高中数学不等式小结与复习(有答案)(2)

不等式小结与复习(2)
一、解答题。

1. 若不等式(1−a )x 2−4x +6>0的解集是{x|−3<x <1}．
(1)解不等式2x 2+(2−a )x −a >0；
(2)b 为何值时，ax 2+bx +3≥0的解集为R ．
2. 若a <1，解关于x 的不等式ax x−2>1．
3. 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物、6个单位蛋白质和6个单位的维生素 C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物、6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C ．另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C ．如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？
4. 某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表
为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入减去总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为多少亩？
5. 对任意a ∈[−1,1]，函数f (x )=x 2+(a −4)x +4−2a 的值恒大于零，求实数x 的取值范围．
6. 不等式|x +3|−|x −1|≤a 2−3a 对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．
7. 已知M 是△ABC 内的一点，且AB →⋅AC →
=2√3，∠BAC =30∘，若△MBC ，△MCA 和△MAB 的面积分别为12，x ，y ，求1x +4y 的最小值．
8. 当实数x ，y 满足{x +2y −4≤0，
x −y −1≤0，x ≥1
时，1≤ax +y ≤4恒成立，求实数a 的取值范围．
9. 小结与反思
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参考答案与试题解析
不等式小结与复习(2)
一、解答题。

1.
【答案】
解：(1)由题意，知
1−a <0且−3和1是方程(1−a)x 2−4x +6=0的两根，
∴ { 1−a <0，41−a =−2，61−a
=−3，解得a =3． ∴ 不等式2x 2+(2−a )x −a >0即为2x 2−x −3>0，
解得x <−1或x >32． ∴ 所求不等式的解集为{x|x <−1或x >32}． (2)ax 2+bx +3≥0，即为3x 2+bx +3≥0，
若此不等式解集为R ，
则Δ=b 2−4×3×3≤0，
∴ −6≤b ≤6．
【考点】
根与系数的关系
一元二次不等式的解法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题意，知
1−a <0且−3和1是方程(1−a)⋅x 2−4x +6=0的两根，
∴ { 1−a <0，41−a =−2，61−a
=−3，解得a =3． ∴ 不等式2x 2+(2−a )x −a >0即为2x 2−x −3>0，
解得x <−1或x >32．
∴ 所求不等式的解集为{x|x <−1或x >32}．
(2)ax 2+bx +3≥0，即为3x 2+bx +3≥0，
若此不等式解集为R ，
则Δ=b 2−4×3×3≤0，
∴ −6≤b ≤6．
2.
【答案】
不等式ax x−2>1可化为(a−1)x+2x−2>0．
∵ a <1，∴ a −1<0，
故原不等式可化为x−21−a x−2<0．
当0<a <1时，原不等式的解集为{x|2<x <
21−a }，当a <0时，原不等式的解集为{x|21−a <x <2}．当a =0时，原不等式的解集为⌀．
【考点】
不等式
其他不等式的解法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
略
3.
【答案】
设该儿童分别预订x ，y 个单位的午餐和晚餐，共花费z 元，则z =2.5x +4y.
可行域为{ 12x +8y ≥64,6x +6y ≥42,6x +10y ≥54,x ≥0,x ∈N,y ≥0,y ∈N ．
，即{ 3x +2y ≥16,x +y ≥7,3x +5y ≥27,x ≥0,y ≥0． 作出可行域如图所示．
当目标函数过直线6x +6y =42与直线6x +10y =54的交点(4,3)时，取得最小值，为
2.5×4+4×3=22元．
【考点】
线性规划的实际应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
略
4.
【答案】
解：设黄瓜的种植面积为x 亩，韭菜的种植面积为y 亩，则由题意知
{x +y ≤50，
1.2x +0.9y ≤54，x,y ≥0,
即{x +y ≤50,4x +3y ≤180,x,y ≥0．
目标函数z =0.55×4x +0.3×6y −1.2x −0.9y =x +910y ，作出可行域如图，由图象可知当直线经过点E 时，直线y =−
109x +109z 的截距最大，此时z 取得最大值，由
{x +y =50,4x +3y =180，解得{x =30,y =20.
所以，当黄瓜、韭菜的种植面积分别为30亩、20亩时，能使一年的种植总利润最大．
【考点】
函数模型的选择与应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
略
5.
【答案】
设g (a )=(x −2)a +(x 2−4x +4)，g (a )>0对任意a ∈[−1,1]恒成立⇔
{g (1)=x 2−3x +2>0g (−1)=x 2−5x +6>0⇔{x <1或x >2x <2或x >3
⇔x <1或x >3． 【考点】
函数恒成立问题
二次函数的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
略
6.
【答案】
设f (x )=|x +3|−|x −1|．因为|x +3|−|x −1|≤a 2−3a 对任意x 恒成立，即a 2−3a ≥(f(x))max ．由|x +3|−|x −1|≤|x +3−(x −1)|=4（或绝对值的几何意义）可知(f (x ))max =4，所以a 2−3a ≥4，解得a ≥4或a ≤−1．
∴ a ∈(−∞,−1]∪[4,+∞)．
绝对值不等式的解法与证明
【解析】
此题暂无解析
【解答】
略
7.
【答案】
由AB →⋅AC →=|AB →|⋅|AC →
|cos 30∘=2√3
得|AB →|⋅|AC →|=4，
S △ABC =12|AB →|⋅|AC →|sin 30∘=1， 由12+x +y =1得x +y =12． 所以1x +4y =2(1x +4y )⋅ (x +y )=2(5+y x
+4x y )≥2×(5+2×2)=18．
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
基本不等式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
略
8.
【答案】
设z =ax +y ，即y =−ax +z ．
要使1≤z ≤4恒成立．则a >0
由图知{a ≥1，2a +1≤4， ∴ a ∈[1,32]．
【考点】
简单线性规划
【解析】
此题暂无解析
略
9.
【答案】
小结与反思
含有参数的一元二次不等式一般需要分类讨论．在能够直接求出不等式对应方程根的情况下，根的大小是分类的
标准；在需要使用求根公式才能确定不等式对应方程根的情况下，方程的判别式是分类的标准．但不论是哪种情况都要首先考虑二次项的系数是否为0.
含有实际背景的线性规划问题其关键是找到制约求解目标的两个变量，列出全面的制约条件和正确的目标函数；
注意基本不等式与函数、解析几何、向量等知识的联系．
【考点】
进位制
【解析】
此题暂无解析
【解答】
略。