八年级上册数学 期中精选试卷培优测试卷

八年级上册数学 期中精选试卷培优测试卷
一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）
1．如图1，在ABC ∆中，ACB ∠是直角，60B ∠=︒，AD 、CE 分别是BAC ∠、BCA ∠的平分线，AD 、CE 相交于点F ．
（1）求出AFC ∠的度数；
（2）判断FE 与FD 之间的数量关系并说明理由．（提示：在AC 上截取CG CD =，连接FG ．）
（3）如图2，在△ABC ∆中，如果ACB ∠不是直角，而（1）中的其它条件不变，试判断线段AE 、CD 与AC 之间的数量关系并说明理由．
【答案】（1）∠AFC ＝120°；（2）FE 与FD 之间的数量关系为：DF ＝EF ．理由见解析；（3）AC ＝AE+CD ．理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据三角形的内角和性质只要求出∠FAC ，∠ACF 即可解决问题;
（2）根据在图2的 AC 上截取CG=CD ，证得△CFG ≌△CFD (SAS),得出DF= GF ；再根据ASA 证明△AFG ≌△AFE ，得EF=FG ，故得出EF=FD ；
（3）根据(2) 的证明方法，在图3的AC 上截取AG=AE ，证得△EAF ≌△GAF (SAS)得出∠EFA=∠GFA ；再根据ASA 证明△FDC ≌△FGC ，得CD=CG 即可解决问题．
【详解】
（1）解：∵∠ACB ＝90°，∠B ＝60°，
∴∠BAC ＝90°﹣60°＝30°，
∵AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，
∴∠FAC ＝15°，∠FCA ＝45°，
∴∠AFC ＝180°﹣（∠FAC+∠ACF ）＝120°
（2）解：FE 与FD 之间的数量关系为：DF ＝EF ．
理由：如图2，在AC 上截取CG ＝CD ，
∵CE 是∠BCA 的平分线，
∴∠DCF ＝∠GCF ，
在△CFG 和△CFD 中，
CG CD DCF GCF CF CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△CFG ≌△CFD （SAS ），
∴DF ＝GF ．∠CFD ＝∠CFG
由（1）∠AFC ＝120°得，
∴∠CFD ＝∠CFG ＝∠AFE ＝60°，
∴∠AFG ＝60°，
又∵∠AFE ＝∠CFD ＝60°，
∴∠AFE ＝∠AFG ，
在△AFG 和△AFE 中，
AFE AFG AF AF
EAF GAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△AFG ≌△AFE （ASA ），
∴EF ＝GF ，
∴DF ＝EF ；
（3）结论：AC ＝AE+CD ．
理由：如图3，在AC 上截取AG ＝
AE ，
同（2）可得，△EAF ≌△GAF （SAS ），
∴∠EFA ＝∠GFA ，AG ＝AE
∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-60°=120°
∴∠AFC＝180°﹣(∠FAC+∠FCA)＝180°-1
2
(∠BAC+∠BCA)=180°-
1
2
×120°=120°，
∴∠EFA＝∠GFA＝180°﹣120°＝60°＝∠DFC，
∴∠CFG＝∠CFD＝60°，
同（2）可得，△FDC≌△FGC（ASA），
∴CD＝CG，
∴AC＝AG+CG＝AE+CD．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质的运用，全等三角形的判定和性质是证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造全等三角形．
2．如图，Rt△ABC≌Rt△CED（∠ACB＝∠CDE＝90°），点D在BC上，AB与CE相交于点F
(1) 如图1，直接写出AB与CE的位置关系
(2) 如图2，连接AD交CE于点G，在BC的延长线上截取CH＝DB，射线HG交AB于K，求证：HK＝BK
【答案】（1）AB⊥CE；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）由全等可得∠ECD=∠A，再由∠B+∠A=90°，可得∠B+ECD=90°，则AB⊥CE.（2）延长HK于DE交于H，易得△ACD为等腰直角三角形，∠ADC=45°，易得
DH=DE，然后证明△DGH≌△DGE，所以∠H=∠E，则∠H=∠B，可得HK=BK.
【详解】
解：（1）∵Rt△ABC≌Rt△CED，
∴∠ECD=∠A，∠B=∠E，BC=DE，AC=CD
∵∠B+∠A=90°
∴∠B+ECD=90°
∴∠BFC=90°，∴AB⊥CE
（2）在Rt△ACD中，AC=CD，∴∠ADC=45°，
又∵∠CDE=90°，∴∠HDG=∠CDG=45°
∵CH ＝DB ，∴CH+CD=DB+CD ，即HD=BC ，
∴DH=DE ，
在△DGH 和△DGE 中，
DH=DE HDG=EDG=45DG=DG ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
∴△DGH ≌△DGE （SAS ）
∴∠H=∠E
又∵∠B=∠E
∴∠H=∠B ，
∴HK=BK
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，利用全等找出角相等，再利用等角对等边判定线段相等是本题的关键.
3．探究与发现：如图（1）所示的图形，像我们常见的学习用品一圆规，我们，不妨把这样图形叫做“规形图
（1）观察“规形图（1）”，试探究∠BDC 与∠A 、∠B 、∠C 之间的数量关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下问题：
①如图（2），把一块三角尺XYZ 放置在△ABC 上使三角尺的两条直角边XY 、XZ 恰好经过点B 、C ，若∠A ＝40°，则∠ABX+∠ACX ＝ °．
②如图（3），DC 平分∠ADB ，EC 平分∠AEB ，若∠DAE ＝40°，∠DBE ＝130°，求∠DCE 的度数．
【答案】（1）∠BDC ＝∠BAC+∠B+∠C ，理由见解析；（2）①50；②∠DCE ＝85°．
【解析】
【分析】
（1）首先连接AD 并延长至点F ，然后根据外角的性质，即可判断出∠BDC ＝
∠BAC+∠B+∠C ；
（2）①由（1）可得∠A+∠ABX+∠ACX＝∠X，然后根据∠A＝40°，∠X＝90°，即可求解；
（3）②由∠A＝40°，∠DBE＝130°，求出∠ADE+∠AEB的值，然后根据∠DCE＝
∠A+∠ADC+∠AEC，求出∠DCE的度数即可.
【详解】
（1）如图，∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C，理由是：
过点A、D作射线AF，
∵∠FDC＝∠DAC+∠C，∠BDF＝∠B+∠BAD，
∴∠FDC+∠BDF＝∠DAC+∠BAD+∠C+∠B，
即∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C；
（2）①如图（2），∵∠X＝90°，
由（1）知：∠A+∠ABX+∠ACX＝∠X＝90°，
∵∠A＝40°，
∴∠ABX+∠ACX＝50°，
故答案为：50；
②如图（3），∵∠A＝40°，∠DBE＝130°，
∴∠ADE+∠AEB＝130°﹣40°＝90°，
∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，
∴∠ADC＝1
2
∠ADB，∠AEC＝
1
2
∠AEB，
∴∠ADC+∠AEC＝1
(ADB AEB)
2
∠+∠＝45°，
∴∠DCE＝∠A+∠ADC+∠AEC＝40°+45°＝85°．
【点睛】
本题主要考查了三角形外角性质以及角平分线的定义的运用，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键.
4．已知点P是线段MN上一动点，分别以PM，PN为一边，在MN的同侧作△APM，
△BPN，并连接BM，AN．
（Ⅰ）如图1，当PM＝AP，PN＝BP且∠APM＝∠BPN＝90°时，试猜想BM，AN之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想；
（Ⅱ）如图2，当△APM，△BPN都是等边三角形时，（Ⅰ）中BM，AN之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，试说明理由．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，连接AB得到图3，当PN＝2PM时，求∠PAB度数．
【答案】（1）BM＝AN，BM⊥AN．（2）结论成立.（3）90°．
【解析】
【分析】
(1)根据已知条件可证△MBP≌△ANP，得出MB＝AN，∠PAN＝∠PMB，再延长MB交
∠=︒,因此有BM⊥AN；
AN于点C，得出MCN90
(2)根据所给条件可证△MPB≌△APN，得出结论BM＝AN；
(3)取PB的中点C，连接AC，AB，通过已知条件推出△APC为等边三角形，∠PAC＝∠PCA＝60°，再由CA＝CB，进一步得出∠PAB的度数.
【详解】
解：（Ⅰ）结论：BM＝AN，BM⊥AN．
理由：如图1中，
∵MP＝AP，∠APM＝∠BPN＝90°，PB＝PN，
∴△MBP≌△ANP（SAS），
∴MB＝AN．
延长MB交AN于点C．
∵△MBP≌△ANP，
∴∠PAN＝∠PMB，
∵∠PAN+∠PNA＝90°，
∴∠PMB+∠PNA＝90°，
∴∠MCN＝180°﹣∠PMB﹣∠PNA＝90°，
∴BM⊥AN．
（Ⅱ）结论成立
理由：如图2中，
∵△APM，△BPN，都是等边三角形
∴∠APM＝∠BPN＝60°
∴∠MPB＝∠APN＝120°，
又∵PM＝PA，PB＝PN，
∴△MPB≌△APN（SAS）
∴MB＝AN．
（Ⅲ）如图3中，取PB的中点C，连接AC，AB．
∵△APM，△PBN都是等边三角形
∴∠APM＝∠BPN＝60°，PB＝PN
∵点C是PB的中点，且PN＝2PM，
∴2PC＝2PA＝2PM＝PB＝PN，
∵∠APC＝60°，
∴△APC为等边三角形，
∴∠PAC＝∠PCA＝60°，
又∵CA＝CB，
∴∠CAB＝∠ABC＝30°，
∴∠PAB＝∠PAC+∠CAB＝90°．
【点睛】
本题是一道关于全等三角形的综合性题目，充分考查了学生对全等三角形的判定定理及其性质的应用的能力，此类题目常常需要数形结合，借助辅助线才得以解决，因此，作出合理正确的辅助线是解题的关键.
5．如图，在边长为 4 的等边△ABC 中，点 D 从点A 开始在射线 AB 上运动，速度为 1 个单位/秒，点F 同时从 C 出发，以相同的速度沿射线 BC 方向运动，过点D 作 DE⊥AC，连结DF 交射线 AC 于点 G
(1)当 DF⊥AB 时，求 t 的值；
(2)当点 D 在线段 AB 上运动时，是否始终有 DG=GF?若成立，请说明理由。

(3)聪明的斯扬同学通过测量发现，当点 D 在线段 AB 上时，EG 的长始终等于 AC 的一半，他想当点D 运动到图 2 的情况时，EG 的长是否发生变化?若改变，说明理由；若不变，求出 EG 的长。

【答案】（1）4
3
；（2）见详解；（3）不变.
【解析】
【分析】
（1）设AD=x，则BD=4-x，BF=4+x．当DF⊥AB时，通过解直角△BDF求得x的值，易得t 的值；
（2）如图1，过点D作DH∥BC交AC于点H，构建全等三角形：△DHG≌△FCG，结合全等三角形的对应边相等的性质和图中相关线段间的和差关系求得DG=GF；
（3）过F作FH⊥AC，可证△ADE≌△CFH，得DE=FH，AC=EH，再证△GDE≌△GFH，可得EG=GH，即可解题．
【详解】
解：（1）设AD=x，则BD=4-x，BF=4+x．
当DF⊥AB时，∵∠B=60°，
∴∠DFB=30°，
∴BF=2BD，即4+x=2（4-x），
解得x=4
3
，
故t=4
3
；
（2）如图1，过点D作DH∥BC交AC于点H，则∠DHG=∠FCG．
∵△ABC 是等边三角形，
∴△ADH 是等边三角形，
∴AD=DH ．
又AD=CF ，
∴DH=FC ．
∵在△DHG 与△FCG 中，
DGH FGC DHG FCG DH FC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△DHG ≌△FCG （AAS ），
∴
DG=GF ；
（3）如图2，过F 作FH ⊥AC ，
在△ADE 和△CFH 中，
90AED FHC A FCH AD CF ∠∠︒⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝＝， ∴△ADE ≌△CFH （AAS ），
∴DE=FH ，AE=CH ，
∴AC=EH ，
在△GDE 和△GFH 中，
DEG FHG DGE FGH DE FH ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝∴△GDE ≌△GFH （AAS ），
∴EG=GH ， ∴EG=12EH=12
AC ．
【点睛】
本题考查了三角形综合题，需要掌握全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△GDE≌△GFH 是解题的关键．
二、八年级数学 轴对称解答题压轴题（难）
6．已知：AD 是ABC ∆的高，且BD CD =.
（1）如图1，求证：BAD CAD ∠=∠；
（2）如图2，点E 在AD 上，连接BE ，将ABE ∆沿BE 折叠得到'A BE ∆，'A B 与AC 相交于点F ，若BE=BC ，求BFC ∠的大小；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接EF ，过点C 作CG EF ⊥，交EF 的延长线于点G ，若10BF =，6EG =，求线段CF 的长.
图1. 图2. 图3.
【答案】（1）见解析，（2）BFC ∠=60（3）8=CF .
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形三线合一，易得AB=AC ，BAD CAD ∠=∠；
（2）在图2中，连接CE ，可证得BCE ∆是等边三角形，60BEC ∠= ，30BED ∠=且由折叠性质可知1'2
ABE A BE ABF ∠=∠=∠，可得BFC FAB ABF ∠=∠+∠ ()2BAD ABE =∠+∠ 260BED =∠=；
（3）连接CE ，过点E 分别作EH AB ⊥于点H ，EM BF ⊥于点M ，EN AC ⊥于点N ，可证得
Rt BEM Rt CEN ∆≅∆，BM CN =，BF FM CF CN -=+，可得线段CF 的长.
【详解】
解：（1）证明：如图1，AD BC ⊥，BD CD =
AB AC ∴=
BAD CAD ∴∠=∠；
图1
（2）解：在图2中，连接CE
ED BC ⊥，BD CD = BE CE ∴= 又BE BC = BE CE BC ∴== BCE ∴∆是等边三角形
60BEC ∴∠= 30BED ∴∠=
由折叠性质可知1'2
ABE A BE ABF ∠=∠=∠ 2ABF ABE ∴∠=∠ 由（1）可知2FAB BAE ∠=∠
BFC FAB ABF ∴∠=∠+∠ ()2BAD ABE =∠+∠ 223060BED =∠=⨯=
图2
（3）解：连接CE ，过点E 分别作EH AB ⊥于点H ，EM BF ⊥于点M ，EN AC ⊥
于点N
'
ABE A BE
∠=∠，BAD CAD
∠=∠EM EH EN
∴==
AFE BFE
∴∠=∠又60
BFC
∠=60
AFE BFE
∴∠=∠=
在Rt EFM
∆中，906030
FEM
∠=-=2
EF FM
∴=
令FM m
=，则2
EF m
=62
FG EG EF m
∴=-=-
同理
1
2
FN EF m
==，2124
CF FG m
==-
在Rt BEM
∆和Rt CEN
∆中，EM EN
=，BE CE
=Rt BEM Rt CEN
∴∆≅∆
BM CN
∴=
BF FM CF FN
∴-=+10124
m m m
∴-=-+
解得1
m=8
CF
∴=
图3
故答案为（1）见解析，（2）BFC
∠=60（3）8
CF=.
【点睛】
本题考查翻折的性质，涉及角平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形、全等三角形的判定和性质等知识点，属于较难的题型.
7．已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点
E、F．
①求证：∠1＝∠2；
②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；
（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，
求ABF
ACF
S
S的值．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）2
【解析】
【分析】
（1）①只要证明∠2+∠BAF＝∠1+∠BAF＝60°即可解决问题；
②只要证明△BFC≌△ADB，即可推出∠BFC＝∠ADB＝90°；
（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．只要证明△ABK≌CAF，可得S△ABK＝S△AFC，再证明AF＝FK＝BK，可得S△ABK＝S△AFK，即可解决问题；
【详解】
（1）①证明：如图1中，
∵AB＝AC，∠ABC＝60°
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵AD⊥BN，
∴∠ADB＝90°，
∵∠MBN＝30°，
∠BFD＝60°＝∠1+∠BAF＝∠2+∠BAF，
∴∠1＝∠2
②证明：如图2中，
在Rt△BFD中，∵∠FBD＝30°，
∴BF＝2DF，
∵BF＝2AF，
∴BF＝AD，
∵∠BAE＝∠FBC，AB＝BC，
∴△BFC≌△ADB，
∴∠BFC＝∠ADB＝90°，
∴BF⊥CF
（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．
∵∠BFE＝∠2+∠BAF，∠CFE＝∠4+∠1，
∴∠CFB＝∠2+∠4+∠BAC，
∵∠BFE＝∠BAC＝2∠EFC，
∴∠1+∠4＝∠2+∠4
∴∠1＝∠2，∵AB＝AC，
∴△ABK≌CAF，
∴∠3＝∠4，S△ABK＝S△AFC，
∵∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠CFE＝∠AKB，∠BAC＝2∠CEF，
∴∠KAF＝∠1+∠3＝∠AKF，
∴AF＝FK＝BK，
∴S△ABK＝S△AFK，
∴ABF
AFC
S
2
S
∆
∆
=．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是能够正确添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
8．如图，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的高，D是AM上的点，以CD为一边，在CD的下方作等边△CDE，连结BE．
（1）填空：∠ACB=____；∠CAM=____；
（2）求证：△AOC≌△BEC；
（3）延长BE交射线AM于点F，请把图形补充完整，并求∠BFM的度数；
（4）当动点D在射线AM上，且在BC下方时，设直线BE与直线AM的交点为F．∠BFM
的大小是否发生变化？若不变，请在备用图中面出图形，井直接写出∠BFM的度数；若变化，请写出变化规律．
【答案】（1）60°，30°；（2）答案见解析；（3）60°；（4）∠BFM＝60°．
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质即可进行解答；
（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC=AC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，由等式的性质就可以∠BCE=∠ACD，根据SAS就可以得出△ADC≌△BEC；
（3）补全图形，由△ADC≌△BEC得∠CAM=∠CBE=30°,由三角形内角和定理即可求得
∠BFM的度数；
（4）画出相应图形，可知当点D在线段AM的延长线上且在BC下方时，如图，可以得出△ACD≌△BCE，进而得到∠CBE=∠CAD=30°，据此得出结论．
【详解】
(1)∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°；
∴线段AM为BC边上的高，
∴∠CAM=
1
2
∠BAC=30°，
故答案为60，30°；
（2）∵△ABC与△DEC都是等边三角形，
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE，
∴∠ACD=∠BCE.
在△ADC和△BEC中，
AC BC
ACD BCE
CD CE
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△ACD≌△BCE(SAS)；
（3）补全图形如下：
由（1）（2）得∠CAM=30°，△ADC ≌△BEC ，
∴∠CBE=∠CAM=30°，
∵∠BMF=90°，
∴∠BFM=60°；
（4）当动点D 在射线AM 上，且在
BC 下方时，画出图形如下：
∵△ABC 与△DEC 都是等边三角形，
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠DCB=∠DCB+∠DCE ，
∴∠ACD=∠BCE ，
在△ACD 和△BCE 中，
AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△ACD ≌△BCE(SAS)，
∴∠CBE=∠CAD=30°，
又∵∠AMC=∠BMO ，
∴∠AOB=∠ACB=60°.
即动点D 在射线AM 上时,∠AOB 为定值60°.
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键.解题时注意：全等三角形的对应角相等，等边三角形的三个内角都相等，等边三角形的三个内角相等，且都等于60°.
=. 9．已知ABC为等边三角形，E为射线AC上一点，D为射线CB上一点，AD DE
=时，AD是ABC的中线吗？请说明（1）如图1，当点E在AC的延长线上且CD CE
理由；
AB BD AE之间的数量关系，请说明理（2）如图2，当点E在AC的延长线上时，写出,,
由；
（3）如图3，当点D在线段CB的延长线上，点E在线段AC上时，请直接写出,,
AB BD AE的数量关系.
+=，理由详见【答案】（1）AD是ABC的中线，理由详见解析；（2）AB BD AE
=+.
解析；（3）AB AE BD
【解析】
【分析】
（1）利用△ABC是等边三角形及CD=CE可得∠CDE=∠E=30°，利用AD=DE，证明
∠CAD=∠E =30°，即可解决问题．
（2）在AB上取BH=BD，连接DH，证明AHD≌△DCE得出DH=CE，得出AE=AB+BD，（3）在AB上取AF=AE，连接DF，利用△AFD≌△EFD得出角的关系，得出△BDF是等腰三角形，根据边的关系得出结论AB=BD+AE．
【详解】
（1）解：如图1，结论：AD是△ABC的中线．理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠B=∠ACB=60°，
∵CD=CE，
∴∠CDE=∠E，
∵∠ACD=∠CDE+∠E=60°，
∴∠E=30°，
∵DA=DE，
∴∠DAC=∠E=30°，
∵∠BAC=60°，
∴∠DAB=∠CAD，
∵AB=AC，
∴BD=DC，
∴AD是△ABC的中线．
（2）结论：AB+BD=AE，理由如下：
如图2，在AB上取BH=BD，连接DH，
∵BH=BD，∠B=60°，
∴△BDH为等边三角形，AB-BH=BC-BD，∴∠BHD=60°，BD=DH，AH=DC，
∵AD=DE，
∴∠E=∠CAD，
∴∠BAC-∠CAD=∠ACB-∠E
∴∠BAD=∠CDE，
∵∠BHD=60°，∠ACB=60°，
∴180°-∠BHD=180°-∠ACB,
∴∠AHD=∠DCE，
∴在△AHD和△DCE，
BAD CDE
AHD DCE
AD DE
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪
=
⎩
∴△AHD≌△DCE（AAS），
∴DH=CE，
∴BD=CE，
∴AE=AC+CE=AB+BD．
（3）结论：AB=BD+AE，理由如下：
如图3，在AB上取AF=AE，连接DF，∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=∠ABC=60°，
∴△AFE 是等边三角形，
∴∠FAE=∠FEA=∠AFE=60°， ∴EF ∥BC ，
∴∠EDB=∠DEF ，
∵AD=DE ，
∴∠DEA=∠DAE ，
∴∠DEF=∠DAF ，
∵DF=DF ，AF=EF ，
在△AFD 和△EFD 中，
AD DE DF DF AF EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩
, ∴△AFD ≌△EFD （SSS ）
∴∠ADF=∠EDF ，∠DAF=∠DEF ，
∴∠FDB=∠EDF+∠EDB ，∠DFB=∠DAF+∠ADF ，
∵∠EDB=∠DEF ，
∴∠FDB=∠DFB ，
∴DB=BF ，
∵AB=AF+FB ，
∴AB=BD+AE ．
【点睛】
本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线，运用三角形全等找出对应的线段．
10．探究题：如图，AB ⊥BC ，射线CM ⊥BC ，且BC ＝5cm ，AB ＝1cm ，点P 是线段BC （不与点B 、C 重合）上的动点，过点P 作DP ⊥AP 交射线CM 于点D ，连结AD ．
（1）如图1，若BP ＝4cm ，则CD ＝ ；
（2）如图2，若DP 平分∠ADC ，试猜测PB 和PC 的数量关系，并说明理由；
（3）若△PDC 是等腰三角形，则CD ＝ cm ．（请直接写出答案）
【答案】（1）4cm ；（2）PB ＝PC ，理由见解析；（3）4
【解析】
【分析】
（1）根据AAS 定理证明△ABP ≌△PCD ，可得BP ＝CD ；
（2）延长线段AP 、DC 交于点E ，分别证明△DPA ≌△DPE 、△APB ≌△EPC ，根据全等三角形的性质解答；
（3）根据等腰直角三角形的性质计算．
【详解】
解：（1）∵BC ＝5cm ，BP ＝4cm ，
∴PC ＝1cm ，
∴AB ＝PC ，
∵DP ⊥AP ，
∴∠APD ＝90°，
∴∠APB +∠CPD ＝90°，
∵∠APB +∠CPD ＝90°，∠APB +∠BAP ＝90°，
∴∠BAP ＝∠CPD ，
在△ABP 和△PCD 中，
B C BAP CPD AB PC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABP ≌△PCD ，
∴BP ＝CD ＝4cm ；
（2）PB ＝PC ，
理由：如图2，延长线段AP 、DC 交于点E ，
∵DP 平分∠ADC ，
∴∠ADP ＝∠EDP ．
∵DP ⊥AP ，
∴∠DPA ＝∠DPE ＝90°，
在△DPA 和△DPE 中，
ADP EDP DP DP
DPA DPE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△DPA ≌△DPE （ASA ），
∴PA ＝PE ．
∵AB ⊥BP ，CM ⊥CP ，
∴∠ABP ＝∠ECP ＝Rt ∠．
在△APB 和△EPC 中，
ABP ECP APB EPC PA PE ∠=∠⎧⎪∠=⎨⎪=⎩
，
∴△APB ≌△EPC （AAS ），
∴PB ＝PC ；
（3）∵△PDC 是等腰三角形，
∴△PCD 为等腰直角三角形，即∠DPC ＝45°，
又∵DP ⊥AP ，
∴∠APB ＝45°，
∴BP ＝AB ＝1cm ，
∴PC ＝BC ﹣BP ＝4cm ，
∴CD ＝CP ＝4cm ，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了三角形的全等的证明、全等三角形的性质以及等腰三角形的性质.做出辅助线证明三角形全等是本题的关键.
三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）
11．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
在初中数学课本中重点介绍了提公因式法和运用公式法两种因式
分解的方法，其中运用公式法即运用平方差公式：22
()()a b a b a b -=+-和完全平方公式：222)2(a ab b a b ±+=±进行分解因式，能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．当一个二次三项式不能直接能运用完全平方公式分解因式时，可应用下
面方法分解因式，先将多项式2ax bx c ++(0)a ≠变形为2()a x m n ++的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式2ax bx c ++的配方法．再运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．
例如：21124x x ++
22
21111112422x x ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2
112524x ⎛⎫=+- ⎪⎝
⎭ 1151152222x x ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭ (8)(3)x x =++．
根据以上材料，完成相应的任务：
（1）利用“多项式的配方法”将268x x -+化成2()a x m n ++的形式为_______； （2）请你利用上述方法因式分解：
①223x x +-； ②24127x x +-．
【答案】（1）2(3)1x --；（2）①(3)(1)x x +-；②(27)(21)x x +-
【解析】
【分析】
（1）将多项式2233+-即可完成配方；
（2）①将多项式+1-1后即可用配方法再根据平方差公式分解因式进行解答；
②将多项式2233+-即可完成配方，再根据平方差公式分解因式，整理后即可得到结果.
【详解】
解：（1）268x x -+=2226338x x -+-+=2(3)1x --，
故答案为：2(3)1x --；
（2）①223x x +-
22113x x =++--
2(1)4x =+-
(12)(12)x x =+++-
(3)(1)x x =+-．
②24127x x +-
222(2)12337x x =++--
2(23)16x =+-
(234)(234)x x =+++-
(27)(21)x x =+-．
【点睛】
此题考查多项式的配方法，多项式的分解因式，正确理解题中的配方法的解题方法是关键.
12．若一个整数能表示成22a b +（a ，b 是整数）的形式，则称这个数为“完美数”.例如，5是“完美数”，因为22521=+.再如，
()2
22222M x xy y x y y =++=++（x ，y 是整数），所以M 也是“完美数”. （1）请你再写一个小于10的“完美数”，并判断29是否为“完美数”；
（2）已知224412S x y x y k =++-+（x ，y 是整数，是常数），要使S 为“完美数”，试求出符合条件的一个2200-0=值，并说明理由.
（3）如果数m ，n 都是“完美数”，试说明mn 也是“完美数”．.
【答案】（1）8、29是完美数（2）S 是完美数（3）mn 是完美数
【解析】
【分析】
（1）利用“完美数”的定义可得；
（2）利用配方法，将S 配成完美数，可求k 的值
（3）根据完全平方公式，可证明mn 是“完美数”；
【详解】
(1) 22228,8+=∴是完美数；
222925,29=+∴是完美数 (2) ()222)2313S x y k =++-+-（ 13.k S ∴=当时，是完美数
(3) 2222,m a b n c d 设=+=+,则()()()()22
2222mn a b
c d ac bd ad bc =++=++- 即mn 也是完美数.
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键．
13．阅读下列因式分解的过程，解答下列问题：
1＋x ＋x (x ＋1)＋x (x ＋1)2＝(1＋x )[1＋x ＋x (x ＋1)]＝(1＋x )2(1＋x )＝(1＋x )3.
(1)上述分解因式的方法是____________，共应用了________次；
(2)若分解因式1＋x ＋x (x ＋1)＋x (x ＋1)2＋…＋x (x ＋1)2019，则需要应用上述方法________次，结果是________；
(3)分解因式：1＋x ＋x (x ＋1)＋x (x ＋1)2＋…＋x (x ＋1)n (n 为正整数).
【答案】(1)提取公因式法，2；(2)2019，(1＋x)2020；(3) (1＋x)n ＋1.
【解析】
【分析】
（1）根据已知计算过程直接得出因式分解的方法即可；
（2）根据已知分解因式的方法可以得出答案；
（3）由（1）中计算发现规律进而得出答案．
【详解】
(1)提取公因式法，2（因式分解的方法是提公因式法，共应用了2次）
(2)2019，(1＋x)2020（分解因式1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2019，则需应用上述方法2019次，结果是(1＋x)2020）
(3)原式＝(1＋x)[1＋x ＋x(x ＋1)＋x(x ＋1)2＋…＋x(x ＋1)n －1]
＝(1＋x)2[1＋x ＋x(x ＋1)＋x(x ＋1)2＋…＋x(x ＋1)n －2]
＝(1＋x)3[1＋x ＋x(x ＋1)＋x(x ＋1)2＋…＋x(x ＋1)n －3]
＝(1＋x)n (1＋x)
＝(1＋x)n ＋1.
【点睛】
本题考查的知识点是因式分解-提公因式法，解题的关键是熟练的掌握因式分解-提公因式法.
14．任何一个正整数n 都可以进行这样的分解：n ＝p ×q （p 、q 是正整数，且p ≤q ）．如果p ×q 在n 的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p ×q 是n 的最佳分解，并且规定F （n ）＝
p q ．例如18＝1×18＝2×9＝3×6，这时就有F （18）＝3162=．请解答下列问题：
(1)计算：F （24）；
(2)当n 为正整数时，求证：F （n 3+2n 2+n ）＝
1n ． 【答案】(1)
23；(2) 1n . 【解析】
分析：（1）根据最佳分解的意义，把24分解成两数的积，找出差的绝对值最小的两数，求比值即可；
（2）根据（1）的求法，确定差的绝对值最小的两数的特点，然后根据要求变形即可. 详解：(1)∵24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，
其中4与6的差的绝对值最小，
∴F(24)＝46＝23
. (2)∵n 3＋2n 2＋n ＝n(n ＋1)2，
其中n(n ＋1)与(n ＋1)的差的绝对值最小，且(n ＋1)≤n(n ＋1)，
∴F(n 3＋2n 2
＋n)＝()n 1n n 1++＝1n . 点睛： 本题主要考查实数的运算，理解最佳分解的定义，并将其转化为实数的运算是解题的关键．
15．（探究）如图①，从边长为a 的大正方形中剪掉一个边长为b 的小正方形，有阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形
（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积
（2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 （用字母表示）
（应用）请应用这个公式完成下列各题
①已知22412m n -=，24m n +=，则2m n -的值为
②计算：(2)(2)a b c a b c +--+
（拓展）①()()()()24832(21)212121
21+1+++++结果的个位数字为 ②计算：222222221009998974321-+-++-+-
【答案】[探究]（1）a 2﹣b 2；（a +b ）（a ﹣b ）；（2）（a +b ）（a ﹣b ）=a 2﹣b 2；[应用]①3；②4a 2﹣b 2+2bc ﹣c 2；[拓展]①6；②5050．
【解析】
【分析】
[探究]（1）由面积公式可得答案；
（2）公式由（1）直接可得；
[应用]①用平方差公式分解4m 2﹣n 2，将已知值代入可求解；②将三项恰当组分成两组，先用平方差，再用完全平方公式展开后合并同类项即可；
[拓展]①将原式乘以（2﹣1），就可以反复运用平方差公式化简，最后按照循环规律可得解；②将原式从左向右依次两项一组，运用平方差公式分解，化为
100+99+98+…+4+3+2+1，从而可得答案．
【详解】
（1）图①按照正方形面积公式可得：a 2﹣b 2；
图②按照长方形面积公式可得：（a +b ）（a ﹣b ）．
故答案为：a 2﹣b 2；（a +b ）（a ﹣b ）．
（2）令（1）中两式相等可得：（a +b ）（a ﹣b ）=a 2﹣b 2
故答案为：（a +b ）（a ﹣b ）=a 2﹣b 2．
【应用】
①∵4m 2﹣n 2=12，2m +n =4，4m 2﹣n 2=（2m +n ）（2m ﹣n ），∴（2m ﹣n ）=12÷4=3． 故答案为：3．
②（2a +b ﹣c ）（2a ﹣b +c ）
=[2a +（b ﹣c ）][2a ﹣（b ﹣c ）]
=4a 2﹣（b ﹣c ）2
=4a 2﹣b 2+2bc ﹣c 2
【拓展】
①
原式=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1
=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1
=（24﹣1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1
=（28﹣1）（28+1）…（232+1）+1
=（216﹣1）…（232+1）+1
=264﹣1+1
=264．
∵2的正整数次方的尾数为2，4，8，6循环，64÷4=16．
故答案为：6．
②原式=（100+99）（100﹣99）+（98+97）（98﹣97）+…+（4+3）（4﹣3）+（2+1）（2﹣1）
=100+99+98+97+…+4+3+2+1
=5050．
【点睛】
本题考查了平方差公式的几何背景及其应用与拓展，计算具有一定的难度，属于中档题．
四、八年级数学分式解答题压轴题（难）
16．已知11x a b c ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，11y b a c ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，11z c a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． （1）当1a =，1b =，2c =时，求
1111x y +--的值； （2）当0ab bc ac ++≠时,求111111
x y z +++++的值． 【答案】（1）4；（2）1
【解析】
【分析】
（1）分别对x 、y 进行化简，然后求值即可；(2)分别求出1x ＋、1y ＋、和z 1＋值，然后代入化简即可.
【详解】
（1）,,ac ab bc ab bc ac x y z bc ac ab
+++===， 当1,1,2a b c ===时， 1211111=;122x ⨯+⨯∴-=
-⨯ 1211111=122
y ⨯+⨯∴-=-⨯ 1111=411
1122
x y ∴+=+-- （2）11ac ab ac ab bc x bc bc ++++=
+=，
11bc ab bc ab ac y ac ac ++++=
+=， 11bc ac bc ac ab z ab ab
++++=+=， ∵+0ab bc ac +≠， ∴111111;+++x y z bc ac ab ab bc ac ab bc ac ab bc ac
+++++=+++++ ++ab bc ac ab bc ac
+=
+ =1.
【点睛】 本题考查了整式的化简求值问题，解题的关键是仔细认真的进行整式的化简.
17．一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式．例如：a b c ++，abc ，22a b +，
含有两个字母a ，b 的对称式的基本对称式是+a b 和ab ，像22a b +，(2)(2)a b ++等对称式都可以用+a b 和ab 表示，例如：222()2a b a b ab +=+-．
请根据以上材料解决下列问题：
（1）式子①22a b ，②22a b -，③
11a b +中，属于对称式的是__________（填序号）．
（2）已知2()()x a x b x mx n ++=++．
①
若m =-
n =，求对称式b a a b
+的值． ②若4n =-，直接写出对称式442211a b a b
+++的最小值． 【答案】（1）①③．（2）
①2．②
172
【解析】
试题分析：（1）由对称式的定义对三个式子一一进行判断可得属于对称式的是
①、③；（2）①将等号左边的式子展开， 由等号两边一次项系数和常数项对应相等可得a +b =m ，ab =n ，已知m 、n 的值，所以a +b 、ab 的值即求得，因为b a +a b =22a b ab +=()2
2a b ab ab +-，所以将a +b 、ab 的值整体代入化简后的式子计算出结果即可；②421a a ++421b b
+=
a 2+21a +
b 2+21b =（a +b ）2－2ab ()2
222a b ab a b +-+=m 2+8+2816m +=21716m +172，因为1716m 2≥0，所以1716m 2+172≥172，所以421a a ++421b b
+的最小值是172． 试题解析：
（1）∵a 2b 2=b 2a 2，∴a 2b 2是对称式，
∵a 2-b 2≠b 2－a 2，∴a 2－b 2不是对称式， ∵
1a +1b =1b +1a ，∴1a +1b
是对称式， ∴①、③是对称式； （2）①∵（x +a ）（x +b ）=x 2+（a +b ）x +ab =x 2+mx +n ，
∴a +b =m ，ab =n ，
∵m =－
n
， ∴b a +a b =22a b ab +=()22a b ab ab +-
22
-
－2； ②421a a ++421b b
+， =a 2+21a +b 2+21b
， =（a +b ）2－2ab +
()2222a b ab a b +-， =m 2+8+2816m +， =21716m +172
， ∵
1716m 2≥0， ∴1716m 2+172≥172
， ∴421a a ++42
1b b +的最小值是172． 点睛：本题关键在于理解对称式的定义，并利用分式的性质将分式变形求解.
18．按要求完成下列题目．
()1求：()
11111223341n n +++⋯+⨯⨯⨯+的值． 对于这个问题，可能有的同学接触过，一般方法是考虑其中的一般项，注意到上面和式的
每一项可以写成()11n n +的形式，而()11111n n n n =-++，这样就把()
11n n +一项(分)裂成了两项． 试着把上面和式的每一项都裂成两项，注意观察其中的规律，求出上面的和，并直接写出111112233420162017
+++⋯+⨯⨯⨯⨯的值． ()2若()()()()()
112112A B n n n n n n n =++++++ ①求：A 、B 的值：
②求：()()
11112323412n n n ++⋯+⨯⨯⨯⨯++的值． 【答案】
()()()3412n n n n +++
【解析】
【分析】
（1）根据题目的叙述的方法即可求解；
（2）①把等号右边的式子通分相加，然后根据对应项的系数相等即可求解； ②根据()()()()()
11111..1221212n n n n n n n =-+++++把所求的每个分式化成两个分式的差的形式，然后求解．
【详解】
解：（1）
112⨯+123⨯+134⨯+…+120161017⨯ =1-12+12-13+13-14+…+12016-12017 =1-12017
=20162017
； （2）①∵()1A n n ++()()12B n n ++=()()()
2n 12A B n A n n ++++ =()()
1n 12n n ++， ∴120
A B B ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，
解得1212A B ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
． ∴A 和B 的值分别是12和-12
； ②∵()()1n 12n n ++=12•()11n n +-12•()()
1n 12n n ++ =12•（1n -1n 1+）-12（11n +-12
n +） ∴原式=12•112⨯-12•123⨯+12•123⨯-12•134⨯+…+12•()11n n +-12
•()()112n n ++ =12•112⨯-12•()()
112n n ++ =14-()()
1212n n ++ =()
()()3412n n n n +++．
【点睛】
本题考查了分式的化简求值，正确理解()()1n 12n n ++=12•()1n 1n +-12•()()
112n n ++是关键．
19．某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．甲工程队施工一天，需付工程款1万元；乙工程队施工一天，需付工程款0.6万元．根据甲、乙工程队的投标书测算，可有三种施工方案：
（A ）甲队单独完成这项工程，刚好如期完成；
（B ）乙队单独完成这项工程要比规定工期多用4天；
（C ）若甲、乙两队合做3天后，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工． 为了节省工程款，同时又能如期完工，你认为应选择哪一种方案？并说明理由．
【答案】为了节省工程款，同时又能如期完工，应选C 方案．
【解析】
试题分析：设完成工程规定工期为x 天，根据等量关系：甲、乙两队合做3天后，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工，列方程，求解即可得到甲、乙工程队单独完成所需的天数，然后求出每种方案所需的工程款，比较即可得出结论．
试题解析：解：设完成工程规定工期为x 天，依题意得： 1
133()144
x x x x -++=++
解得：x=12．
经检验，x=12符合原方程和题意，∴x+4=16．
∴甲工程队单独完成需12天，乙工程队单独完成需16天．
∵B方案不能按时完成，∴要舍弃．
A方案的工程款为12×1=12（万元），C方案的工程款为3×1＋12×0.6=10.2（万元），
∴应选C方案．
答：为了节省工程款，同时又能如期完工，应选C方案．
20．某商家用1200元购进了一批T恤，上市后很快售完，商家又用2800元购进了第二批这种T恤，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了5元．
（1）该商家购进的第一批T恤是多少件？
（2）若两批T恤按相同的标价销售，最后剩下20件按八折优惠卖出，如果希望两批T恤全部售完的利润率不低于16%（不考虑其它因素），那么每件T恤的标价至少是多少元？【答案】（1）商家购进的第一批恤是40件；（2）每件恤的标价至少40元．
【解析】
【分析】
（1）可设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2x件，根据第二批这种衬衫单价贵了5元，列出方程求解即可；
（2）设每件衬衫的标价y元，求出利润表达式，然后列不等式解答．
【详解】
（1）解：设购进的第一批恤是x件．
由题意，得12002800
5
2
x x
=-
解得x＝40．
经检验，x＝40是所列方程的解．
所以商家购进的第一批恤是40件．
（2）设每件的标价是y元
由题意，（40＋40×2－20）y＋0.8×20y≥（1200＋2800）（1＋16%）
解得y≥40．
即每件恤的标价至少40元．
【点睛】
本题考查的知识点是分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解题关键是弄清题意并找出题中的数量关系并列出方程．
五、八年级数学三角形解答题压轴题（难）
21．（1）如图1．在△ABC 中，∠B =60°，∠DAC 和∠ACE 的角平分线交于点O ，则∠O = °，
（2）如图2，若∠B =α，其他条件与（1）相同，请用含α的代数式表示∠O 的大小； （3）如图3，若∠B =α，11
,PAC DAC PCA E n n
AC ∠=∠∠=∠，则∠P = （用含α的代数式表示）．
【答案】（1）∠O =60°；（2）90°－12α；（3）11(1)180P n n
α∠=-⨯- 【解析】 【分析】
（1）由题意利用角平分线的性质和三角形内角和为180°进行分析求解；
（2）根据题意设∠BAC=β，∠ACB=γ，则α+β+γ=180°，利用角平分线性质和外角定义找等量关系，用含α的代数式表示∠O 的大小；
（3）利用（2）的条件可知n=2时，∠P=
1
11-1802
2
α︒
⨯-（），再将2替换成n 即可分析求解. 【详解】
解：（1）因为∠DAC 和∠ACE 的角平分线交于点O ，且∠B=60°， 所以18060120OAC OCA οοο∠+∠=-=， 有∠O=180120οο-=60°.
（2）设∠BAC=β，∠ACB=γ，则α+β+γ=180° ∵∠ACE 是△ABC 的外角， ∴∠ACE=∠B+∠BAC=α+β ∵CO 平分∠ACE
11
()22
ACO ACE αβ∴∠=
∠=+ 同理可得：1
()2
CAO αγ∠=
+ ∵∠O+∠ACO+∠CAO=180°，
∴11
180180()()22
O ACO CAO αβαγ︒
︒
∠=-∠-∠=-
+-+ 1180()2αβαγ︒=-+++111
180()1809090222
αβααα︒︒︒︒=-++=--=-；
（3）∵∠B=α，
11
,
PAC DAC PCA E
n n
AC
∠=∠∠=∠，
由（2）可知n=2时，有∠P=
1
18090
2
α
︒︒
--=
11
1-180
22
α
︒
⨯-
（），将2替换成n即可，
∴11
(1)180
P
n n α
∠=-⨯-.
【点睛】
本题考查用代数式表示角，熟练掌握并综合利用角平分线定义和三角形内角和为180°以及等量替换技巧与数形结合思维分析是解题的关键.
22．（1）如图1，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，
①写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；
②设AED
∠的度数为x，∠ADE的度数为y，那么∠1，∠2的度数分别是多少？（用含有x或y的代数式表示）
③∠A与∠1、∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律．
(2)如图2，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE外部时，∠A与∠1、∠2的数量关系是否发生变化？如果发生变化，求出∠A与∠1、∠2的数量关系；如果不发生变化，请说明理由.
【答案】（1）①△EAD≌△EA′D，其中∠EAD=∠EA′D，∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE；
②∠1=180°−2x,∠2=180°−2y；③∠A=1
2
（∠1+∠2）；（2）变化，∠A=
1
2
（∠2-∠1），
见详解
【解析】
【分析】
（1）①根据翻折方法可得△ADE≌△A′DE；
②根据翻折方法可得∠AEA′=2x，∠ADA′=2y，再根据平角定义可得∠1=180°-2x，∠2=180°-2y；
③首先由∠1=180°-2x，2=180°-2y，可得x=90-1
2
∠1，y=90-
1
2
∠2，再根据三角形内角
和定理可得∠A=180°-x-y，再利用等量代换可得∠A=1
2
（∠1+∠2）；
（2）根据折叠的性质和三角形内角和定理解答即可．【详解】。