轴 增减性：y 轴左侧，y随x增大而减小
y 轴右侧，y随x增大而增大
y x2
8
6
y 2x2
简称：左降，右升 极值：x=0时,y最小=0 不同点：开口大小不同
2
1
左右平移得到
-4 -3 -2 -1-10
-2
-3
-4
y 1 (x 1)2 2
-5 -6
-7
-8
1234 x
y 1 x2 2
y 1 (x 1)2 2
归纳
用平移观点看函数：
抛物线 y a(x h)2 可以看作是由
抛物线 y ax2 平移得到。
(1)当h>0时，向右平移
h 个单位；
致是如下图的 ( )
y
y
y
y ax c
o
x
A
C
o
x
o
x
y
y
B
o
D x
o
x
巩固
6、如图，某桥洞的抛物线形，水面宽AB=1.6m，桥 洞顶点C到水面的距离为2.4m，求这个桥洞所在抛 物线的解析式。 y C
Ao
Bx
范例
例2、如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成：长方
形的长是8m，宽是2m，抛物线可用
3.当a<0时，开口向下； 在对称轴的左侧，y随x的增大而增大， 在对称轴的右侧，y随x的增大而减小； 当x=0时，y取最大值为c。
探究 一、在同一坐标系中画二次函数的图象：
(1) y 1 x2 2
(2) y 1 (x 1)2 2
(3) y 1 (x 1)2 2
二、关于三条抛物
y
线，你有什么看法？
y 1 (x 1)2 2
-5 -6
-7
-8
1234 x
y 1 x2 2
y 1 (x 1)2 2
(2)开口大小有没有变化？
y
2
1
-4 -3 -2 -1-10
-2
-3
-4
y 1 (x 1)2 2
-5 -6
-7
-8
1234 x
y 1 x2 2
y 1 (x 1)2 2
y
(3)对称轴是什么？
1
2
3 ···
y = x2 ··· 9
4 1 01
4 9 ···
2. 根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）
3.连线 如图，再用平滑曲
9
线顺次连接各点，就得到y
6
= x2 的图象．
3
－3
3
从图像可以看出，二次函数 y = x2的图象是一条曲线，它的形状类
似于投篮球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲
它是抛物线 y x2的最低点．
y 10
9 8
y x2
7
6
5
4
3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
抛物线与对称轴 有交点吗？
议一议
观察图象,回答下列问题： (1)当x<0时,随着x的值增大, y 的值如何变化？当x>0呢？ (2)当x取什么值时,y的值最小? 最小值是什么? 你是如何知道 的？
2.当a>0时，开口向上； 在对称轴的左侧，y随x的增大而减小， 在对称轴的右侧，y随x的增大而增大； 当x=0时，y取最小值为c。
3.当a<0时，开口向下； 在对称轴的左侧，y随x的增大而增大， 在对称轴的右侧，y随x的增大而减小； 当x=0时，y取最大值为c。
4、说出下列函数图象的性质：
(1) y 1 x2 2 2
y
1 4
x2
4
表示。
(1)一辆货运卡车高4m，宽2m，它能
通过隧道吗？
y 4
-4
o
4x
-2
(2)如果隧道内设双行道，那么这辆货运卡车是否
可以通过？
(3)如果隧道内设双行道，为安全起见，你认为
2m宽的卡车应限高多少比较合适？ y 4
-4
o
4x
-2
小结
二次函数 y ax2 c 的图象及性质：
(1)形状、对称轴、顶点坐标；
c (2)当c<0时，向下平移 个单位；
复习
、 3、指出下列函数的开口方向、顶点坐
标、对称轴及增减性：
(1) y 2x2 3 4
(2) y 3x2 1 2
复习
二次函数 y ax2 c的图象及性质：
1.图象是一条抛物线，对称轴为y轴， 顶点为(0，c)。
2.当a>0时，开口向上； 在对称轴的左侧，y随x的增大而减小， 在对称轴的右侧，y随x的增大而增大； 当x=0时，y取最小值为c。
(1)形状、对称轴、顶点坐标； (2)开口方向、极值、开口大小； (3)对称轴两侧增减性。
第4课时
复习
1、抛物线 y 1 x2 1可以看作是由 2
抛物线 y 1 x2向 平移 2
而得到。
个单位
☆ 抛物线 y 1 x2 1的顶点坐标和 2
对称轴是什么？
复习
用平移观点看函数：
抛物线 y ax2 c可以看作是由
列表、描点、连线
函数的重要方法．我
(3) 二次函数的图象是什么形状 呢？它又有哪些性质？
们得从最简单的二次 函数开始，逐步深入 地讨论一般二次函数
的图象和性质．
画最简单的二次函数 y = x2 的图象 1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几 组对应值：
x ··· －3 －2 －1 0
教学课件
数学 九年级下册 湘教版
第1章 二次函数
1.2 二次函数的图像与性质
第1课时
y x2
8 6
4
2
y 2x2 y 1 x2 2
-4 -2
24
(1)一次函数的图象是一条_直__线__，反比例函数的图象
是__双__曲__线__.
(2) 通常怎样画一个函数的图象？
结合图象讨论性 质是数形结合的研究
2
解：分别填表，再画出它们的图象，如图
x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ···
y 1 x2 ··· 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ··· 2 x ··· -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y 2x2 ··· 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ···
(5)增减性怎么样？
y
2
1
-4 -3 -2 -1-10
-2
-3
-4
y 1 (x 1)2 2
-5 -6
-7
-8
1234 x
y 1 x2 2
y 1 (x 1)2 2
归纳
二次函数 y a(x h)2 的图象及性质：
1.图象是一条抛物线，对称轴为直线 x=h，顶点为(h，0)。
2.当a>0时，开口向上； 在对称轴的左侧，y随x的增大而减小， 在对称轴的右侧，y随x的增大而增大； 当x=h时，y取最小值为0。
点，
、
(4)当a<0时，抛物线开口向 ，顶点是最 在对称轴的左侧，y随x的增大而 ， 在对称轴的左侧，y随x的增大而 ， a值越大，开口越 .
点，
探究 一、在同一坐标系中画二次函数的图象：
(1) y x2
(2) y x2 1
(3) y x2 1
归纳
用平移观点看函数：
抛物线 y ax2 c 可以看作是由 抛物线 y ax2平移得到。
c (1)当c>0时，向上平移 个单位；
c (2)当c<0时，向下平移 个单位；
2、二次函数 y x2 2 是由二次函数
y x2 向 平移 个单位得到的。
3、二次函数 y 3x2 2是由二次函
数
向上平移5个单位得到的。
归纳
二次函数 y ax2 c的图象及性质：
1.图象是一条抛物线，对称轴为y轴， 顶点为(0，c)。
2
1
-4 -3 -2 -1-10
-2
-3
-4
y 1 (x 1)2 2
-5 -6
-7
-8
1234 x
y 1 x2 2
y 1 (x 1)2 2
y
(4)顶点各是什么？
2
1
-4 -3 -2 -1-10
-2
-3
-4
y 1 (x 1)2 2
-5 -6
-7
-8
1234 x
y 1 x2 2
y 1 (x 1)2 2
a 值越大，抛物线的开口越小．
4 2 －4 －2
y 1 x2 2
24
y=ax2 (a≠0)
a>0
图
y
象
Ox
开口方向
向上
顶点坐标
(0 ,0)
对称轴
y轴
增 减
当x<0时，y随着x的增大而减小
性
当x>0时，y随着x的增大而增大
极值
x=0时, y最小=0
抛物线y=ax2 (a>0)的形状是由a来确定的,一般说来,a越大,开口越大
(2) y 2x2 3
开口方向、对称轴、顶点、增减性。
范例
例1、求符合下列条件的抛物线 y ax2 1
的函数关系式：
(1)经过点(-3，2)；
(2)与
y
1 2
x2 的开口大小相同，方向相反；
(3)当x的值由0增加到2时，函数值减少4。
巩固
5、已知一次函数 y ax c的图象如图
所示，则二次函数 y ax2 c 的图象大
巩固
6、说出下列函数图象的性质：
(1) y 1 (x 2)2 2
(2) y 2(x 3)2
开口方向、对称轴、顶点、增减性。
巩固
7、将抛物线 y ax2 向左平移后，所得新抛物线的顶
点横坐标为-2，且新抛物线经过点(1，3)，求a的值。
范例
例2、求抛物线 y 2x2 4x 2 的对称轴方程
练习1：根据函数图象填空： 抛物线y=2x2的开口方向是 向上 对称轴是 y轴 ，顶点坐标是（0，0）, 在 对称轴的右 侧，y随着x的增大而增大； 在对称轴的左 侧，y随着x的增大而减小， 当x= 0 时，函数y的值最小，最小值是 0 , 抛物线y=2x2在x轴的 上 方（除顶点外）。
练习2：若抛物线y=ax2 (a ≠ 0)，过点(-1，3). （1）则a的值是 3 ； （2）对称轴是 y轴 ，开口 向上 . （3）顶点坐标是 (0,0) ，
抛物线在x轴的 上 方（除顶点外）.
（4）求出这个二次函数的最大值或最小值. （5） 在此抛物线上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1>x2>0, 试比较y1与y2的大小.
第2课时
复习
1、二次函数 y ax2 的图象及性质：
(1)图象是 ；
(2)顶点为
，
对称轴为
；
、
(3)当a>0时，抛物线开口向 ，顶点是最 在对称轴的左侧，y随x的增大而 ， 在对称轴的左侧，y随x的增大而 ， a值越大，开口越 ；
(2)当h<0时，向左平移
h 个单位。
y
o
x
巩固
4、二次函数 y (x 2)2 是由二次函数
y x2 向 平移 个单位得到的。
5、二次函数 y 2(x 3)2是由二次函
数
向左平移3个单位得到的。
探究
三、观察三条抛物线：
y
2
(1)开口方向是什么？
1
-4 -3 -2 -1-10
-2
-3
-4
抛物线 y ax2平移得到。
c (1)当c>0时，向上平移 个单位；
c (2)当c<0时，向下平移 个单位；
2、抛物线 y 1 (x 1)2可以看作是由 2
3.当a<0时，开口向下； 在对称轴的左侧，y随x的增大而增大， 在对称轴的右侧，y随x的增大而减小； 当x=h时，y取最大值为0。
范例
例1、已知抛物线 y a(x 2)2 经过点
(1，3)，求： (1)抛物线的关系式； (2)抛物线的对称轴、顶点坐标； (3)x=3时的函数值； (4)当x取何值时，y随x的增大而增大。
线叫做抛物线 y = x2 ，
实际上, 二次函数的图象都是抛物线， 一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c（a≠0） 的图象叫做抛物线y = ax2 + bx + c
这条抛物线是轴对称图形吗？如果 是，它的对称轴是？找几对对称点？
二次函数y = x 2 的图象是轴对称图形，
对称轴是y轴
抛物线 y x2与它的对称轴的交点 （0，0）叫做抛物线 y x2 的顶点
(2)开口方向、极值、开口大小；
(3)对称轴两侧增减性。
第3课时
复习
1、抛物线
y
1 3
x2
向上平移3个单位，
得到抛物线
；
2、抛物线 y 2x2 4 向 平移 个 单位，得到抛物线 y 2x2 3 。
用平移观点看函数：
抛物线 y ax2 c可以看作是由抛物线 y ax2
平移得到。
c (1)当c>0时，向上平移 个单位；
y
y x2
x O
当x<0 (在对称轴的左侧)时,y随着x的增大而 减小. 当x>0 (在对称轴的右侧)时, y随着x的增大而 增大. 抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点外),顶点是它 的最低点,开口向上,并且向上无限伸展; 当x=0时,函数y的值最小,最小值是0.
例1
在同一直角坐标系中，画出函数 y 1 x2, y 2x2 的图象．
和最大值(或最小值)，然后画出图象。 学过哪些二次函数的特殊形式？
y ax2 y ax2 c y a(x h)2
巩固
8、将抛物线 y 2x2左右平移，使得它与x轴相
交于点A，与y轴相交于点B。若△ABO的面积 为8，求平移后的抛物线的解析式。
小结
二次函数 y a(x h)2的图象及性质：