【2020精品中考数学提分卷】天津市河北区中考一模试卷-数学+答案

2020年天津市河北区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．
1．（3分）计算5+（﹣2）×3的结果等于（ ）
A ．﹣11
B ．﹣1
C ．1
D ．11
【分析】根据有理数的乘法和加法可以解答本题．
【解答】解：5+（﹣2）×3
=5+（﹣6）
=﹣1，
故选B ．
2．（3分）计算√2•tan 60°的值等于（ ）
A ．√53
B ．√63
C ．√5
D ．√6 【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【解答】解：原式=√2×√3=√6，
故选：D ．
3．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．进行分析即可．
【解答】解：A 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B 、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：B．
4．（3分）将0.0000026用科学记数法表示为（）
A．2.6×106B．0.26×10﹣5C．2.6×10﹣6D．2.6×10﹣7
【分析】根据科学记数法的方法可以表示题目中的数据，从而可以解答本题．【解答】解：0.0000026=2.6×10﹣6，
故选C．
5．（3分）用5个完全相同的小正方体组合成如图所示的立体图形，它的俯视图为（）
A．B．C．D．
【分析】从上面看：共分3列，从左往右分别有2，1，1个小正方形．据此可画出图形．
【解答】解：如图所示的立体图形的俯视图为．
故选：B．
6．（3分）计算2√1
2﹣√18的结果是（）
A．﹣√2B．﹣2√2C．﹣4√2D．﹣8√2
【分析】先化简二次根式，再根据合并同类项的方法即可解答本题．
【解答】解：2√1
2﹣√18
=√2−3√2
=﹣2√2，
故选B ．
7．（3分）化简a 2−b 2ab ﹣ab−b 2
ab−a 等于（ ） A ．b a B ．a b C ．﹣b a D ．﹣a b
【分析】原式第二项约分后两项通分并利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式=a 2−b 2ab +b(a−b)a(a−b)=a 2−b 2ab +b 2ab =a 2ab =a b
， 故选B
8．（3分）设ɑ，β是一元二次方程x 2+2x ﹣3=0的两个根，则ɑβ的值是（ ）
A ．3
B ．﹣3
C ．2
D ．﹣2
【分析】直接利用根与系数的关系求解．
【解答】解：根据题意得αβ=﹣3．
故选B ．
9．（3分）抛物线y=2x 2﹣2√2x +1与坐标轴的交点个数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【分析】对于抛物线解析式，分别令x=0与y=0求出对应y 与x 的值，即可确定出抛物线与坐标轴的交点个数．
【解答】解：抛物线y=2x 2﹣2√2x +1，显然抛物线与y 轴有一个交点，
令y=0，得到2x 2﹣2√2x +1=0，
∵△=8﹣8=0，
∴抛物线与x 轴有一个交点，
则抛物线与坐标轴的交点个数是2，
故选C
10．（3分）如图，以AB 为直径，点O 为圆心的半圆经过点C ，若AC=BC=√2，
则图中阴影部分的面积是（ ）
A ．π4
B ．12+π4
C ．π2
D ．12+π2
【分析】先利用圆周角定理得到∠ACB=90°，则可判断△ACB 为等腰直角三角形，接着判断△AOC 和△BOC 都是等腰直角三角形，于是得到S △AOC =S △BOC ，然后根据扇形的面积公式计算图中阴影部分的面积．
【解答】解：∵AB 为直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC=BC=√2，
∴△ACB 为等腰直角三角形，
∴OC ⊥AB ，
∴△AOC 和△BOC 都是等腰直角三角形，
∴S △AOC =S △BOC ，OA=√22AC=1， ∴S 阴影部分=S 扇形AOC =90⋅π⋅12360=π4
． 故选A ．
11．（3分）下列命题为假命题的是（ ）
A ．有两边及一角对应相等的两个三角形全等
B ．面积之比为1：4的两个相似三角形的周长之比是1：2
C ．方程x 2﹣x ﹣2=0有两个不相等的实数根
D ．顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形
【分析】利用全等三角形的判定、相似三角形的性质、一元二次方程的根的判别式及中点四边形的知识分别判断后即可确定正确的结论．
【解答】解：A 、有两边及夹角对应相等的两个三角形全等，故错误，是假命题；
B 、面积之比为1：4的两个相似三角形的周长之比是1：2，正确，是真命题；
C 、方程x 2﹣x ﹣2=0有两个不相等的实数根，正确，是真命题；
D、顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形，正确，是真命题，故选A．
12．（3分）如图，己知点A是双曲线y=k
x
（k＞0）上的一个动点，连AO并延长
交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第四象限．随着点A的运
动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y=m
x
（m＜0）上运动，则m
与k的关系是（）
A．m=﹣k B．m=﹣√3k C．m=﹣2k D．m=﹣3k
【分析】设点A的坐标为（a，k
a
），连接OC，则OC⊥AB，表示出OC，过点C
作CD⊥x轴于点D，设出点C坐标，在Rt△OCD中，利用勾股定理可得出x2的值，进而得出结论．
【解答】解：设A（a，k
a ），
∵点A与点B关于原点对称，∴OA=OB，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB⊥OC，OC=√3AO，
∵AO=√a2+(k a)2，
∴CO=√3a2+3k 2
a2
，
过点C作CD⊥x轴于点D，
则可得∠AOD=∠OCD（都是∠COD的余角），
设点C的坐标为（x，y），则tan∠AOD=tan∠OCD，即k
a
a
=
x
−y
解得y=﹣a 2x k ．
在Rt △COD 中，CD 2+OD 2=OC 2，即y 2+x 2=3a 2+3k 2a 2，将y=﹣a 2x k 代入得，x 2=3k 2a 2， ∴x=√3k a ，y=﹣a 2x k =﹣a 2k •√3k a
=﹣√3a ， ∴m=xy=√3k a
•（﹣√3a ）=﹣3k ． 故选D ．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
13．（3分）计算（﹣3m 3n ）2的结果等于 9m 6n 2 ．
【分析】根据幂的乘方和积的乘方，即可解答．
【解答】解：（﹣3m 3n ）2=（﹣3）2•（m 3）2•n 2=9m 6n 2．
答案为：9m 6n 2．
14．（3分）分解因式：ax 2﹣ay 2= a （x +y ）（x ﹣y ） ．
【分析】应先提取公因式a ，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：ax 2﹣ay 2，
=a （x 2﹣y 2），
=a （x +y ）（x ﹣y ）．
故答案为：a （x +y ）（x ﹣y ）．
15．（3分）己知一次函数y=kx ﹣5和y=k′x +3，假设k ＞0，k′＜0，则这两个一次函数图象的交点在第 一或四 象限．
【分析】根据一次函数的解析式画出函数图象，根据一次函数图象与系数的关系结合图形即可得出结论．
【解答】解：分别作出一次函数y=kx﹣5和y=k′x+3的图象，如图所示．
∵在一次函数y=kx﹣5中，k＞0，﹣5＜0，
∴该一次函数图象过第一、三、四象限；
∵在一次函数y=k′x+3中，k′＜0，3＞0，
∴该一次函数图象过第一、二、四象限．
∴这两个一次函数图象的交点可能在第一或第四象限．
故答案为：一或四．
16．（3分）荆楚学校为了了解九年级学生“一分钟内跳绳次数”的情况，随机选取了3名女生和2名男生，则从这5名学生中，选取2名同时跳绳，恰好选中一男
一女的概率是3
5
．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与刚好抽到一男一女的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图如下：
由树状图可知共有20种等可能性结果，其中抽到一男一女的情况有12种，
所以抽到一男一女的概率为P（一男一女）=12
20
=
3
5
，
故答案为：35
．
17．（3分）如图，正五边形的边长为2，连对角线AD ，BE ，CE ，线段AD 分别与BE 和CE 相交于点M ，N ，则MN= 3﹣√5 ．
【分析】根据正五边形的性质得到∠ABE=∠AEB=∠EAD=36°，根据三角形的内角和即可得到结论；由于∠AEN=108°﹣36°=72°，∠ANE=36°+36°=72°，得到∠AEN=∠ANE ，根据等腰三角形的判定定理得到AE=AN ，同理DE=DM ，根据相似三角形的性质得到AE AD =AM AE
，等量代换得到AN 2=AM•AD ，列方程得到MN=3﹣√5． 【解答】解：∵∠BAE=∠AED=108°，
∵AB=AE=DE ，
∴∠ABE=∠AEB=∠EAD=36°，
∴∠AME=180°﹣∠EAM ﹣∠AEM=108°，
∵∠AEN=108°﹣36°=72°，∠ANE=36°+36°=72°，
∴∠AEN=∠ANE ，
∴AE=AN ，
同理DE=DM ，
∴AE=DM ，
∵∠EAD=∠AEM=∠ADE=36°，
∴△AEM ∽△ADE ，
∴AE AD =AM AE ， ∴AE 2=AM•AD
∴AN 2=AM•AD ；
∴22=（2﹣MN ）（4﹣MN ），
∴MN=3﹣√5；
故答案为：3﹣√5．
18．（3分）如图．六个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形，AB是其中一个小长方形对角线，请在大长方形中完成下列画图，要求：（1）仅用无刻度直尺；（2）保留必要的画图痕迹．
（1）在图（1）中画一个45°角，使点A或点B是这个角的顶点，且AB为这个角的一边；
（2）在图（2）中画出线段AB的垂直平分线，并简要说明画图的方法（不要求证明）点M是长方形AFBE是对角线交点，点N是正方形ABCD的对角线的交点，直线MN就是所求的线段AB的垂直平分线．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质即可解决问题．
（2）根据正方形、长方形的性质对角线相等且互相平分，即可解决问题．
【解答】解：（1）如图所示，∠ABC=45°．（AB、AC是小长方形的对角线）．
（2）线段AB的垂直平分线如图所示，
故答案为：点M是长方形AFBE是对角线交点，点N是正方形ABCD的对角线的交点，直线MN就是所求的线段AB的垂直平分线．
三、解答题：本大题共7小题，共66分．
19．（8分）解不等式组{1−2(x−1)≤5 3x−2
2＜x+
1
2
．
【分析】解先求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．
【解答】解：由①得：1﹣2x+2≤5
∴2x≥﹣2
即x≥﹣1
由②得：3x﹣2＜2x+1
∴x＜3．
∴原不等式组的解集为：﹣1≤x＜3．
20．（8分）某校开展体育活动中，根据学校的实际情况，决定主要开设A：乒乓球；B：篮球；C：跑步；D：跳绳．这四种运动项目．为了解学生喜欢哪一种项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图甲、乙所示的条形统计图和扇形统计图．请你结合图中的信息解答下列问题：
（1）样本中喜欢B项目的人数百分比是20%，其所在扇形统计图中的圆心角的度数是72°；
（2）把条形统计图补充完整；
（3）已知该校有1000人，根据样本估计全校喜欢乒乓球的人数是多少？
【分析】（1）利用1减去A、C、D所占百分比即可得到喜欢B项目的人数百分比；利用百分比乘以360°可得圆心角的度数；
（2）首先计算出抽取的学生总数，再计算出喜欢B项目的人数，然后再补图即
可；
（3）利用1000乘以样本中喜欢乒乓球的人数所占百分比即可．
【解答】解：（1）样本中喜欢B项目的人数百分比=1﹣44%﹣8%﹣28%=20%；其所在扇形统计图中的圆心角的度数=360°×20%=72°；
故答案为20%，72°；
（2）所抽取的学生数=88÷44%=200，
所以喜欢B项目的人数=200×20%=40；
（3）1000×44%=440，所以估计全校喜欢乒乓球的人数为440人．
21．（10分）如图，等腰三角形ABC中，AC=BC=10，AB=12，以BC为直径作⊙O 交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E．（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）求cos∠E的值．
【分析】（1）求证直线EF是⊙O的切线，只要连接OD证明OD⊥EF即可；（2）根据∠E=∠CBG，可以把求cos∠E的值得问题转化为求cos∠CBG，进而转化为求Rt△BCG中，两边的比的问题．
【解答】（1）证明：如图，
方法1：连接OD、CD．
∵BC是直径，
∴CD⊥AB．
∵AC=BC．
∴D是AB的中点．
∵O为CB的中点，
∴OD∥AC．
∵DF⊥AC，
∴OD⊥EF．
∴EF是圆O的切线．
方法2：∵AC=BC，
∴∠A=∠ABC，
∵OB=OD，
∴∠DBO=∠BDO，
∵∠A+∠ADF=90°
∴∠EDB+∠BDO=∠A+∠ADF=90°．即∠EDO=90°，
∴OD⊥ED
∴EF是圆O的切线．
（2）解：连BG．
∵BC是直径，
∴∠BDC=90°．
∴CD=√AC2−AD2=8．
∵AB•CD=2S
△ABC
=AC•BG，
∴BG=AB⋅CD
AC
=
96
10
=
48
5
．
∴CG=√BC2−BG2=14 5
．
∵BG⊥AC，DF⊥AC，∴BG∥EF．
∴∠E=∠CBG，
∴cos∠E=cos∠CBG=BG
BC
=
24
25
．
22．（10分）如图，某渔船航行至B处时，侧得一海岛位于B处的正北方向20（1+√3）海里的C处，为了防止意外，渔船请求A处的渔监船前往C处护航，已知C位于A处的北偏东45°方向上，A位子B的北偏西300的方向上，求A，C 之间的距离．
【分析】作AD⊥BC，设CD=x，根据正切的概念用x表示出AD、BD，根据题意列出方程，解方程即可．
【解答】解：作AD⊥BC，垂足为D，
由题意得，∠ACD=45°，∠ABD=30°，
设CD=x，
在Rt△ACD中，AD=CD=x，
在Rt△ABD中，可得BD=AD
tan∠B
=√3x，∵BC=20，
∴x+√3x=20（1+√3），
解得：x=20，
答：A 、C 之间的距离为20√2海里．
23．（10分）在南宁市地铁1号线某段工程建设中，甲队单独完成这项工程需要150天，甲队单独施工30天后增加乙队，两队又共同工作了15天，共完成总工
程的13
． （1）求乙队单独完成这项工程需要多少天？
（2）为了加快工程进度，甲、乙两队各自提高工作效率，提高后乙队的工作效
率是1a
，甲队的工作效率是乙队的m 倍（1≤m ≤2），若两队合作40天完成剩余的工程，请写出a 关于m 的函数关系式，并求出乙队的最大工作效率是原来的几倍？
【分析】（1）设乙队单独完成这项工程需要x 天，根据题意得方程即可得到结论；
（2）根据题意得（1a +m a ）×40=23
，即可得到a=60m +60，根据一次函数的性质得到1a =160
，即可得到结论． 【解答】解：（1）设乙队单独完成这项工程需要x 天，
根据题意得1150×（30+15）+1x ×15=13
， 解得：x=450，
经检验x=450是方程的根，
答：乙队单独完成这项工程需要450天；
（2）根据题意得（1a +m a ）×40=23
，
∵60＞0，
∴a 随m 的增大而增大，
∴当m=1时，1a
最大， ∴1a =1120
， ∴1120÷1450=154
倍， 答：乙队的最大工作效率是原来的154倍
24．（10分）如图①，在平面直角坐标系中，点A （0，3），点B （﹣3，0），点C （1，0），点D （0，1），连AB ，AC ，BD ．
（Ⅰ）求证：BD ⊥AC ；
（Ⅱ）如图②，将△BOD 绕着点O 旋转，得到△B′OD′，当点D′落在AC 上时，求AB′的长；
（Ⅲ）试直接写出（Ⅱ）中点B′的坐标．
【分析】（Ⅰ）延长BD 交AC 于M ，由SAS 证明△AOC ≌△BOD ，得出对应角相等，即可得出结论；
（Ⅱ）作OF ⊥AC 于F ，OE ⊥AB′于E ，由旋转的性质得出∠BOD=∠B′OD′=90°，OB=OB′，由矩形的性质得出OF=AE ，求出点B （﹣3，0），得出OB=OA=OB′，证出AE=EB′，由勾股定理得出AC=√32+12=√10，由三角形的面积求出OF=3√1010
，得出AB'=2AE=2OF=3√105
即可； （Ⅲ）由待定系数法求出直线AC 的解析式为y=﹣3x +3，得出直线OE 的解析式
为y=﹣3x ，直线AB'的解析式为y=13x +3，解方程组{y =−3x y =13x +3
得出点E 的坐标，设B'（a ，b ），由中点坐标公式即可得出答案．
【解答】（Ⅰ）证明：延长BD 交AC 于M ，如图①所示：
∵点A （0，3），点B （﹣3，0），点C （1，0），点D （0，1），
∴OA=OB=3，OC=OD=1，
在△AOC 和△BOD 中，{OA =OB
∠AOC =∠BOD OC =OD
，
∴△AOC ≌△BOD （SAS ），
∴∠OAC=∠OBD ，
∵∠OAC +∠ACO=90°，
∴∠OBD +∠ACO=90°，
∴∠BMC=90°，
∴BD ⊥AC ；
（Ⅱ）解：作OF ⊥AC 于F ，OE ⊥AB′于E ，如图②所示：
∵将△BOD 绕着点O 旋转，得到△B′OD′，∠BOD=90°，
∴∠B′OD′=90°，OB=OB′，
∴四边形OFAE 是矩形，
∴OF=AE ，
∵点A （0，3），点B （﹣3，0），
∴OB=OA=OB′，
∵OE ⊥AB′，
∴AE=EB′，
由勾股定理得：AC=√32+12=√10，
由三角形的面积得：AC•OF=OA•OC ，
∴OF=OA⋅OC AC =√10=3√1010
， ∴AB'=2AE=2OF=3√105
；
（Ⅲ）解：设直线AC 的解析式为y=kx +b ，
根据题意得：{k +b =0b =3
， 解得：{k =−3b =3
， ∴直线AC 的解析式为y=﹣3x +3，
∵OE ∥AC ，AB'⊥AC ，
∴直线OE 的解析式为y=﹣3x ，直线AB'的解析式为y=13x +3， 解方程组{y =−3x y =13x +3得：{x =−910y =2710， 即E （﹣910，2710
）， 设B'（a ，b ），由中点坐标公式得：a+02=﹣910，b+32=2710， 解得：a=﹣95，b=125
， ∴B'（﹣95，125
）．
25．（10分）如图，己知抛物线y=x 2+bx +c 图象经过点以（﹣1，0），B （0，﹣3），抛物线与x 轴的另一个交点为C ．
（1）求这个抛物线的解析式：
（2）若抛物线的对称轴上有一动点D ，且△BCD 为等腰三角形（CB ≠CD ），试求
点D 的坐标；
（3）若点P 是直线BC 上的一个动点（点P 不与点B 和点C 重合），过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点M ，点Q 也在直线BC 上，且PQ=√2，设点P 的横坐标为t ，△PMQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式．
【分析】（1）将（﹣1，0），B （0，﹣3）代入抛物线的解析式可求得b 、c 的值；
（2）抛物线的对称轴为x=1，然后再求得点C 的坐标，设点D 的坐标为（1，a ），依据两点间的距离公式分别求得BD 、BC 、CD 的长，然后分为BD=BC 和DC=DB 两种情况列方程求解即可；
（3）先求得∠MPN=45°，设直线BC 的解析式为y=kx +b ，将点B 和点C 的坐标代入可求得BC 的解析式，当t ＜0时点P 在线段CB 的延长线上，过点M 作MN ⊥BC ，垂足为N ．设点P 的坐标为（t ，t ﹣3），则M 的坐标为（t ，t 2﹣2t ﹣3），则MP=t 2﹣3t ，然后依据MN=sin45°•MP 可表示出MN 的长，最后依据三角形的面积公式可求得S 与t 的关系式，同理可求得点P 在线段BC 上和点P 在线段BC 的延长线上时，S 与t 的函数关系式．
【解答】解：（1）将（﹣1，0），B （0，﹣3），代入抛物线的解析式得：{1−b +c =0c =−3
， 解得：b=﹣2，c=﹣3．
∴抛物线的解析式为y=x 2﹣2x ﹣3．
（2）抛物线的对称性为x=﹣b 2a =1，
令y=0得：x 2﹣2x ﹣3=0，解得x=﹣1或x=3，
∴C （3，0）．
设点D 的坐标为（1，a ）．
当BD=BC 时，依据两点间的距离公式可知：12+（a +3）2=32+32，解得：x=﹣3+√17或x=﹣3﹣√17．
∴点D 的坐标为（1，﹣3+√17），（1，﹣3﹣√17）．
当DC=DB 时，依据两点间的距离公式可知：22+a 2=12+（a +3）2，解得：a=﹣1， ∴点D 的坐标为（1，﹣1）．
（3）∵OC=OB ，∠COB=90°，
∴∠MPN=45°．
设直线BC 的解析式为y=kx +b ，将点B 和点C 的坐标代入直线BC 的解析式得：{b =−33k +b =0，解得：k=1，b=﹣3．
∴直线BC 的解析式为y=x ﹣3．
如图1所示：当t ＜0时点P 在线段CB 的延长线上，过点M 作MN ⊥BC ，垂足为N ．
设点P 的坐标为（t ，t ﹣3），则M 的坐标为（t ，t 2﹣2t ﹣3），则MP=t 2﹣2t ﹣3﹣（t ﹣3）=t 2﹣3t ．
∴MN=sin45°•MP=√22t 2﹣3√22
t ． ∴△PQM 的面积=12PQ•MN=12×√2×（√22t 2﹣3√22t ）=12t 2﹣32t ． ∴当t ＜0时，S=12t 2﹣32
t ． 如图所示：当0＜t ＜3时，点P 在线段BC 上，过点P 作PN ⊥BC ，垂足为N ．
设点P 的坐标为（t ，t ﹣3），则M 的坐标为（t ，t 2﹣2t ﹣3），则MP=t ﹣3﹣（t 2﹣2t ﹣3）=﹣t 2+3t ．
∴MN=sin45°•MP=﹣√22t 2+3√22
t ． ∴△PQM 的面积=12PQ•MN=12×√2×（﹣√22t 2+3√22t ）=﹣12t 2+32t ． ∴当0＜t ＜3时，S=﹣12t 2+32
t ． 如图3所示，当t ＞3时，点P 在BC 的延长线上，过点M 作MN ⊥BC ，垂足为C ．
设点P 的坐标为（t ，t ﹣3），则M 的坐标为（t ，t 2﹣2t ﹣3），则MP=t 2﹣2t ﹣3﹣（t ﹣3）=t 2﹣3t ．
∴MN=sin45°•MP=
√22t 2﹣3√22
t ． ∴△PQM 的面积=12PQ•MN=12×√2×（√22t 2﹣3√22t ）=12t 2﹣32t ． ∴当t ＞3时，S=12t 2﹣32t ．
【2020年中考数学——精品提分卷】
第 2 页 / 共 21 页 综上所述，S 与t 的函数关系式为S={12t 2−32t(t ＜0或t ＞3)−12t 2+32t(0＜t ＜3)
．。