2020-2021学年山东省莱州市第一中学高二下学期开学测试数学试题 word版含部分解析

山东省莱州一中2020-2021学年度第二学期开学测试数学试题20210228
一､单选题(本题包括10小题,每小题5分,共50分｡每小题只有一个选项符合题意)
1、已知相距1400m 的,A B 两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s ，已知声速是340m/s ，则炮弹爆炸点在（ ）上
A ．圆
B ．椭圆
C ．抛物线
D ．双曲线
2、若抛物线2
x
my =过点)(1,4-，则该抛物线的焦点坐标为（ ）
A ．10,16⎛⎫-
⎪ ⎭
⎝
B ．1,016⎛
⎫-
⎪ ⎭
⎝ C ．
)(1,0-
D ．
)(0,1-
3、一般地，一个程序模块由许多子模块组成，一个程序模块从开始到结束的路线称为该程序模块的执行路径．如图是一个计算机程序模块，则该程序模块的不同的执行路径的条数是
A ．6
B ．14
C ．49
D ．84
4、与双曲线22
14915x y -=有公共焦点且离心率为45的椭圆的标准方程为（ ）
A ．22
18016
y x += B ．2218016
x y += C ．22110036
y x +=
D ．22110036
x y +=
5、在平面直角坐标系中，椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为 ，
过的直线交椭圆于两点，且的周长为16，则椭圆的方程为
A. B. C. D.
6、四个学生，随机分配到三个车间去劳动，不同的分配方法数是 A ．12 B ．64 C ．81
D ．24
7、九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为，得其关捩，解之为二，又合而为一……”．在某种玩法中，用n a 表示解下()
*9,N n n n ≤∈个圆环所需的最少移动次数，若1
1a =，且
111,,222n n n a a n a n ---⎧⎪=⎨+⎪⎩为偶数为奇数
，则解下5个环所需的最少移动次数为（ ）
A ．22
B ．16
C ．13
D ．7
8、将数列{21}n +与{3}n 的公共项从小到大排列得到数列{}
n a ，若
2019
n a =，则n =
（ ）
A ．337
B ．520
C ．360
D ．2020
9、椭圆2
2
41255
y x +=过右焦点有n 条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项1a ，最
大弦长为n a ，若公差为11
[,]63
d ∈，那么n 的取值集合为（ ）
A ．{4,5,6,7}
B ．{4,5,6}
C ．{3,4,5,6}
D ．{3,4,5,6,7} 10、双曲线22
22:1(0,0)
x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点1F
的
直线与双曲线的左右两支分别交于Q P ,两点，若
2
QP QF =，则双曲线C 的离心率为
A ．
B C ．
12 D 1
2
二.多选题(本题共5小题,每小题5分,共25分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.)
11、已知递减的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，59S S =，则（ ）
А．7
0a >
B ．7S 最大
C ．14
0S >
D ．13
0S >
12、数列{}n a 满足：11a = ，1310n n a a +--=，N n *∈，下列说法正确的是（ ）
A ．数列1
{}2
n a +为等比数列
B ．11322
n n a =
⨯- C ．数列{}n a 是递减数列
D ．{}n a 的前n 项和115
344
n n S +=
⨯-
13、“黄金椭圆”．如图，已知C ：()22
2210x y a b a b +=>>，1A ，2A 分别为左、右顶点，1B ，2B 分别为上、下顶点，1F ，2F 分别为左、右焦点，P 为
椭圆上一点，则满足下列条件能使椭圆C 为“黄金椭圆”的有（ ） A ．2
112212A F F A F F ⋅= B ．11290F B A ∠=︒
C ．1PF x ⊥轴，且21//PO A B
D ．四边形1221A B A B 的内切圆过焦点1F ，2F
14、数列
{}n a 的前n 项和为n S ，若数列{}n a 的各项按如下规律排列：
1121231234,,,,,,,2334445555，，121,,,,n n n n
-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，，以下运算和结论正确的是 A ．243
8
a =
B ．数列12345678910,,,+a a a a a a a a a a +++++⋅⋅⋅，是等比数列
C ．数列12345678910,,,+a a a a a a a a a a +++++⋅⋅⋅，
的前n 项和为2
4
n n
n T += D ．若存在正整数k ，使110,10k k S S +<≥，则57
k
a =
15、．如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ） A ．直线1D P 与AC 所成的角可能是6
π
B ．平面11D A P ⊥平面1A AP
C ．三棱锥1
D CDP -的体积为定值
D ．平面1APD 截正方体所得的截面可能是直角三角形
三､填空题(本题共5小题,每小题5分,共25分)
16、等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 与n T ，若对一切自然数n ，都有231
n n
S n T n =+
，
则66
a b 等于_________． 17、已知M 是抛物线24y x =上一点，F 为其焦点，点A 在圆
22(5)(1)1x y -++=上，
则||||MA MF +的最小值是__________．
18、学校食堂在某天中午备有6种素菜，4种荤菜，2种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配制出不同的套餐__________种．
19、数列{}n a ，{}n b 满足1n n a b =，256n a n n =++，*
N
n ∈，则
{}n b 的前10项之和为
___
20、(a 1＋a 2＋a 3)(b 1＋b 2＋b 3)(c 1＋c 2＋c 3＋c 4)展开后共有__________项． 四、解答题
21、(本题满分15分)动点与定点)(1
3,0F 的距离和M 到定直线25
:3
l x =的距离的比是常数35
． （1）求动点M 的轨迹方程； （2）设)(23,0F -，点P 为M 轨迹上一点，且1260F PF ∠=︒，求12F PF △的面积．
22、(本题满分15分)己知数列
}{n
a 的各项均为正数，}{n
b 为等比数列，
221122n n n n a a a a ++-=+，111a b ==，221b a =-，求数列}{n n a b 的前n 项和n S ．
23、(本题满分20分) 平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，抛物线
2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点W 在抛物线C 上，
且||2||,||FW OF OW ==F
关于原点的对称点为F '，圆F 的半径等于4，以Z 为圆心的动圆过F '且与圆F 相切． （1）求动点Z 的轨迹曲线E 的标准方程；
（2）四边形ABCD 内接于曲线E ，点B A ,分别在x 轴正半轴和
y 轴正半轴上，设直线
,AC BD 的斜率分别是12k k ,，且123
4
k k =．
（ⅰ）记直线,AC BD 的交点为G ，证明：点G 在定直线上； （ⅱ）证明：CD AB //．
山东省莱州一中2020-2021学年度第二学期开学测试数学试题20210228
一､单选题(本题包括10小题,每小题5分,共50分｡每小题只有一个选项符合题意)
1、已知相距1400m 的,A B 两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s ，已知声速是340m/s ，则炮弹爆炸点在（ ）上
A ．圆
B ．椭圆
C ．抛物线
D ．双曲线
答案D 2、若抛物线2
x
my =过点)(1,4-，则该抛物线的焦点坐标为（ ）
A ．10,16⎛⎫-
⎪ ⎭
⎝
B ．1,016⎛
⎫-
⎪ ⎭⎝
C ．
)(1,0-
D ．
)(0,1-
答案A
3、一般地，一个程序模块由许多子模块组成，一个程序模块从开始到结束的路线称为该程序模块的执行路径．如图是一个计算机程序模块，则该程序模块的不同的执行路径的条数是
A ．6
B ．14
C ．49
D ．84
【答案】C
【解析】由分类加法计数原理，子模块1或子模块2或子模块3的子路径共有2237++=条；子模块4或子模块5中的子路径共有437+=条，
由分步乘法计数原理，整个模块的不同执行路径共有7749⨯=条，故选C
4、与双曲线22
14915x y -=有公共焦点且离心率为4
5的椭圆的标准方程为（ ）
A ．22
18016
y x += B ．2218016
x y += C ．22110036
y x +=
D ．22110036
x y += 答案D
5、在平面直角坐标系中，椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为 ，
过的直线交椭圆于两点，且的周长为16，则椭圆的方程为
A. B. C. D.
答案D
6、四个学生，随机分配到三个车间去劳动，不同的分配方法数是 A ．12 B ．64 C ．81
D ．24
【试题来源】2021年新高考数学一轮复习讲练测 【答案】C
【解析】先安排一位同学分配到三个车间去劳动，有3种安排方法， 同理，再安排一位同学分配到三个车间去劳动，也有3种安排方法， 依次类推，因此，根据分步乘法计数原理共有4381=种分配方法．故选C
7、九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为，得其关捩，解之为二，又合而为一……”．在某种玩法中，用n a 表示解下()
*9,N n n n ≤∈个圆环所需的最少移动次数，若1
1a =，且
11
1,,222n n n a a n a n ---⎧⎪=⎨+⎪⎩为偶数为奇数，则解下5个环所需的最少移动次数为（ ）
A ．22
B ．16
C ．13
D ．7
答案B
8、将数列{21}n +与{3}n 的公共项从小到大排列得到数列
{}
n a ，若
2019
n a =，则n =
（ ）
A ．337
B ．520
C ．360
D ．
2020
【答案】A
9、椭圆2
241255
y x +=过右焦点有n 条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项1a ，最
大弦长为n a ，若公差为11
[,]63
d ∈，那么n 的取值集合为（ ）
A ．{4,5,6,7}
B ．{4,5,6}
C ．{3,4,5,6}
D ．{3,4,5,6,7} 答案A
10、双曲线22
22:1(0,0)
x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点1F 的
直线与双曲线的左右两支分别交于Q P ,两点，若
2
QP QF =，则双曲线C 的离心率为
A ．
B C 答案C
二.多选题(本题共5小题,每小题5分,共25分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.)
11、已知递减的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，59S S =，则（ ）
А．7
0a >
B ．7S 最大
C ．14
0S >
D ．13
0S >
答案ABD
12、数列{}n a 满足：11a = ，1310n n a a +--=，N n *∈，下列说法正确的是（ ）
A ．数列1
{}2
n a +为等比数列
B ．11322
n n a =
⨯- C ．数列{}n a 是递减数列 D ．{}n a 的前n 项和115
344
n n S +=
⨯- 【答案】AB
13、“黄金椭圆”．如图，已知C ：()22
2210x y a b a b +=>>，
1A ，2A 分别为左、右顶点，1B ，2B 分别为上、下顶点，1F ，2F 分别为左、右焦点，P 为
椭圆上一点，则满足下列条件能使椭圆C 为“黄金椭圆”的有（ ） A ．2
112212A F F A F F ⋅= B ．11290F B A ∠=︒
C ．1PF x ⊥轴，且21//PO A B
D ．四边形1221A B A B 的内切圆过焦点1F ，2F
答案BD 14、数列
{}n a 的前n 项和为n S ，若数列{}n a 的各项按如下规律排列：
1121231234,,,,,,,2334445555，，121,,,,n n n n
-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，，以下运算和结论正确的是 A ．243
8
a =
B ．数列12345678910,,,+a a a a a a a a a a +++++⋅⋅⋅，是等比数列
C ．数列12345678910,,,+a a a a a a a a a a +++++⋅⋅⋅，
的前n 项和为2
4
n n
n T += D ．若存在正整数k ，使110,10k k S S +<≥，则57
k
a =
答案ACD
15、．如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ） A ．直线1D P 与AC 所成的角可能是
6
π
B ．平面11D A P ⊥平面1A AP
C ．三棱锥1
D CDP -的体积为定值
D ．平面1APD 截正方体所得的截面可能是直角三角形
答案
BC
三､填空题(本题共5小题,每小题5分,共25分)
16、等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 与n T ，若对一切自然数n ，都有231
n n
S n T n =+，
则66
a b 等于_________． 答案
17、已知M 是抛物线24y x =上一点，F 为其焦点，点A 在圆
22(5)(1)1x y -++=上，
则||||MA MF +的最小值是__________． 答案5
18、学校食堂在某天中午备有6种素菜，4种荤菜，2种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配制出不同的套餐__________种．
【试题来源】贵州省毕节市威宁县2019-2020学年高二下学期期末考试（理） 【答案】48
【分析】根据备有6种素菜，4种荤菜，2种汤，则荤菜有4种选法，素菜有6种选法，汤菜有2种选法，然后再利用分步计数原理求解． 【解析】因为备有6种素菜，4种荤菜，2种汤，
所以荤菜有4种选法，素菜有6种选法，汤菜有2种选法，
所以要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配制出不同的套餐有46248⨯⨯=种 故答案为48
19、数列{}n a ，{}n b 满足1n n a b =，256n a n n =++，*
N
n ∈，则
{}n b 的前10项之和为
___ 答案1039
20、(a 1＋a 2＋a 3)(b 1＋b 2＋b 3)(c 1＋c 2＋c 3＋c 4)展开后共有__________项． 答案36 四、解答题
21、(本题满分15分)动点与定点)(1
3,0F 的距离和M 到定直线25
:3
l x =的距离的比是常数35
． （1）求动点M 的轨迹方程； （2）设)(2
3,0F -，点P 为M 轨迹上一点，且1260F PF ∠=︒，求12F PF △的面积．
（1）设d 是点M 到直线l 的距离，则
3
5
MF d
=
35
=
， 化简得2
2
16+25400x y =，所以动点M 的轨迹方程为
22
+12516
x y =．
（2）由（1）知，动点M 的轨迹是以1F ，2F 为焦点的椭圆，所以12||||10PF PF +=，
在12PF F △中，由余弦定理得2
2
2
1212122cos 60PF PF PF PF F F +-︒=，
所以)
(
2
2
12
12123PF PF PF PF F F +-=，整理得12643
PF PF =，
所以12121164sin 6022323
PF F S PF PF =︒=⨯⨯=△．
22、(本题满分15分)己知数列
}{n
a 的各项均为正数，}{n
b 为等比数列，
22
1122n n n n a a a a ++-=+，111a b ==，221b a =-，求数列}{n n a b 的前n 项和n S ．
解：由221122n n n n
a a a a ++-=+可得，)()(1
120n n n n a
a a a +++--=，
又10n n
a a ++≠，所以120n n a a +--=，即12n n a a +-=．故)(12121n a n n =+-=-．
若选①，2212b a =-=，2
1
2b q b =
=，故11122n n n b --=⨯=， 此时)(2113252212n n
S n -=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯，
)(222123252212n n S n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯．
两式相减得，)()(2311222222123223n n n
n S n n -⎡⎤-=+⨯+++⋅⋅⋅+--⨯=-⨯-⎦⎣
， 所以)(2323n n S n =-⨯+．
23、(本题满分20分) 平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，抛物线
2
:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点W 在抛物线C 上，且||2||,||FW OF OW ==F 关于原点的对称点为F '，圆F 的半径等于4，以Z 为圆心的动圆过F '且与圆F 相切．
（1）求动点Z 的轨迹曲线E 的标准方程；
（2）四边形ABCD 内接于曲线E ，点B A ,分别在x 轴正半轴和
y 轴正半轴上，设直线
,AC BD 的斜率分别是12k k ,，且123
4
k k =．
（ⅰ）记直线,AC BD 的交点为G ，证明：点G 在定直线上； （ⅱ）证明：CD AB //．
解：（1）由题知：||2W p FW x p =
+=，所以,2
W W p
x y p == 所以：52
5
||==
p OW ，解得2=p ·
············································································ 1分 所以抛物线D 的标准方程为2
4y x =，)0,1(F ································································ 2分
设动圆Z 的半径为r ，由题意知：ZF r '=，4ZF r =-
所以 42ZF ZF FF ''+=>= ························································································· 3分 所以Z 点的轨迹是以,F F '为焦点的椭圆. ········································································· 4分
其长轴长24,a =焦距为22c =，b ==所以曲线E 的标准方程为：22
143
x y +=·············································································· 5分 （2）（ⅰ）设点(,)G x y ，因为1(2)y k x =-，所以12
y
k x =
-
因为2y k x =，所以2k =
因为1234k k =
，所以2
y x -34= ··············································································· 7分
整理得，(2)(20y y +-=
因为ABCD 为四边形，所以20y +-≠
所以点G 20y -=上 ······················································································· 8分 （ⅱ）由题知：)1,0(),0,2(B A ，直线32
3
:+-=x y AB ··········································· 9分 设1122(,),(,)C x y D x y ，直线m kx y CD +=:
将m kx y +=代入22
143
x y +=得：222(34)84120k x kmx m +++-= 所以2121222
8412
,3434km m x x x x k k
-+=-=++ ········································································· 10分
所以221212112121121212122())2(2)2y y y y k x x km x x m kx m k k x x x x x x x -++++=⨯==---
22
2
2222
2
2
2
41288()()()343434412
234m km km k km m x k k k m x k -+-+---+++=--+
23
4
=
所以3222
22418)(43)36480k x k k ++++-+-=
所以32
22
24180(43)36480
k k k ⎧+++=⎪⎨-+-=⎪⎩ ·············································································· 11分
解得2
k =-，所以CD AB // ··························································································· 12分。