2018年广西崇左市高考数学三模试卷(理科)

2018年广西崇左市高考数学三模试卷（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1. 已知集合＝，集合＝，则＝（）
A. B.
C. D.
【答案】
A
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
根据条件求出集合，的等价条件，结合集合的交集和补集的定义进行计算即可．
【解答】
集合＝＝＝＝，
集合＝＝或，
＝，
则＝，
2. 已知复数＝，＝，若，在复平面内对应的点分别为，，线段的中点对应的复数为，则＝（）
A. B. C. D.
【答案】
B
【考点】
复数的模
【解析】
由已知求得，的坐标，利用中点坐标公式求出的坐标，得到，再由复数模的计算
公式求解．
【解答】
∵复数＝，＝，
∴，，
则，
∴＝，
∴．
3. 已知每生产克饼干的原材料加工费为元，某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如表所示：
A.买小包装实惠
B.买包大包装和买包小包装一样实惠
C.卖小包装比卖大包装盈利多
【答案】
D
【考点】
求函数的值
【解析】
根据表格即可求出卖大包和小包的盈利，并可求买包大包装和买包小包装所花的钱，从而找出正确选项．
【解答】
根据表格：买包大包装花元，买包小包装花元钱，∴买包大包装实惠；
卖大包装盈利＝（元），卖小包装盈利＝（元），∴卖大包装比卖小包装盈利多．
4. 的展开式中的系数是（）
A. B. C. D.
【答案】
A
【考点】
二项式定理及相关概念
【解析】
分别求出中含的项与的含的项，作积得答案．
【解答】
∵的展开式中含的项为．
∴的展开式中的系数是．
5. 若双曲线的焦点为和，虚轴长为，则双曲线的方程为（）
A. B. C. D.
【答案】
B
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
根据题意，由双曲线的焦点坐标可得双曲线的焦点在轴上，且＝，由虚轴长分析可得的值，计算可得的值，将、的值代入双曲线的方程，计算可得答案．
【解答】
根据题意，双曲线的焦点为和，
则双曲线的焦点在轴上，且＝，
又由双曲线的虚轴长为，则＝，即，
则＝＝，
则要求双曲线的标准方程为；
6. 将函数＝的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴是（）
A. B. C.＝ D.
【答案】
D
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
由＝的图象变换规律求得函数解析式＝（），再由求得得答案．【解答】
将函数＝的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），
得到函数＝（），再向左平移个单位，
得到＝，即＝（）的图象，
令，可得＝，故函数的对称轴为，．
结合选项可得函数图象的一条对称轴是直线．
7. 执行如图的程序框图，若输出，则输入＝（）
A. B. C. D.
【答案】
B
【考点】
程序框图
【解析】
模拟执行程序框图，可得．解得的值为，退出循环的条件为不成立，从而可得的值．
【解答】
模拟执行程序框图，可得．
解得：＝．
故当＝时，＝，不成立，退出循环，输出的值为．
8. 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为，如不计容器的厚度，则球的表面积为（）
A. B. C. D.
【答案】
A
【考点】
【解析】
设正方体上底面所在平面截球得小圆，可得圆心为正方体上底面正方形的中心．设球的半径为，根据题意得球心到上底面的距离等于，而圆的半径为，由球的截面圆性质建立关于的方程并解出即可求出球的表面积．
【解答】
设正方体上底面所在平面截球得小圆，
则圆心为正方体上底面正方形的中心．如图．
设球的半径为，根据题意得球心到上底面的距离等于，
而圆的半径为，由球的截面圆性质，得＝，
解得：＝．
∴球的表面积为＝．
9. 已知递增数列，满足且＝，则的值为（）
A. B. C. D.
【答案】
D
【考点】
数列递推式
【解析】
由已知数列递推式可得数列是公差为的等差数列，把的分子分母用首项和公差表示，则答案可求．
【解答】
∵，
∴，即＝，
∴＝或＝（舍），
∴数列是公差为的等差数列，
则．
10. 已知点，，若直线上存在点，使得＝，则称该直线为“型直线”，给出下列直线：①＝；②＝；③＝；④＝，其中为“类直线”的是（）
A.①③
B.②④
C.②③
D.③④
【答案】
B
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
由题意可知，点的轨迹是以，为焦点的椭圆，其方程是，把直线方程分别代入椭圆方程看是否有解即可判断出结论．
【解答】
由题意可知，点的轨迹是以，为焦点的椭圆，其方程是，
①把＝代入椭圆方程并整理得，＝，∵，∴＝不是“型直线”．
②把＝代入椭圆方程，成立，∴＝是“型直线”．
③把＝代入椭圆方程，不成立，∴＝不是“型直线”．
④把＝代入椭圆方程并整理得，＝，∵＝
，∴＝是“型直线”．
11. 已知平行四边形中，点为的中点，•，，若，则等于（）
A. B. C. D.
【答案】
B
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
由平面向量基本定理用和表示和，由向量的共线可得，代入比较系数可得．
【解答】
由题意可得，(）（)，
∵，∴，使，
即（），
比较系数可得＝，，解得．
12. 甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程＝
关于时间的函数关系式分别为＝，＝，＝，，有以下结论：
①当时，乙走在最前面；
②当时，丁走在最前面，当时，丁走在最后面；
③丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；
④如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．
其中，正确的序号为（）
A.①②
B.②③④
C.①②③
D.③④
【答案】
B
【考点】
求函数的值
【解析】
根据题意画出路程函数的函数图象，结合图象判断题目中的命题是否正确即可．【解答】
甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发
向同一个方向运动，
其路程＝
关于时间的函数关系式分别为
＝，
＝，
＝，
；
画出四个函数的图象，如图所示；
根据这四个函数的图象知，
对于①，当时，甲走在最前面，①错误；
对于②，当时，丁走在最前面，当时，丁走在最后面，②正确；
对于③，丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，③正确；
当＝时，＝＝，
如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲，∴ ④正确．
综上，正确的序号为②③④．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
已知变量________，________满足约束条件，目标函数________＝
________+________的最小值为________．
【答案】
,,,,,
【考点】
简单线性规划
【解析】
由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得
答案．
【解答】
由约束条件作出可行域如图，
化目标函数＝为＝，
由图可知，当直线＝过时，
直线在轴上的截距最小，最小，为＝，
在各项均为正数的等比数列{________＝，则的最小值为________．
【答案】
中，,
【考点】
等比数列的通项公式
【解析】
根据题意，由等比数列的性质可得＝＝，结合基本不等式的性质可得
＝，即可得答案．
【解答】
根据题意，等比数列中各项均为正数，
若＝，则＝＝，
＝，当且仅当＝＝时，取得最小值，
已知函数________________，若________________＝，则________＝________．【答案】
,,,,,
【考点】
导数的运算法则
【解析】
根据分段函数，先求导，再代值计算即可．
【解答】
当时，，
若，则，解得，
当时，＝，
若，则＝＝，，
∵，，∴，故矛盾，不符合题意，
如图四边形________是边长为的正方形，________平面________，________平面________，且________＝________＝，________为________中点，则下列结论中正确的是________．
①________________；②________平面________；
③平面________平面________；④平面________平面________．
【答案】
,,,,,,,,,①②④,,,,,,,,
【考点】
棱柱的结构特征
平面与平面平行的性质
平面与平面平行的判定
【解析】
由于四边形是边长为的正方形，平面，平面，且＝＝，所以将题中的几何体放在正方体中，如图所示．再根据正方体的性质和空间垂直、平行的有关定理，对、、、各项分别加以判断，即可得出本题答案．【解答】
∵四边形是边长为的正方形，平面，平面，且＝＝，∴将题中的几何体放在正方体中，如图所示
对于①，所以与是棱长为的正方体中，位于相对面内的异面的面对角线
因此可得、所成角为，可得，故①正确；
对于②，因为正方体中，平面平面
而平面，所以平面，故②正确；
对于③，因为正方体中，二面角的大小不是直角
所以面面不成立，故③不正确；
对于④，因为面与面分别是正方体的内外侧面所在的平面，所以面面成立，故④正确
三、解答：（一）必考题（共5小题，满分60分）
在中，角，，所对的边分别为，，，已知．
（1）求角的大小；
（2）若＝，求的数值范围．
【答案】
在中，，
由正弦定理可得，
即为＝，
，可得；
由余弦定理可得＝
＝＝＝＝，
由，可得，
可得的范围是[,．
【考点】
三角形的面积公式
【解析】
（1）运用三角形的正弦定理和余弦定理，可得所求角；
（2）由余弦定理可得＝，由条件转化为的函数，由，结合二次函数的值域求法，即可得到所求范围．
【解答】
在中，，
由正弦定理可得，
即为＝，
可得，
，可得；
由余弦定理可得＝
＝＝＝＝，
由，可得，
可得的范围是[,．
“低碳经济”是促进社会可持续发展的推进器，某企业现有万元资金可用于投资．如果投资“传统型”经济项目，一年后可能获利，可能损失，这两种情况发生的概率分别为，；如果投资“低碳型”经济项目，一年后可能获利，也可能损失，也可能不赔不赚．这三种情况发生的概率分别为，，，（其中＝）．
（1）如果把万元投资“传统型”经济项目，用表示投资收益（投资收益＝回收资金-投资资金），求的概率分布及均值（数学期望）；
（2）如果把万元投资“低碳型”经济项目，且已知不赚不赔的概率为，预测其投资收益均值会不低于投资“传统型”经济项目的投资收益均值，求的取值范围．
【答案】
由题意知，随机变量的可能取值为，；
则的概率分布为：
∴的均值（数学期望）为＝；
设表示把万投资“低碳型”经济项目的收益，
则的可能取值为，，；
且的分布列为：
计算投资收益均值为＝＝；
解得，
又∵，
∴的取值范围是．
【考点】
离散型随机变量的期望与方差
【解析】
（1）由题意知随机变量的可能取值，计算的概率分布，求出的均值（数学期望）；（2）设表示把万投资“低碳型”经济项目的收益，计算的概率分布，求出均值，再求的取值范围．
【解答】
由题意知，随机变量的可能取值为，；
则的概率分布为：
∴的均值（数学期望）为＝；
设表示把万投资“低碳型”经济项目的收益，
则的可能取值为，，；
且的分布列为：
计算投资收益均值为＝＝；
由题意得，
解得，
又∵，
∴的取值范围是．
如图，三棱柱中，平面，＝，＝＝，，分别是、的中点．
（1）求证：平面；
（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】
连结、，则，且为的中点，
∵为的中点，∴，
又平面，平面，
由平面，得，，
∵＝，＝＝，∴，
以为原点，分别以、、所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
设＝，，
则，，，
，，，
取平面的一个法向量，
由，，得，
令＝，得，
同理得平面的法向量，
∵平面平面所成角为，
则＝，
∴直线与平面所成角的正弦值为．
【考点】
直线与平面平行
直线与平面所成的角
【解析】
（1）连结、，则，由此能证明平面．
（2）由平面，得，，推导出，以为原点，分别以、、所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线
与平面所成角的正弦值．
【解答】
连结、，则，且为的中点，
∵为的中点，∴，
又平面，平面，
∴平面．
由平面，得，，
∵＝，＝＝，∴，
以为原点，分别以、、所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
设＝，，
则，，，
，，，
取平面的一个法向量，
由，，得，
令＝，得，
同理得平面的法向量，
∵平面平面所成角为，
∴直线与平面所成角的正弦值为．
已知焦点在轴上的椭圆的长轴长为，短半轴为，抛物线的顶点在原点且焦点为椭圆的右焦点．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过的两条相互垂直的直线与抛物线有四个交点，求这四个点围成四边形
的面积的最小值．
【答案】
设椭圆半焦距为，由题意得．
设抛物线的标准方程为＝，则，∴＝，
∴抛物线的标准方程为＝．
由题意易得两条直线的斜率存在且不为，设其中一条直线的斜率为，直线方程
为＝，则另一条直线的方程为，
联立得＝，＝，设直线与抛物线的交点为，，
则则，
同理设直线与抛物线的交点为，，
则．
∴四边形的面积．
，
令，则（当且仅当＝时等号成立），．
∴当两直线的斜率分别为和时，四边形的面积最小，最小值为．
【考点】
抛物线的性质
【解析】
（1）设半焦距为，设抛物线的标准方程为＝，求出，顶点抛
物线的标准方程．
（2）由题意易得两条直线的斜率存在且不为，设其中一条直线的斜率为，直线
方程为＝，则另一条直线的方程为，分别联立直线与抛物线方程，利用弦
长公式求出、，求出四边形的面积四边形的面积，利用基本不等式
求解最值．
【解答】
设椭圆半焦距为，由题意得．
设抛物线的标准方程为＝，则，∴＝，
∴抛物线的标准方程为＝．
由题意易得两条直线的斜率存在且不为，设其中一条直线的斜率为，直线方程
为＝，则另一条直线的方程为，
联立得＝，＝，设直线与抛物线的交点为，，
则则，
同理设直线与抛物线的交点为，，
则．
∴四边形的面积．
，
令，则（当且仅当＝时等号成立），．
∴当两直线的斜率分别为和时，四边形的面积最小，最小值为．
已知函数＝．
（1）证明：函数在,上单调递增；
（2）若,，，求的取值范围．
【答案】
函数＝
则，
∵，
∴，于是（等号当且仅当＝时成立）．
故函数在上单调递增．
由Ⅰ得在上单调递增，又＝，
∴，
ⅰ当时，成立．
ⅱ当时，
令＝，则＝，
当时，，单调递减，又＝，所以，
故时，．
由式可得＝，
令＝，则＝
由式可得，
令＝，得在上单调递增，
又，，
∴存在使得＝，即时，，
∴时，，单调递减，
又∵＝，∴，
即时，，与矛盾．
综上，满足条件的的取值范围是．
【考点】
三角函数中的恒等变换应用
【解析】
（1）利用导函数的性质证明即可．
（2）利用导函数求解,，对进行讨论，构造函数思想，结合导函数的单调性，
求解的取值范围．
【解答】
函数＝
则，
∵，
∴，于是（等号当且仅当＝时成立）．
故函数在上单调递增．
由Ⅰ得在上单调递增，又＝，
∴，
ⅰ当时，成立．
ⅱ当时，
令＝，则＝，
当时，，单调递减，又＝，所以，
故时，．
由式可得＝，
令＝，则＝
由式可得，
令＝，得在上单调递增，
又，，
∴存在使得＝，即时，，
∴时，，单调递减，
又∵＝，∴，
即时，，与矛盾．
综上，满足条件的的取值范围是．
（二）选考题：[选修4－4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）
已知圆的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）求圆的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）求直线被圆所截得的弦长．
【答案】
圆的参数方程化为普通方程为＝，
直线的极坐标方程化为平面直角坐标方程为＝，
圆心到直线的距离，
故直线被圆所截得的弦长为．
【考点】
圆的极坐标方程
【解析】
（1）利用三种方程的转化方法，求圆的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）求出圆心到直线的距离，即可求直线被圆所截得的弦长．
【解答】
圆的参数方程化为普通方程为＝，
直线的极坐标方程化为平面直角坐标方程为＝，
圆心到直线的距离，
故直线被圆所截得的弦长为．
[选修4－5：不等式选讲]
已知函数＝．
（1）求不等式的解集；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】
当时，不等式等价于，解得；
当时，不等式等价于，不等式无解；
当时，不等式等价于，解得．
综上，不等式的解集为或．
＝＝，
∵关于的不等式在上恒成立，
∴恒成立，解得．
∴实数的取值范围是．
【考点】
绝对值三角不等式
【解析】
（1）讨论的范围，去掉绝对值符号解不等式即可得出；
（2）根据绝对值三角不等式求出的最小值为，得出恒成立，从而得出的范围．
【解答】
当时，不等式等价于，解得；
当时，不等式等价于，不等式无解；
当时，不等式等价于，解得．
综上，不等式的解集为或．
＝＝，
∵关于的不等式在上恒成立，
∴恒成立，解得．
∴实数的取值范围是．。