矩阵的初等变换与矩阵的秩课堂ppt

行最简形矩阵
有限次初等行变换
有限次初等列变换 标准形矩阵
h
20
四、初等矩阵与矩阵的初等变换的关系：
定义2 对单位矩阵I施以一次初等变换得到的矩阵称为初 等矩阵。
初等矩阵有下列三种： I(i, j)、I(i(k))、I (i, j(k))。
例如，下面是几个4阶初等矩阵：
1000
1000
I
0 1 0 0 r2r4 ———
这是因为
I(i, j)I(i, j)I， I(i(k1))I(i(k))I ，
I(i,j(k))I(i, j(k) )I 。
h
24
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五、初等变换与矩阵乘法的关系
定理1 设A是一个mn矩阵。 对A施行一次初等行变换 相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次 初等列变换相当于在A的右边乘以相应的n 阶初等矩阵。
0010
0010
0001
0001
h
23
下页
四、初等矩阵与矩阵的初等变换的关系：
初等矩阵的可逆性： 容易验证：
（1） |I(i, j) |-1， （2）|I(i(k)) | k， （3）| I (i, j(k)) | 1，
因此初等矩阵都是可逆的，且它们的逆矩阵仍是初等矩阵：。
I(i, j)1I(i, j)，I(i(k))1I(i(k1))，I(i,j(k))1I(i ,j (k)) 。
交换第i列与第j列记为cicj。例如
1 5 1 1 1 2 1 3 3 8 1 1 1 9 3 7
c1c3
———
1 5 1 2 1 8 3 9
1 1 13 31 17
h
5
下页
一.矩阵的初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换，称为初等列变换。 (1)交换矩阵的两列； (2)以数k0乘矩阵的某一列； (3)把矩阵的某一列的k倍加到另一列上。
0 0 1 0 11 0 11
3 01 1 0 2 307 A I(1, 3(2))= 1 1 2 0 1 0 1 1 4 。
0 11 0 0 1 011 请与对矩阵A进行列变换结果相对照。
h
28
下页
口诀：左行右列.
定理1设A是一个 m×n 矩阵，
✓对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵； ✓对 A 施行一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵.
第j行的k倍加到第i行记为ri+krj。例如
1 5 1 1 1 2 1 3 3 8 1 1 1 9 3 7
r33r1
———
1 5 1 1 1 2 1 3 0 7 2 4 1 9 3 7
h
4
下页
一.矩阵的初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换，称为初等列变换。 (1)交换矩阵的两列； (2)以数k0乘矩阵的某一列； (3)把矩阵的某一列的k倍加到另一行列上。
例3．将矩阵 A
（1）阶梯形
1001
1 2 0 1 化为
3 1 0 4
1451 （2）行简化阶梯形
解：
1001 1001 1001
A
12 3 1
0 1 04
02 0 1
0 2 01
0 0
1 0
0 1 00
1451 0450 0054
1001
0 1 0 1 = B为阶梯形矩阵 0054
0000
1001
用数k乘以第i行记为rik。例如
1 5 1 1 1 2 1 3 3 8 1 1 1 9 3 7
r24
———
1 5 1 1 4 8 4 12 3 8 1 1 1 9 3 7
h
3
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一.矩阵的初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换，称为初等行变换。 (1)交换矩阵的两行； (2)以数k0乘矩阵的某一行； (3)把矩阵的某一行的k倍加到另一行上。
A
1 2
0 1
1 0
—rr23—+23rr11
101 0 1 2
—r3—2r1
3 2 5
0 2 2
—r3—0.5
1 0 1 r2+2r3 1 0 0 0 1 2 —r1—r3 0 1 0
001
001
101 0 1 2 002
h
15
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例2．用初等行变换把矩阵化为阶梯形和行简化阶梯形
1 1 1 1 0
元素都为零.
标准形矩阵： 6. 左上角是一个单位矩阵，其
它元素全为零.
h
18
F
Er O
O
O
mn
三者之间的包含关系
标准形矩阵由m、n、r三个参 数完全确定，其中 r 就是行阶 梯形矩阵中非零行的行数.
行阶梯形矩阵
行最简形矩阵
h
标准形矩阵
19
结论
任何矩阵 有限次初等行变换
行阶梯形矩阵
有限次初等变换
3 01
例如，设 A 1 1 2 ，有
3
A 1
0
0 1 1 2
0 1 1 1
r1r2
3
1
1
0
0 1 0 3 01
1 0
2 1
=
B
1 1
1 1 2
I(1, 2)A 1 0 0 1 1 2 3 0 1 = B
0 0 1 0 11 0 11
与交换A的第一行与第二行所得结果相同。
h
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1
1
h
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定理1 设A是一个mn矩阵。 对A施行一次初等行变换相当于 在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变 换相当于在A的右边乘以相应的n 阶初等矩阵。
3 01 例如，设 A 1 1 2 ，有
0 11
1 0 2 3 01 3 23 I(1, 3(2))A 0 1 0 1 1 2 1 1 2 = B
A1 1 1 3 1
2 2 4 6 1
1 解：A1
1 1
1 1 1 3
0 1
一系列初 等行变换
2 2 4 6 1
1 0
1 0
1 2
1 4
10= B为阶梯形矩阵 （不唯一）
0
0
0
1
0
1
0
0 1
一系列初
等行变换
0
0
1 2
0 0 0 0
1
2 1
= C为行简化阶梯形矩阵
2 0
（唯一）
h
16
1 3 5 7
1 3 5 7
例
A
0 0 0
2 0 0
0 0 0
0
1 0
B
0
0 0
2 4 0
3 0 0
0
1 0
A为阶梯形矩阵， B不是阶梯形矩阵
h
12
1 1 2 1 4
0
0
1 0
1 0
1 1
0
3
B4
0
0
00
0
r1 r2
r2 r3
1 0 1 0 4
0
0
1 0
1 0
0 1
2 1 1 1 2
1
4
1 6
2 2
1 2
4 4
B
3
6 9
7
9
h
1
第四节 矩阵的初等变换与矩阵的秩
一.矩阵的初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换，称为初等行变换。 (1)交换矩阵的两行； (2)以数k0乘矩阵的某一行； (3)把矩阵的某一行的k倍加到另一行上。
交换第i行与第j行记为rirj。例如
1 5 1 1 1 2 1 3 3 8 1 1 1 9 3 7
r2r4
———
1 5 1 1 1 9 3 7 3 8 1 1 1 2 1 3
h
2
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一.矩阵的初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换，称为初等行变换。 (1)交换矩阵的两行； (2)以数k0乘矩阵的某一行； (3)把矩阵的某一行的k倍加到另一行上。
初等矩阵有下列三种： I(i, j)、I(i(k))、 I (i, j(k)) 。
例如，下面是几个4阶初等矩阵：
1000
1000
I
0 1 0 0 r2+kr4 ———
010
k
I(2,4 (k))
0010
0010
0001
0001
1000
1000
I
0 1 0 0 c4+kc2 ———
010
k
I(2, 4(k) )
有限次初等行变换
A
有限次初等列变换
r
行等价，记作 A ~ B
B c 列等价，记作 A ~ B
h
8
矩阵 A 与矩阵 B 等价，记作 A ~ B
有限次初等变换
A
B
矩阵之间的等价关系具有下列性质：
反身性 A ~；A 对称性 若 A ，~ B则 B；~ A 传递性 若 A~B,，B则~C． A ~ C
h
9
3 3
B5
0 0 0 0 0
行阶梯形矩阵： 1. 可画出一条阶梯线，线的下
方全为零； 2. 每个台阶只有一行； 3. 阶梯线的竖线后面是非零行
的第一个非零元素.
行最简形矩阵： 4. 非零行的第一个非零元为1; 5. 这些非零元所在的列的其它
元素都为零.
h
13
（2）行简化阶梯形矩阵 定义：适合下列两个条件的阶梯形矩阵称为行简化阶梯形矩阵
①每个非零行的首元为1 ②首元所在的“列”除首元以外，其余元素均为零。
1 0 5 0
例A 定理2：
0 0 0
1 0 0
0 0 0
0
1 0
任何一个矩阵A
为行简化阶梯形矩阵
一系列初 等行变换
阶梯形矩阵B
（不唯一）
一系列初 等行变换
行简化阶梯形矩阵C （唯一）
h
14
下页
例1．用初等变换把矩阵化为阶梯形和行简化阶梯形
100
001 3 01 1 1 2
1 1 2 3 0 1 = B
0 11 0 11
010
0 31 ，
1 0 0 1 1 2
0 11 0 0 1 1 01 与交换A的第一列与第二列所得结果相同。
h
26
下页
定理1 设A是一个mn矩阵。 对A施行一次初等行变换相当于 在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变 换相当于在A的右边乘以相应的n 阶初等矩阵。
用数k乘以第i列记为cik。例如
1 5 1 1 1 2 1 3 3 8 1 1 1 9 3 7
c34
———
1 5 4 1 1 2 4 3 3 8 4 1 1 9 12 7
h
6
下页
一.矩阵的初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换，称为初等列变换。 (1)交换矩阵的两列； (2)以数k0乘矩阵的某一列； (3)把矩阵的某一列的k倍加到另一列上。
例如，下面是几个4阶初等矩阵：
1000
1000
I
0 1 0 0 r34 ———
010
0 I(3(4))
0010
0040
0001
0001
1000
1000
I
0 1 0 0 c34 ———
010
0 I(3(4))
0010
0040
0001
0001
h
22
下页
四、初等矩阵与矩阵的初等变换的关系：
定义2 对单位矩阵I施以一次初等变换得到的矩阵称为初 等矩阵。
备注
• 带有运算符的矩阵运算，用“ = ”．例如：
矩阵加法
＋
数乘矩阵、矩阵乘法
×
矩阵的转置
T（上标）
方阵的行列式
|∙|
• 不带运算符的矩阵运算，用“～”．例如：
初等行变换 初等列变换
h
10
三、用初等变换将矩阵化为阶梯形和标准阶梯形矩阵 （1）阶梯形矩阵 定义：适合下列两个条件的矩阵称为阶梯形矩阵 ①零行（元素全为0的行）位于矩阵的下方
第j列11 的52k倍加11 到第31 i列c记3+c为1 ci+kc11j。例如52
0 2
1 3
3 8 1 1 ——— 3 8 2 1
1 9 3 7
1 9 4 7
矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵初等变换
若矩阵A经过初等行变换后变为B,用
A
B
表示,并称矩阵 A与B是行等价的
h
7
下页
二、矩阵之间的等价关系
B
0 0
1 0
0 1
1 4/5
=
C为行简化阶梯形矩阵
0000
h
17
下页
（3） 标准形矩阵
1 0 1 0 4
0
0
1 0
1 0
0 1
3
3
B5
0
0
00
0
c3 c4
c4 +c1 +c2 c54c13c2+3c3
1 0 0 0 0
0
0
1 0
0 1
0 0
0 0
F
0
0
0
0
0
行最简形矩阵： 4. 非零行的第一个非零元为1; 5. 这些非零元所在的列的其它
五、初等矩阵与矩阵的初等变换的关系：
定理1 设A是一个mn矩阵。 对A施行一次初等行变换 相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次 初等列变换相当于在A的右边乘以相应的n 阶初等矩阵。
3 01
例如，设 A 1 1 2 ，有
0 11 0 1 0 3 01
1 1 2
I(1, 2)A AI(1, 2)
② 所有非零行（元素不全为0的行）的首元，它的“列标”随 着“行标”的增大而严格增大。
1 1 2 1 4
0
0
1 0
1 0
1 1
0 3
B4
0
0
00
0
行阶梯形矩阵： 1. 可画出一条阶梯线，线的下
方全为零； 2. 每个台阶只有一行； 3. 阶梯线的竖线后面是非零行
的第一个非零元素.
h
11
下页
h
29
六、用初等行变换求逆矩阵
定理2：任何一个矩阵A
一系列初 等行变换
阶梯形矩阵B （不唯一）
一系列初 等行变换
行简化阶梯形矩阵C （唯一）
000
1 I(2, 4)
0010
0010
0001
0100
1000
1000
I
0 1 0 0 c2c4 ———
000
1 I(2, 4)
0010
0010
0001
0100
h
21
下页
四、初等矩阵与矩阵的初等变换的关系：
定义2 对单位矩阵I施以一次初等变换得到的矩阵称为初 等矩阵。
初等矩阵有下列三种： I(i, j)、I(i(k))、 I (i, j(k)) 。
3 01 例如，设 A 1 1 2 ，有
0 11
1 0 2 3 01 3 23 I(1, 3(2))A 0 1 0 1 1 2 1 1 2 = B
0 0 1 0 11 0 11 请与对矩阵A进行行变换结果相对照。
3 0 1 r1+2r3
3 2 3
A 1 1 2