江西省抚州市第一中学高三数学第三次同步考试试题 理

江西省抚州市第一中学2013届高三数学第三次同步考试试题 文
（满分：150分 考试时间： 120分钟）
命题：王文彬
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合{
}
2
10M x x =-=，{}
10N x ax =-=，若M N N =I ，则实数a 的值为
A. 1
B.1-
C. 1或1-
D.0或1或1- 2.已知1
sin(
)4
4
π
α+=
，则sin 2α的值为 A.
78 B. 7
8
- C.
D.
- 3.设[](]2,0,1()1,1,x x f x x e x
⎧∈⎪
=⎨∈⎪⎩，则0
()e f x dx ⎰的值为
A.
43 B.2 C. 1 D. 23
4.已知{}n a 是等差数列，且2158,5a a =-=，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则
A. 1011S S =
B. 1011S S >
C. 910S S =
D. 910S S <
5.已知平面向量a r 与b r 的夹角为0
60，且2a =r ，1b =r ，则a r 与2a b +r r 的夹角为
A. 030
B. 060
C. 090
D. 0
150
6.在等比数列{}n a 中，已知910(0)a a m m +=≠，1920a a n +=，则99100a a +等于
A. 3n m 骣÷ç÷ç÷ç桫
B. 8n m 骣÷ç÷ç÷ç桫
C. 9
n m
骣÷ç÷ç÷ç桫 D. 9
8n m 7.设P 是等边ABC D 所在平面上的一点，满足2CP CB CA =+u u u r u u u r u u u r ，若1AB =，则PA PB ×u u u r u u u r
的
值为
A. 4
B.3
C. 2
D.1 8.设()sin ,,22f x x x x ππ⎡⎤
=∈-
⎢⎥⎣
⎦，若12()()f x f x >，则 A. 120x x +> B. 22
12x x > C. 12x x > D.12x x <
9.已知定义在R 上的函数()f x 满足：(2)()f x f x +=，且当(]1,1x ∈-时，()cos 2
x
f x π=.
又()ln g x x =，则函数()()()h x f x g x =-在区间[]4,4-内的零点的个数是 A. 8 B.6 C. 4 D. 2
10.已知函数4
1(),,12f x ax x x ⎡⎤
=-∈⎢⎥⎣⎦
，,A B 是其图象上不同的两点，若直线AB 的斜率k 恒满足
1
62
k ≤≤，则实数a 的值是 A. 913(,
)22 B. 913,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
C. (1,10) D []1,10
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 请把答案填在答题卡上.
11.已知ABC D 的三边分别为2a =，1b =，2c =，则ABC D 的外接圆直径为__ ___.
12.已知数列{}n a 的首项112
a =
，前n 项和2
n n S n a =，则该数列的通项公式n a = ___. 13.已知α是第四象限的角，且3tan 24α=-，则sin 3sin α
α
= .
14.已知OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，3OC a =u u u r r ，2OD b =u u u r r ，()()OE t a b t R =+?u u u r r r
，当a r 与b r 不共
线且,,C D E 三点共线时，则t =__ ___. 15.给出下列命题：
①在同一坐标系中，函数2x
y =与2x
y -=的图象关于y 轴对称. ②将2sin(2)3
y x π
=-
的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，
得到函数2sin(6)3
y x π
=-的图象.
③函数3tan(
)23
y x π
π
=-+的最小正周期为4. ④若ABC ∆为锐角三角形，则sin sin cos cos A B A B +>+. 以上命题为真命题的有 .(写上你认为是真的所有命题的序号)
三、解答题：本大题共6小题，共计75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 本小题满分12分.
已知函数()ln(3)2()f x x ax a R =+++∈在点2x =-处取得极值.
(1)求实数a 的值；
(2)若函数()()()g x f x kx k R =+∈在区间(]3,2-上是增函数，求实数k 的取值范围.
17.本小题满分12分.
在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对边的边长，已知3
tan 4
B =
，且2b =. (1)当5
3
a =时，求角A 的大小； (2)求ABC ∆周长的最大值.
18.本小题满分12分.
已知ABC D 中，1AC =，23
ABC p
?，设BAC x ?，()f x AB BC =?u u u r u u u r
.
（1）求()f x 的解析式及其定义域；
（2）设()F x 是定义在R 上且周期为
3π的函数，当0,3x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，定义6()1,(0,)3()1,0,3f x x F x x ππ⎧
+∈⎪⎪
=⎨
⎧⎫⎪∈⎨⎬
⎪⎩⎭⎩
.试作出函数()F x 的图象(直接作出示意图即可)，并写出()F x 的单调递增区间及对称轴方程.
19.本小题满分12分.
如图，有一边长为2km 的正方形花园ABCD ，现需要
在花园内建三条主干道,,HP PC PD ，其中PH 垂直平分
AB (P 是花园内的一点，但不在边界上).设三条主干道的总
长度为ykm .
(1)分别按下列要求求出函数关系式. ①设()PH x km =，将y 表示成x 的函数； ②设PCD θ∠=(弧度)，将y 表示成θ的函数.
(2)请选用(1)中的一个函数，确定点P 的位置，使三条主干道的总长度最短.
20.本小题满分13分.
在数列{}n a 中，121,3a a ==，其前n 项和为n S ，,,A B C 是同一直线上的三点，其横坐标分别为1
n S +，n S ，1(2)n S n -≥，且21n
n
a AB BC a +=u u u r u u u r
.在数列{}n b 中，11b =，12log (1)n n n b b a +-=+.
(1)证明数列{}1n a +为等比数列；
(2)设111
1
4
n b n n n n c a a +-++=
，数列{}n c 的前n 项和设为n T ，试比较n T 与1的大小.
21.本小题满分14分
已知函数()()f x mx m R =∈. (1)求函数()f x 的单调区间；
(2)若不等式2()1f x m ≤+恒成立，求m 的取值范围； (3)当1m =-，且01a b <<<时，证明
4()()23f b f a b a
-<<-.
17.解：(1)由tan 0B >知B 为锐角，故有3
sin 5
B =
，根据正弦定理有1
sin sin sin 2
a b A A B =⇒=，由于a b <，故030A =.……………6分 (2)由余弦定理得2
2
42cos a c ac B =+-
22
2
2
81818()4()445554
a c a c ac a c ac +⇒+-=⇒+=+≤⋅+
210a c ⇒+≤
故ABC ∆的周长2(101)L a b c =++≤+，当且仅当10a c ==时取得最大值.……12分
18.解：（1）由正弦定理有
1
2sin sin 3
BC BC
x x p =?，
1sin()2233sin()sin 33
AB AB x x p
p p p =?---，
()cos ,f x AB BC AB BC \=?u u u r u u u r u u u r u u u r
4sin sin()cos 333x x p p =
- 11sin(2)366x p =+-.()f x 的定义域为(0,)3
p
.…………6分 （2）(
F 的图象如下：
增区间为,()336k k k Z πππ⎡⎤
+∈⎢
⎥⎣
⎦； 对称轴方程为()6
k x k Z π
=∈.……………12分
选(1)中②，2sin 2cos y θθ-=
+，令2sin sin cos 2cos u u θ
θθθ
-=⇒+=
2
sin()1u
θϕ⇒+=
+，令
2
131u u
≤⇒≥+，取3u =，代入上式得
sin 32sin()136
ππ
θθθθ=⇒+=⇒=.
即当6
PCD π∠=
时，三条主干道的总长度最短.……………12分
20.解：(1)依条件有
1112121
()()n n n n n n n n n n
a a S S S S a a a a +-+++-=
-⇒-=⋅-112112(1)n n n n a a a a ++⇒=+⇒+=+(2)n ≥，又112a +=，214a +=，故{}1n a +是首
项为2，公比也为2的等比数列. ……6分
(2)由(1)知21n n a =-，所以12log 2n
n n b b n +-==，由此得(1)
12
n n n b -=+
.
又2
11
411
(21)(21)2121
n n n n n n c ++=
=-----， 12n n T c c c ∴=+++L
1223111111
1212121212121n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L 111
111
11212121
n n ++=
-=-<---…………13分 21.解：（1）()f x 的定义域为1(,)2-+∞.11
()ln(21),()221f x x mx f x m x '=+-=-+.
因210x +>，故当0m ≤时，()0f x '>. 当0m >时，令1()0
m
f x x -'=⇒=
. 综上，当0m ≤时，增区间为(,)2
-+∞；当0m >时，增区间为11(,)22m m
--，减区间为1(
,)2m
m
-+∞.……………………4分 (2)若2()1f x m ≤+恒成立，只需2()f x 的最大值1m ≤+. 当0m ≤时，2()ln(21)2f x x mx =+-无最大值. 当0m >时，由(1)知max 1()(
)2m f x f m -=，故有211
2()12m f m m m e
-≤+⇒≥，。