2019-2020学年福建省厦门一中九年级(下)段考数学试卷(4月份) 解析版

2019-2020学年福建省厦门一中九年级（下）段考数学试卷（4
月份）
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）计算2﹣1的结果是（）
A．0B．C．1D．2
2．（4分）sin30°的值为（）
A．B．C．D．
3．（4分）若分式有意义，则x应满足的条件是（）
A．x≠2B．x＝2C．x＞2D．x≠0
4．（4分）下列式子变形正确的是（）
A．（a+b）2＝a2+b2B．＝a
C．（ab）2＝a2b2D．
5．（4分）对于反比例函数y＝﹣，下列说法正确的是（）
A．y的值随x值的增大而增大
B．y的值随x值的增大而减小
C．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大
D．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小
6．（4分）在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝40°，AC＝3，则BC的长为（）A．3sin40°B．3sin50°C．3tan40°D．3tan50°
7．（4分）如图，点P是反比例函数y＝（k≠0）的图象上任意一点，过点P作PM⊥x 轴，垂足为M．若△POM的面积等于2，则k的值等于（）
A．﹣4B．4C．﹣2D．2
8．（4分）小明在做一道数学题时，看到这样的条件“如图，在△ABC中，AD＝BD＝3，
AE平分∠CAD，DE垂直AB，他马上得到了如下结论并说明了理由，他发现的结论和理由正确的是（）
A．他发现CE＝DE，理由是角平分线上的点到角两边的距离相等
B．他发现CE＝DE，理由是垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
C．他发现AE＝BE，理由是角平分线上的点到角两边的距离相等
D．他发现AE＝BE，理由是垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
9．（4分）若点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）
A．y1＞y2＞y3B．y3＞y2＞y1C．y1＞y3＞y2D．y2＞y3＞y1 10．（4分）一条抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为（2，m），m＜0，且与x轴有两个交点，其中一个交点是（5，0），则对a、b、c描述正确的是（）
A．a＞0、b＜0、c＞0B．a＞0、b＜0、c＜0
C．a＜0、b＞0、c＞0D．a＜0、b＞0、c＜0
二、填空题（本大题有6小题，每题4分，共24分）
11．（4分）cos30°的值等于．
12．（4分）因式分解：x2﹣4＝．
13．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，AB＝2，则∠B＝．
14．（4分）为了参加中学生篮球运动会，某校篮球队准备购买10双运动鞋，经统计10双运动鞋的尺码（cm）如表所示：
尺码2525.52626.527
购买量（双）24211
则这10双运动鞋中位数是．
15．（4分）若反比例函数y＝的图象在每一个象限内y的值随x值的增大而增大，则m 的取值范围是．
16．（4分）如图，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点O重合，顶点A、B恰好
分别落在函数y＝﹣（x＜0），y＝（x＞0）的图象上，则∠ABO的正切值．
三、解答题（本大题9小题，共86分）
17．（8分）解方程组：．
18．（8分）设Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若b＝6，c＝10，求sin A、cos A和tan A．
19．（8分）先化简，再求值：÷（1﹣），其中x＝．
20．（8分）某公司欲招聘一名工作人员，对甲、乙两位侯选人进行了听、说、读、写的测试．他们的成绩如表所示：
侯选人听说读写
甲8987
乙9868
①听、说、读、写同样重要，应录取谁？
②如果听、说、读、写按4：2：1：3来计算，应录取谁？
21．（8分）一个小岛A的周围16海里内有暗礁，船由东向西行，到达B处测得小岛A在北偏西45°方向，船继续航行10海里到达D处时，测得小岛A在船的北偏西18°方向上，如果船不改变航线继续向西航行，有没有触礁危险？
（参考数据：sin72°＝0.95，cos72°＝0.30，tan72°＝3.0）
22．（10分）如图，一次函数y1＝k1x+b（k1≠0）的图象分别与x轴，y轴相交于点A，B，与反比例函数y2＝（k2≠0）的图象相交于点C（﹣4，﹣2），D（2，4）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）当x为何值时，y1＞0，请直接写出x的取值范围；
（3）当x为何值时，y1＜y2，请直接写出x的取值范围．
23．（10分）某世界顶尖中国手机公司在市场销售“China2020”品牌手机，由于手机价格会随着时间的变化而变化，该手机在第x年（x为整数）的售价为y元，y与x满足函数关系式：y＝﹣500x+5000．该公司预计第x年的“China2020”手机的销售量为z（百万台），z与x的对应关系如表：
第x年12345…
销售量z（百万台）1416182022…
（1）求z与x函数关系式；
（2）设第x年“China2020”手机的年销售额为W（百万元），试问该公司销售“China2020”
手机在第几年的年销售额可以达到最大？最大值为多少百万元？
（3）若生产一台“China2020”手机的成本为3000元，如果你是该公司的决策者，要使得公司的累计总利润最大，那么“China2020”手机销售几年就应该停产，去创新新的手机？
24．（12分）如图，△ABD内接于⊙O，点E是BD上一点，连接AE并延长交⊙O于点F，连接BF，DF；过点B作AD的平行线BC交AF于点C，连接DC并延长交⊙O于点G．（1）若AE＝EC，求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）若AE＝1，EC＝2，BE＝3，＝，求GD的长．
25．（14分）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD为平行四边形，点A在y轴上
且在B的下方，B（0，3），且点C，点D在第一象限．
（1）若点A（0，1），点D（2，2），求点C的坐标；
（2）若点C在直线y＝0.5x+3上，
①若CD＝BC，点D在抛物线y＝x2﹣x+3上，求点C的坐标；
②若CD＝BC，抛物线y＝x2﹣ax+4﹣a经过点D、E，与y轴交于点F，若点E在直线BD上，求S△DEF﹣S▱ABCD的最大值．
2019-2020学年福建省厦门一中九年级（下）段考数学试卷（4
月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）计算2﹣1的结果是（）
A．0B．C．1D．2
【分析】根据负整数指数幂：a﹣p＝（a≠0，p为正整数）可得答案．
【解答】解：2﹣1＝，
故选：B．
2．（4分）sin30°的值为（）
A．B．C．D．
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【解答】解：sin30°＝，
故选：A．
3．（4分）若分式有意义，则x应满足的条件是（）
A．x≠2B．x＝2C．x＞2D．x≠0
【分析】直接利用分式有意义则分母不等于零进而得出答案．
【解答】解：若分式有意义，
则x﹣2≠0，
解得：x≠2，
故选：A．
4．（4分）下列式子变形正确的是（）
A．（a+b）2＝a2+b2B．＝a
C．（ab）2＝a2b2D．
【分析】根据完全平方公式，二次根式的性质，积的乘方分别求出每个式子的值，再得
出答案即可．
【解答】解：A、结果是a2+2ab+b2，故本选项不符合题意；
B、结果是|a|，故本选项不符合题意；
C、结果是a2b2，故本选项符合题意；
D、不一定等于+，如a＝1，b＝4时，＝，+＝1+2＝3，故本
选项不符合题意；
故选：C．
5．（4分）对于反比例函数y＝﹣，下列说法正确的是（）
A．y的值随x值的增大而增大
B．y的值随x值的增大而减小
C．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大
D．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小
【分析】根据题意和反比例函数的性质可以解答本题．
【解答】解：∵y＝﹣，k＝﹣2，
∴该函数的图象在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，
故选项A、B、D错误，选项C正确，
故选：C．
6．（4分）在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝40°，AC＝3，则BC的长为（）A．3sin40°B．3sin50°C．3tan40°D．3tan50°
【分析】利用∠A的正切函数求解即可．
【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝3，∠A＝40°，
∴BC＝AC•tan A＝3tan40°，
故选：C．
7．（4分）如图，点P是反比例函数y＝（k≠0）的图象上任意一点，过点P作PM⊥x 轴，垂足为M．若△POM的面积等于2，则k的值等于（）
A．﹣4B．4C．﹣2D．2
【分析】利用反比例函数k的几何意义得到|k|＝2，然后根据反比例函数的性质和绝对值的意义确定k的值．
【解答】解：∵△POM的面积等于2，
∴|k|＝2，
而k＜0，
∴k＝﹣4．
故选：A．
8．（4分）小明在做一道数学题时，看到这样的条件“如图，在△ABC中，AD＝BD＝3，AE平分∠CAD，DE垂直AB，他马上得到了如下结论并说明了理由，他发现的结论和理由正确的是（）
A．他发现CE＝DE，理由是角平分线上的点到角两边的距离相等
B．他发现CE＝DE，理由是垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
C．他发现AE＝BE，理由是角平分线上的点到角两边的距离相等
D．他发现AE＝BE，理由是垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
【分析】根据线段垂直平分线的性质即可得到结论．
【解答】解：∵AD＝BD＝3，DE垂直AB，
∴AE＝BE，理由是垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；
故选：D．
9．（4分）若点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）
A．y1＞y2＞y3B．y3＞y2＞y1C．y1＞y3＞y2D．y2＞y3＞y1
【分析】k＜0，在每个象限内，y随x值的增大而增大，（﹣1，y1）在第二象限，（2，y2），（3，y3）在第四象限，即可解题；
【解答】解：∵k＜0，
∴在每个象限内，y随x值的增大而增大，
∴当x＝﹣1时，y1＞0，
∵2＜3，
∴y2＜y3＜y1
故选：C．
10．（4分）一条抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为（2，m），m＜0，且与x轴有两个交点，其中一个交点是（5，0），则对a、b、c描述正确的是（）
A．a＞0、b＜0、c＞0B．a＞0、b＜0、c＜0
C．a＜0、b＞0、c＞0D．a＜0、b＞0、c＜0
【分析】将题设的3个条件代入抛物线表达式，即可求解．
【解答】解：由题意得：，解得，
由c﹣4a＜0得，﹣5a﹣4a＜0，故a＞0，则b＜0，c＜0，
故选：B．
二、填空题（本大题有6小题，每题4分，共24分）
11．（4分）cos30°的值等于．
【分析】利用特殊角的三角函数值可得答案．
【解答】解：cos30°＝，
故答案为：．
12．（4分）因式分解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．
故答案为：（x+2）（x﹣2）．
13．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，AB＝2，则∠B＝60°．【分析】求出sin B的值即可解决问题．
【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝，AB＝2，
∴sin B＝＝，
∴∠B＝60°，
故答案为60°．
14．（4分）为了参加中学生篮球运动会，某校篮球队准备购买10双运动鞋，经统计10双运动鞋的尺码（cm）如表所示：
尺码2525.52626.527
购买量（双）24211
则这10双运动鞋中位数是25.5cm．
【分析】根据中位数的定义直接求解即可．
【解答】解：把这些数从小到大排列，处于中间位置的是第5、第6个数的平均数，则中位数是：＝25.5cm；
故答案为：25.5cm．
15．（4分）若反比例函数y＝的图象在每一个象限内y的值随x值的增大而增大，则m 的取值范围是m＜﹣2．
【分析】先根据反比例函数y＝的图象在每一个象限内，y随x的增大而增大得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象在每一个象限内，y随x的增大而增大，∴m+2＜0，
∴m＜﹣2．
故答案为：m＜﹣2．
16．（4分）如图，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点O重合，顶点A、B恰好
分别落在函数y＝﹣（x＜0），y＝（x＞0）的图象上，则∠ABO的正切值．
【分析】作AC⊥x轴，BD⊥x轴．易得△ACO∽△ODB，由点A、B恰好分别落在函数y＝﹣（x＜0），y＝（x＞0）的图象上，可得到△ACO与△ODB的面积比，进而求出对应边的比，在直角三角形中求出∠ABO的正切值．
【解答】
解：如图，∵点A、B恰好分别落在函数y＝﹣（x＜0），y＝（x＞0）的图象上，
∴S△AOC＝|k|＝，S△OBD＝|k|＝，
过点A、B分别作AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足为C、D，
∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∵∠OAC+∠AOC＝90°，∠AOC+∠BOD＝180°﹣90°＝90°，
∴∠OAC＝∠BOD，
又∠ACO＝∠ODB＝90°，
∴△ACO∽△ODB，
∴＝＝（）2＝（）2＝（）2，
∴＝＝＝，
在Rt△AOB中，
tan∠ABO＝＝，
故答案为：．
三、解答题（本大题9小题，共86分）
17．（8分）解方程组：．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：，
①+②得：2x＝6，
解得：x＝3，
把x＝3代入①得：y＝，
则方程组的解为．
18．（8分）设Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若b＝6，c＝10，求sin A、cos A和tan A．
【分析】直接利用勾股定理得出a的值，再利用锐角三角函数关系得出答案．
【解答】解：如图所示：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、
b、c，b＝6，c＝10，
∴a＝＝8，
∴sin A＝＝＝；
cos A＝＝＝；
tan A＝＝＝．
19．（8分）先化简，再求值：÷（1﹣），其中x＝．
【分析】先化简，再把x的值代入，计算即可．
【解答】解：÷（1﹣）
＝
＝
＝，
当x＝时，原式＝＝．
20．（8分）某公司欲招聘一名工作人员，对甲、乙两位侯选人进行了听、说、读、写的测试．他们的成绩如表所示：
侯选人听说读写
甲8987
乙9868
①听、说、读、写同样重要，应录取谁？
②如果听、说、读、写按4：2：1：3来计算，应录取谁？
【分析】①求得面试和笔试的平均成绩即可得到结论；
②根据题意先算出甲、乙两位应聘者的加权平均数，再进行比较，即可得出答案．
【解答】解：①甲的平均数是：＝8，
乙的平均数是：＝7.75，
因为甲的平均数大于乙的平均数，
所以认为听、说、读、写同样重要，应从他们的成绩看，甲将被录取；
②甲的平均成绩为：（8×4+9×2+8×1+7×3）÷10＝7.9（分），
乙的平均成绩为：（9×4+8×2+6×1+8×3）÷10＝8.2（分），
因为乙的平均分数较高，
所以乙将被录取．
21．（8分）一个小岛A的周围16海里内有暗礁，船由东向西行，到达B处测得小岛A在北偏西45°方向，船继续航行10海里到达D处时，测得小岛A在船的北偏西18°方向上，如果船不改变航线继续向西航行，有没有触礁危险？
（参考数据：sin72°＝0.95，cos72°＝0.30，tan72°＝3.0）
【分析】根据题意画出图形，作AC⊥BC，设AC＝x，根据等腰直角三角形的性质用x 表示出BC，根据正切的定义用x表示出CD，结合图形列出方程，解方程得到答案．【解答】解：作AC⊥BC于C，
设AC＝x，
由题意得，∠ABC＝45°，∠ADC＝72°，BD＝10，
在Rt△ABC中，∠ABC＝45°，
∴BC＝AC＝x，
在Rt△ADC中，tan∠ADC＝，
∴CD＝≈x，
∵BC＝10，
∴x﹣x＝10，
解得，x＝15，
∵15＜16，
∴如果船不改变航线继续向西航行，有触礁危险．
22．（10分）如图，一次函数y1＝k1x+b（k1≠0）的图象分别与x轴，y轴相交于点A，B，与反比例函数y2＝（k2≠0）的图象相交于点C（﹣4，﹣2），D（2，4）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）当x为何值时，y1＞0，请直接写出x的取值范围；
（3）当x为何值时，y1＜y2，请直接写出x的取值范围．
【分析】（1）将C、D两点代入一次函数的解析式中即可求出一次函数的解析式，然后将点D代入反比例函数的解析式即可求出反比例函数的解析式；
（2）根据一元一次不等式的解法即可求出答案．
（3）根据图象即可求出该不等式的解集．
【解答】解：（1）∵一次函数y1＝k1x+b的图象经过点C（﹣4，﹣2），D（2，4），∴，
解得．
∴一次函数的表达式为y1＝x+2．
∵反比例函数y2＝（k2≠0）的图象经过点D（2，4），
∴4＝．
∴k2＝8．
∴反比例函数的表达式为y2＝；
（2）由y1＞0，得x+2＞0．
∴x＞﹣2．
∴当x＞﹣2时，y1＞0．
（3）x＜﹣4或0＜x＜2．
23．（10分）某世界顶尖中国手机公司在市场销售“China2020”品牌手机，由于手机价格会随着时间的变化而变化，该手机在第x年（x为整数）的售价为y元，y与x满足函数关系式：y＝﹣500x+5000．该公司预计第x年的“China2020”手机的销售量为z（百万台），z与x的对应关系如表：
第x年12345…
销售量z（百万台）1416182022…
（1）求z与x函数关系式；
（2）设第x年“China2020”手机的年销售额为W（百万元），试问该公司销售“China2020”
手机在第几年的年销售额可以达到最大？最大值为多少百万元？
（3）若生产一台“China2020”手机的成本为3000元，如果你是该公司的决策者，要使得公司的累计总利润最大，那么“China2020”手机销售几年就应该停产，去创新新的手机？
【分析】（1）由表格数据看，z与x的对应关系为一次函数关系，设其表达式为z＝kx+b，用待定系数法即可求解；
（2）由题意得：W＝（2x+12）（﹣500x+5000）＝﹣1000（x﹣2）2+64000，进而求解；
（3）由题意得：（2x+12）（﹣500x+5000﹣3000）＝0，通过解方程即可求解．
【解答】解：（1）由表格数据看，z与x的对应关系为一次函数关系，设其表达式为z＝kx+b，
将（1，14）、（2，16）代入上式得，解得，
故z＝2x+12；
（2）由题意得：W＝（2x+12）（﹣500x+5000）＝﹣1000（x﹣2）2+64000，
∵﹣1000＜0，故抛物线开口向下，W有最大值，
当x＝2（年）时，W最大值为64000（百万元），
第二年销售额最大，为64000百万元；
（3）由题意得：（2x+12）（﹣500x+5000﹣3000）＝0，
﹣1000（x+1）2+25000＝0，
x1＝4，x1＝﹣6（舍），
∴第四年该手机应该停产．
24．（12分）如图，△ABD内接于⊙O，点E是BD上一点，连接AE并延长交⊙O于点F，连接BF，DF；过点B作AD的平行线BC交AF于点C，连接DC并延长交⊙O于点G．（1）若AE＝EC，求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）若AE＝1，EC＝2，BE＝3，＝，求GD的长．
【分析】（1）证明△ADE≌△CBE，根据全等三角形的性质得到AD＝BC，根据平行四边形的判定定理证明；
（2）证明△CEB∽△BEF，根据相似三角形的性质求出EF，求出AF，根据圆心角、弧、弦之间的关系得到DG＝AF．
【解答】（1）证明：∵BC∥AD，
∴∠ADE＝∠CBE，
在△ADE和△CBE中，
，
∴△ADE≌△CBE，
∴AD＝BC，又BC∥AD，
∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）解：由圆周角定理得，∠BFE＝∠ADB，
∴∠BFE＝∠CBE，又∠CEB＝∠BEF，
∴△CEB∽△BEF，
∴＝，即＝，
解得，EF＝4.5，
∴AF＝AE+EF＝5.5，
∵＝，
∴+＝+，即＝，
∴DG＝AF＝5.5．
25．（14分）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD为平行四边形，点A在y轴上
且在B的下方，B（0，3），且点C，点D在第一象限．
（1）若点A（0，1），点D（2，2），求点C的坐标；
（2）若点C在直线y＝0.5x+3上，
①若CD＝BC，点D在抛物线y＝x2﹣x+3上，求点C的坐标；
②若CD＝BC，抛物线y＝x2﹣ax+4﹣a经过点D、E，与y轴交于点F，若点E在直线BD上，求S△DEF﹣S▱ABCD的最大值．
【分析】（1）由点A、B的坐标知，AB＝3﹣1＝2＝CD，即可求解；
（2）①作BH⊥CD于H，则D（m，m2﹣m+3），则CB＝CD＝﹣m2+3m，BH＝m，CH＝m，m≠0，则1+（）2＝（﹣m+3）2，即可求解；
②利用CD＝CB，求出m＝1或m＝1﹣a，再分m＝1、m＝1﹣a两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）由点A、B的坐标知，AB＝3﹣1＝2＝CD，
故点D（2，4）；
（2）如图，设C（m，m+3），则D（m，m2﹣m+3），
①作BH⊥CD于H，则D（m，m2﹣m+3），
则CB＝CD＝﹣m2+3m，BH＝m，CH＝m，m≠0，
∴1+（）2＝（﹣m+3）2，m＝3±，
故C（3+，）或（3﹣，）；
②∵y＝x+3，BH＝m，
∴BC＝m．CD＝CB＝m，
又CD∥y轴，
∴D（m，m2﹣am+4﹣a），
由点B、D的坐标得，直线DB解析式：y＝x+3，
解方程：x+3＝x2﹣ax+4﹣a，
整理得：mx2﹣（m2+1﹣a）x+m（1﹣a）＝0，即[mx﹣（1﹣a）]（x﹣m）＝0，
解得：x＝m或x＝，x E＝，
而CD＝m+3﹣（m2﹣am+4﹣a）＝﹣m2+（a+）m﹣1+a，且CD＝CB，
∴m＝﹣m2+（a+）m﹣1+a，
整理得：m2+（2﹣a）m+1﹣a＝0，[m﹣（1﹣a）]（m﹣1）＝0，
解得：m＝1或m＝1﹣a．
（I）当m＝1时，C（1，），D（1，），F（0，4﹣a），x E＝1﹣a，
则S△DEF＝BF•（x D﹣x E）＝（a﹣1）[1﹣（1﹣a）]＝（a2﹣a），
而S▱ABCD＝BH•CD＝1×＝，
故S△DEF﹣S▱ABCD＝（a2﹣a）﹣＝（a﹣）2﹣，
∵＞0，故S△DEF﹣S▱ABCD没有最大值；
（II）当m＝1﹣a时，C（1﹣a，），D（1﹣a，2a+1），
则F（0，4﹣a），x E＝1，
而S△DEF＝BF•（x D﹣x E）＝（a﹣1）[（1﹣a）﹣1]＝﹣（a2﹣a），S▱ABCD＝BH•
CD＝（1﹣a）•（1﹣a）＝（1﹣a）2，
∴S△DEF﹣S▱ABCD＝﹣（a2﹣a）﹣（1﹣a）2＝﹣3a2+a﹣＝﹣3（a﹣）2+≤，
∴S△DEF﹣S▱ABCD的最大值为．。