奥本海姆信号与系统中文版课后习题答案

1．对一个LTI 系统，我们已知如下信息：输入信号2()4()t x t e u t =-；输出响应
22()()()t t y t e u t e u t -=-+
(a) 确定系统的系统函数H(s)及收敛域。

(b) 求系统的单位冲激响应h(t)
(c) 如果输入信号x(t)为(),t x t e t -=-∞<<+∞ 求输出y(t)。

解：(a) 4114
(),Re{}2,(),2Re{}2222(2)(2)X s s Y s s s s s s s ---=
<=+=<-<--+-+ 1
(),Re{}22
H s s s =
>-+ (b) 2()()t h t e u t -= (c) ()2()()t t y t e e u d e τ+∞
---τ--∞
=ττ=⎰
; ()(1)t t y t H e e --=-=.
2. 已知因果全通系统的系统函数1()1
s H s s -=+，输出信号2()()t
y t e u t -= (a) 求产生此输出的输入信号x(t). (b) 若已知
dt ∞
∞
<∞⎰
+－|x(t)|，求输出信号x(t).
(c) 已知一稳定系统当输入为2()t
e u t -时，输出为上述x(t)中的一个，确定是哪个？求出系统的单位冲激响应h(t).
解：(a)
1()2Y s s =
+。

Re{}2s >-，()1
()()(1)(2)
Y s s X s H s s s +==-+
由于()H s 的ROC 为Re{}1s >-，()X s ∴的ROC 为2Re{}1s -<<或Re{}1s > 若 1ROC 为-2<Re{s}<1，则2112
()()()33
t t x t e u t e u t -=-- 若2ROC 为Re{s}>1，221()(2)()3
t
t x t e e u t -=+ (b) 若
dt ∞
∞
<∞⎰
+－|x(t)|，则只能是1()()x t x t =
即：212
()()()33
t t x t e u t e u t -=
-- (c) 212()()()()33t t y t x t e u t e u t -==
--; 1(),2Re{}1(1)(2)
s Y s s s s +=-<<-+
()1
()()1
Y s s H s X s s +∴=
=
-, 这就是(a)中系统的逆系统。

由于系统稳定∴ROC 为()c u t Re{}1s <
()()2()t h t t e u t =δ--
()Y s 的ROC 为Re{}2,()s X s >-∴的ROC 为2Re{}1s -<< 21
()()2()3
t t x t e u t e u t -=--
22()*()()2()*()t t t y t h t e u t e u t e u t --=--
当t>0时，0
22()
21()*()()3
t
t
t t e u t e u t e e d e u t τττ-----∞
-=
=⎰ 当t<0时，22()
21()*()()3
t t t t t e u t e u t e e
d e u t τττ-----∞-==-⎰ 212
()*()()()()33
t t y t h t e u t e u t x t -∴=--=
从而证明该系统当输入为()y t ，输出为()x t
3. 对差分方程
)1(2
1
)()2(61)1(65)(-+=-+-+
n x n x n y n y n y 所确述的LTI 稳定系统，确定
（a ）系统函数； （b ）单位脉冲响应； （c ）若系统输入)()(n u n x =，求系统的响应)(n y ；
（d ）如果系统输出)(])2
1(3)3
1(2[)(n u n y n
n
---=，求系统输入信号)(n x 。

解：（a ）1
2113
11161651211)()()(----+=
+++
==z z z z z X z Y z H , ROC: 13z > （b ）)()3
1()(n u n h n
-=
（c ）)3
1131
11(43311111)(1
1
11----++-=+⋅-=z z z z z Y , ROC: 1z > )()3
1
(41)(43)(n u n u n y n -+=
（d ）
11
1
1123
()111132
21
11(1)(1)
32
Y z z z z z z -----=
--+-=
-+, ROC: 12z > 11111
(1)(21)
()3()11()(1)(1)32
z z Y z X z H z z z ----+-==
-+,
4. 某离散时间LTI 因果系统在z 平面上的零极点如图P7.17所示。

已知系统的单位脉冲响应
)(n h 的初值1)0(=h 。

（a ） 确定系统函数；
（b ） 求系统的单位脉冲响应； （c ） 写出系统的差分方程；
（d ） 若系统的响应)()2
1
()(n u n y n
-=，求系统激励)(n x ； （e ） 求出一个满足该系统差分方程的稳定系统的单位脉冲响应。

解：（a ）)
21)(211()(11
---+=
z z k
z H .1=k 得由1)0(=h
（b ）)314
2
111(41)(1
1---++=z z z H )(2)()2
1
(41)(n u n u n h n n +-=
（c ）)()2()1(2
3
)(n x n y n y n y =----
（d ）1111
21)
21)(2
1(12111)
()()(-----=-++==z z z z z H z Y z X
5. 考查图P8.2所示的离散时间LTI 稳定系统；
（a ） 确定该系统的系统函数及收敛域；
（b ） 求出系统的频率响应、单位脉冲响应和单位阶跃响应； （c ） 如果系统的输入1()(1)n x t =-，求系统响应1()y t ； （d ） 若系统输入2()(1)()n x t u n =-，求系统响应2()y t ；
（e ） 当系统响应12()[()()]()3
3
n
n
y n u n =+-，求系统的输入信号()x n 。

解：（a ）41211
175141212()12121113933
z H z z z z z ----+
==++--+ 收敛域3z > （b ）单位脉冲响应7152
()()()()()123123n n h t u n u n =
+- （c ）127()(1)(1)16
n
n y t H z =-=- （d ）1
221121114()()()121139
z Y z H z X z z z z ----+===
++-
2717525
()()()(1)()()()(1)()16316434
n n n n y t u n u n u n u n =
--+--- （e ）1
111112113()121211(1)(1)3333
z Y z z z z z -----+=+=-+-+ 1121
11111121212()3393()1211()(1)(1)113344
z z z z Y z X z H z z z z z --------++-+===
-+++ 1111
()2()()()(1)434n n x n u n u n -=⋅-+--
6．序列[]n x 是某一LTI 系统当输入为[]n s 时的输出，该系统由下列差分方 程描述
[][][]88--=-n s e n s n x a
其中10<<a 。

(a) 求系统函数
()()()z S z X z H =
1 并在z 平面上画出它的极点和零点。

(b) 我们要用一个LTI 系统从[]n x 恢复[]n s ，求系统函数
()()()z
X z Y z H =
2 使得[][]n s n y =。

对()z H 2，指出所有可能的使其因果稳定的收敛域。

（c ）求出使其因果稳定的单位脉冲响应[]n h 2。

解：（a ）方程两边做z 变换
88()()()a X z S z e z S z --=-
881()
()1()
a X z H z e z S z --∴=
=- 其极点为0z =，且为8阶重极点；零点为 4
k j a
k z e e π-=
（b ） ()()
288
1111a H z H z e
z
--=
=
-,
其因果稳定系统的收敛域为 z e
α
->
（c ） 考虑()81
1
1a
P z e
z
--=
-, 82
()()H z P z =，
8()()n
p n e
u n α-=，2(/8),0,8,
()0
n h n e n h n otherwise α-⎧==±∴=⎨
⎩。