高一数学上学期第二次月考试题(实验班)

修远中学２01７—2018学年度第一学期第二次时期测试
高一数学试题
一、填空题
１、设集合,则
2、函数的定义域为
３。

函数的周期为
4、函数为偶函数,且当时,,则
5、函数,则
6、已知向量,若,则实数=、
7、已知,则
８、已知,则
9、如图已知在中,,,,,,则的值为、
1０、将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数)(x g 的图
象,若)(),(x g x f 的图象都经过点,则 ＝。

11、已知,则
12。

给定两个向量=(1,2),=(x ,1),若与的夹角为锐角,则实数ｘ的取值范围是。

13、已知函数在区间内是减函数,则的取值范围是 、
１４。

已知,若使函数存在整数零点的实数恰有4个,则实数的取值范围是、
二、解答题
１5。

设。

(1)若,试求;
(２)若,求实数的取值范围。

１6。

已知函数、
(I)求的最小正周期和单调递减区间;
(II)求函数在的值域、
17。

已知向量a＝(coｓα,siｎα),b＝(cｏsβ,－siｎβ)、
(1)若α=错误!,β=－错误!,求向量a与ｂ的夹角;
(2)若a·ｂ＝错误!,ｔanα＝错误!,且α,β为锐角,求tanβ的值。

18、如图ABCＤ是一块边长为1００m的正方形地皮,
其中ＡTＰＮ是一半径为9０m的扇形小山,Ｐ是弧T
Ｎ上一点,其余部分都是平地,现一开发商想在平地
上建造一个有边落在BC与CD上的长方形停车场P
ＱＣR,设、
（1）用表示长方形停车场PQCR的面积;
（2）求长方形停车场PQCＲ面积的最大值、
１9、函数、
（1）若函数在区间上有两不等的零点,求实数的取值范围; （2）若函数在区间的最小值为,求实数的值;
（3）若函数在区间上有两不等的零点,求实数的取值范围;
20、关于定义在［0,+∞)上的函数f (x ),若函数y=ｆ (x )－(a ｘ+b )满足:①在区间[0,+∞)上单调递减;②存在常数p ,使其值域为(0,p ],则称函数ｇ (x )=a ｘ＋b 为ｆ (ｘ)的“渐近函数”、
(1)证明:函数ｇ(x )＝x ＋1是函数f (x )=x 2+2x +３x +１
,x ∈［0,＋∞)的渐近函数,并求此时实数p 的值;
(２)若函数f (ｘ)＝错误!,ｘ∈[0,+∞)的渐近函数是ｇ (x )=ax ,求实数a 的值,并说明理由。

ﻬ
参考答案
一、填空题
1。

2、
3、
4。

６、
7、
8。

10。

11。

12、
１3、
14、
二、计算题
15、(1)………………７分
(２)………………14分
１６。

解(Ⅰ)
由此得的最小正周期为。

由得 :
因此函数的递减区间为。

……………………6分
(ＩＩ)由,得,而函数在上单调递增,在上单调递减,因此的值域为, ……………………1４分
１７、 (１) ……………………６分
(2) ……………………1４分
18、 解:(1)如上添加辅助线,设∠PAＢ=θ(０0<θ〈90０
),
则A Ｍ=９0c ｏsθ,PM=90sinθ,
RP=RM －P Ｍ=,
PQ=MB=１0０－90cosθ,
=PQ·PR=(100-9０cosθ)·(1０0－90sinθ)…………………6分
（2）＝1０000－900０(s ｉnθ+ coｓθ)+810０ s ｉnθcｏsθ。

设s ｉnθ+ ｃosθ=t(１〈t≤),
则sinθcosθ=。

代入化简得=(ｔ－)2+９50。

故当ｔ=时,S ｍax =１４05０－900０(m 2)……………………16分
１9。

(1) ……………………5分
(２) ……………………10分
(3) ……………………16分 ２0、解(1)由题意知,f (x )—x -1＝ｘ2+2x ＋３x ＋１
-ｘ－1=＼f(x ２＋2ｘ＋3－(ｘ+1)2,x ＋１) = 错误!、
易知,函数y =＼f(２,x ＋１)在［0,+∞)上单调递减,且值域为(0,2]。

因此,函数g (x )＝ｘ＋1是函数f (ｘ)=x ２＋２x +3x ＋１
,ｘ∈[０,＋∞)的渐近函数, 此时p ＝２、 ……………………… ６分
(２)①当ａ＞1时,考察函数y =x 2
+1-ax ,
令y=0,得x2＋1=ａx,两边平方得x２＋１＝ａ2x２,因此x2＝
1
a2-1
,
因为x≥0,因此x=
1
a2-1
,即x＝
1
ａ2—1
时,函数ｙ＝ｘ2+1－ax的值为0。

因此,函数y＝x2＋1-aｘ的值域不是(0,p］、
因此g(x)＝aｘ不是函数f (x)=＼r(x2+１)的渐近函数、…………………８分②当a＝1时,考察函数y=x2+1－ｘ,
由于错误!—ｘ＝错误!,下面考察t=错误!＋ｘ。

任取x1,x2∈[0,+∞),且x1＜x2,
则t1－ｔ2=错误!＋ｘ1—错误!—x2
=错误!-错误!＋x1－x２=错误!＋x1—x2
=(x1－ｘ2)(错误!＋１)<０,
因此函数t=x2＋1＋x在［0,+∞)上单调递增,
又当x无限增大时,t的值也无限增大,因此t的取值范围是［1,+∞)、
因为函数ｙ＝1
ｔ
在(0,+∞)单调递减,
从而函数y=x2+1—x在［0,+∞)单调递减,且值域为(0,1］、
因此g(x)=ｘ是f (x)＝＼r(ｘ2+1)的渐近函数、………………… 1１分
③当0＜a＜1时,
方法(一)y＝＼ｒ(ｘ２+1)—aｘ＝(错误!－ｘ)+(1—a)x
因为ｘ2+１—x∈(0,１］,因此y＞(1—a)x、
假设y=ax是f(x)＝x2＋1的渐近函数,
则y=＼ｒ(x２+1)-ａｘ的值域为(0,p],故ｙ的最大值为p、
设(1－ａ)x=p,则x＝＼f(p,１—a),当x＞＼f(p,１－a)时,必有y〉p,矛盾、
因此,此时ｇ(x)＝ax不是函数f (x)的渐近函数、……………………… 13分
方法(二)记F(ｘ)=＼ｒ(x２＋１)—ａx,则Ｆ(0)＝1,
由x２+1－ax＝1,即错误!=ax＋1,解得x＝错误!＞0,即F(0)＝F(错误!),
因此函数y=＼ｒ(x2+１)-ax在［０,+∞)上不单调,
因此g(ｘ)=ａx不是函数f (x)的渐近函数、………………………1３分
④若ａ≤０,则函数ｙ＝＼r(x2+1)-aｘ在[0,＋∞)上单调递增,不合题意、
综上可知,当且仅当ａ＝1时,g(x)＝x是函数f(x)=x2＋1的渐近函数、
(6)。