最新定积分知识总结

定积分知识总结
一、基本概念和性质
(1)定义
b n n
f (x) dx的定义：lim ' S = lim ' f ()化一人二)
a n「4 " =n「
①把a,b区间分成n个小区间，a =X°V X1V...V X n二b 要求当n T血时，max" —x」R 0
②记在h上的代数面积为S i,在h上用矩形代替S i,在h上任取一点\,
S ：" f ( i ) * X i —Xi」
n
③求和：S = 7 f( 1) (X i -X」)
i 4
n
④求极限：即lim a f ( J (人-x^)
n厂7
((2)定积分的桂质
b
① 1 =b _a
a
b b b
②线性运算性质：1 ：；- f (x) ： g(x) 1 dx 二:f(x) dx 亠.i g(x) dx
a a a
b a
f (x) dx 二- f (x) dx
a b
a
f (x) dx =0
a
b c b
③区间的可加性：.f (x) dx二f(x) dx亠I f (x) dx
a a c
(其中，包含a,b,c的区间可积即可，不一定要求c (a,b))
b
④f(x )在a,b 上可积且f(x)_ 0,贝U f(x) dx_0
a
b b
⑤若f (x), g(x)在la,b 止可积且f(x)_g(x),则f(x) dx_ g(x) dx
a a
b
⑥若f(x)在a,b止连续，f(x)_0, f(x)不恒等于0,贝U f (x) dx>0
a
f(x)=0:可能个别点上等于0,也可能整个区间均为0; f(x) = 0:则是指在整个区间上都等于0
推论：若f(x),g(x)在区间a,b上连续，f(x)_g(x),且f (x )不恒等于g(x),则：
b b
f(x) dx> g(x) dx
a a
⑦若f (x)在a,b止可积，则
b
f f(x) dx
a
m, M均为常数，贝V:
⑧若f(X)在a,b上可积,
b
m(b -a)乞f (x) dx 乞M (b -a)
a
⑨(积分中值定理)
若f(x)在闭区间a,b 上连续，则至少存在一点a,b，使得:
b
f (x) dx =f ( ) (b — a)
a
二、微积分基本公式
1、积分上限函数及其导数
定义：设函数f (x)在区间［a,b］上连续，对于任意X- ［a, b］, f(x)在区间［a,x］上也连续，所以函数f(x)在［a,x］上也可积.显然对于［a,b］上的每一个x的取值，
x x
都有唯一对应的定积分f(t)dt和x对应，因此f(t)dt是定义在［a,b］上的函数.
L a * a
记为
x
:：J(x) f (t)dt, x［a, b］.
a
称:•：』(x)叫做变上限定积分，有时又称为变上限积分函数.
X
定理1:如果函数f(x)在区间［a,b］上连续，则：•：』(x) f(t)dt在［a,b］上可导，
弋a
d x
且门(X)二一f(t)dt = f(x) (a_x_b)
dx、a
定理2、3：如果f(x)在区间［a,b］上连续，则它的原函数一定存在，且其中的一个
原函数为
x
G(x)二f (t)dt.
* a
2、牛顿——莱布尼茨公式
定理4 (微积分基本公式)如果函数f(x)在区间［a,b］上连续，且F(x)是f(x)的任意一个原函数，那么
b
f(x)dx = F(b) - F(a).
a
x
证由定理5.2知，讥x)二f(t)dt是f(x)在区间［a,b］的一个原函数，贝U
-a
G(x)与F(x)相差一个常数C,即
x
f (t)dt 二F(x) C .
a
a
又因为0二f(t)d^ F(a) C，所以C - -F(a).于是有
■ a
x
］f(t)dt=F(x)—F(a).
b
所以f(x)dx = F(b)- F(a)成立.
a
为方便起见，通常把F(b)-F(a)简记为F(x)|：或［F(x)］：，所以公式可改写为
b b
J a f(x)dx = F(x)：=F(b)-F(a)
三、定积分的积分法
1、定积分的换元积分法
定理1设函数f(x)在区间［a,b］上连续，并且满足下列条件:
(1)x = (t)，且 a = ( )，b=()；
(2)(t)在区间［:•，订上单调且有连续的导数"(t);
(3)当t从〉变到］时，:(t)从a单调地变到b .
则有
b p
f (x)dx 二f［ (t)b： (t)dt
a-:-
上述公式称为定积分的换元积分公式.在应用该公式计算定积分时需要注意以下两点：
①从左到右应用公式，相当于不定积分的第二换元法•计算时，用把原积分变量换成新变量，积分限也必须由原来的积分限和相应地换为新变量的积分限和，而不必代回原来的变量，这与不定积分的第二换元法是完全不同的•
②从右到左应用公式，相当于不定积分的第一换元法(即凑微分法) •一般不用设出新的积分变量，这时，原积分的上、下限不需改变，只要求出被积函数的一个原函数，就可以直接应用牛顿一莱布尼兹公式求出定积分的值.
2、定积分的分部积分法
设函数u =u(x)和v =v(x)在区间［a,b］上有连续的导数，则有
b . b
f u(x)dv(x) =［u(x)v(x)］a —f v(x)du(x).
a ' a
上述公式称为定积分的分部积分公式.选取u(x)的方式、方法与不定积分的分部积分法完全一样•
四、定积分的应用
1、定积分应用的微元法
为了说明定积分的微元法，我们先回顾求曲边梯形面积A的方法和步骤：
(1) 将区间［a,b］分成n个小区间，相应得到n个小曲边梯形，小曲边梯形的
面积记为A i (i =1,2/ n)；
(2) 计算「A 的近似值，即A f ( i)3i(其中：Xi =X i -X i_i, i ［x—X i］)；
n
(3) 求和得A的近似值，即A八f( J%;
n b
⑷对和取极限得 A=limv f ( J.：x i 二"f (x )dx .
0 i 4
a
下面对上述四个步骤进行具体分析：
第⑴ 步指明了所求量(面积A )具有的特性：即A 在区间［a,b ］上具有可分 割性和可加性•
第(2)步是关键，这一步确定的-A^ ■ f ("-圳是被积表达式f (x)dx 的雏形. 这可以从以下过程来理解：由于分割的任意性，在实际应用中，为了简便起见， 对二A i :' f ( \ \ -：x i 省略下标，得:A ： f ( y x ，用［x,x dx ］表示［a, b ］内的任一小 区间，并取小区间的左端点x 为'，则厶A 的近似值就是以dx 为底，
f(x)为咼的小矩形的面积(如图5.7 阴影部分)，即
A ： f (x)dx .
通常称f(x)dx 为面积元素，记为
dA 二 f(x)dx.
b
积 A.即 A f (x)dx .
一般说来，用定积分解决实际问题时，通常按以下步骤来进行: (1)确定积分变量x ，并求出相应的积分区间［a,b ］；
(2) 在区间［a,b ］上任取一个小区间［x,x • dx ］，并在小区间上找出所求量F 的微元 dF 二 f (x)dx ；
(3)
写出所求量F 的积分表达式F 二b
f (x)dx ，然后计算它的值. a
利用定积分按上述步骤解决实际问题的方法叫做 定积分的微元法. 注 能够用微元法求出结果的量F —般应满足以下两个条件： ①F 是与变量x 的变化范围［a,b ］有关的量;
a x x+dx
b x
将(3),(4)两步合并，即将这些面积元素在
［a,b ］上“无限累加”，就得到面
②F 对于［a,b ］具有可加性，即如果把区间［a,b ］分成若干个部分区间，则F 相应地分成若干个分量 2、定积分求平面图形的面积
(1)直角坐标系下面积的计算
(1)由曲线y =f(x)和直线x =a,x =b,y =0所围成曲边梯形的面积的求法 前面已经介绍，此处不再叙述.
(2)求由两条曲线y = f (x), y =g(x)，(f(x) _ g(x))及直线x =a,x = b 所围成 平面的面积A (如图5.8所示)
下面用微元法求面积A. ①取x 为积分变量，［a,b ］.
②在区间［a,b ］上任取一小区间［x,x • dx ］，该区间上
小曲边梯形的面积dA 可以用高f (x) -g(x)，底边为dx 的小矩 八蛊⑴ 形 的面积近似代替，从而得面积元素
dA =[f(x) -g(x)]dx. ③ 写出积分表达式，即 b
A = . [f(x) - g(x)]dx.
a
设曲边扇形由极坐标方程'与射线二「，二二(：:：-)所围成(如图
5.13所示).下面用微元法求它的面积 A.
⑶求由两条曲线X — (y),x 二(y)， 平
面图形(如图5.9)的面积.
这里取y 为积分变量，y ［c,d ］，
用类似(2)的方法可以推出：
d
A
二 c
［ (y^ - (y)］dy.
C (y)乞(y))及直线y = c,y 二d 所围成
以极角二为积分变量，它的变化区间是
m，相应的小曲边扇形的面积近
似等于半径为珥“，中心角为dr的圆扇形的面积，从而得面积微元为
1 2
dA ［珥坍詔/
:1 2
于是，所求曲边扇形的面积为A二-［-^)］^.
3 .定积分求体积
(1)旋转体的体积
旋转体是一个平面图形绕这平面内的一条直线旋转而成的立体•这条直线叫做旋转轴.
设旋转体是由连续曲线y = f (x)(f (x) 一0)和直线x = a, x = b及x轴所围成
圏5.15 團5.16
的曲边梯形绕x轴旋转一周而成(如图5.15).
取x为积分变量，它的变化区间为［a,b］，在［a,b］上任取一小区间［x,x dx］，
相应薄片的体积近似于以f(x)为底面圆半径，dx为高的小圆柱体的体积，从而
得到体积元素为
D5.13 ®
5.14
dV =加［f (x)］2dx，于是，所求旋转体体积为
b 2
V x =二 a
[f(x)]2
dx.
(2)平行截面面积为已知的立体体积
设一物体被垂直于某直线的平面所截的面积可求，则该物体可用定积分求其 体积•
不妨设直线为x 轴，则在x 处的截面面积A(x)是x 的已知连续函数，求该物 体介于x=a 和x=b(a ：：：b)之间的体积(如图5.19).
取x 为积分变量，它的变化区间为［a,b ］，在微小区间［x,x • dx ］上A(x)近似 不变，即把［x, x dx ］上的立体薄片近似看作 于是该物体的体积为
b
V A(x)dx.
a 类似地，由曲线x =：/(y)和直线y =c,y =d 及y 轴所围成的曲边梯形绕y 轴
Vy 「.：[ (y)]2
dy.
分类 公式
直角坐标
设y = f(x)为光滑曲线，则在［a,b ］弧段上弧长为：
s = J
+[ f'(x)]2
dx
"X = ® (t)
若光滑曲线由参数方程丿 亦
^<t <?给出，则曲线弧弧长
参数方程
lT(t) 为：
P
S=戸乡⑴]2
+[屮'(t)]2
dt
A(x)为底，dx 为高的柱片，从而得 到体积元素dV =A(x)dx.
旋转一周而成(如图 5.16 )，所得旋转体的体积为
團519。