高数下期末考试试卷及答案

⋯⋯⋯⋯⋯
2017 学年春季学期
《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷（A）
注意：1、本试卷共 3 页；
2、考试时间110 分钟；
3、姓名、学号必须写在指定地方
7．设级数
a a 0 (n )
为交错级数，，
则（）. n
n
n 1
(A) 该级数收敛(B)该级数发
散
(C)该级数可能收敛也可能发散(D)该级数绝对收敛
8. 下列四个命题中，正确的命题是（）.
（A）若级数 a 发散，则级数
n
2
a 也发
散
n
名姓
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
题
号
一
二
三
四
总
分
得
分
（B）
若级
数
（C）
若级
数
n
n
1
1
2
a
发
散，
则级
数
n
2
a
收
敛，
则级
数
n
n
n
1
1
a
也
发
散
n
a 也收敛
n
n 1 n 1
⋯
⋯
．阅卷人得分一、单项选择题（8 个小题，每小题 2 分，共16 分）将每题的正确答案的
（D）若级数|a n |收敛，则级
数
n 1
n 1
2
a 也收
敛
n
号学⋯
⋯
⋯
代号A B C D、、或填入下表中．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 阅卷人得分
⋯
线答案
二、填空题(7 个小题，每小题 2
分，共14 分) ．
号序封
密
1．已知a与b都是非零向量，且满足a b a b，则必有（）.
(A) a b0(B) a b0(C) a b0 (D) a b0
3x 4y 2z 6
1. 直线
x 3y z a 0
与z 轴相交，则常数 a
为.
号班学教
1
2 2
lim( x
y )sin
x 0
y 0
过
2.极限
( ).
y
2．设( , ) ln( ),
f x y x x
则f
2 2
D : x y 2x ，二重积分(x y)d
= .
(1,0)
______
_____.
y
2 2
x y
超
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)不存在
3．函数 f (x, y) x y 在
(3, 4) 处沿增加最快的方向的
方向导
数为.
要
3．下列函数中，df f 的是( ).
（A）f ( x, y) xy （B）f (x, y) x y c0,c0为实数
不
4．设
纸卷试题
答
2 2 x y
（C）
f (x, y) x y （D）f ( x, y) e
4．函数 f (x, y) xy (3 x y) ，原点(0,0) 是f (x, y) 的( ).
（A）驻点与极值点（B）驻点，非极值点
5．设f x 是连续函数，
D
2 2
{( x, y ,z) | 0 z 9 x
y } ，
2 2
f (x y )dv在柱
面坐标系下
学大峡三⋯
⋯
．
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
（C）极值点，非驻点（D）非驻点，非极值点
5 ．设平面区
域
x y
2 2
D : (x 1) (y1) 2 ，若I1
d ，
4
D
x y
I d ，
2
4
D
x y
I3 d ，则有（）.
3
4
D
（A）I I I （B）I1 I 2 I3 （C）I 2 I1 I3 （D）I 3
I1 I 2
1 2 3
2 y
2
x
2 2
6．设椭圆L ：1的周长为l ，则(3x 4y )ds （）.
4 3
L
(A) l (B) 3l (C) 4l (D) 12l
的三次积分为.
6. 幂级数
n 1
n
( 1)
1
n
x
n!
的收敛域
是.
1 , x
f ( x)
7. 将函数 2
1 x , 0 x
以2 为周期延拓后，其傅里叶级数在点
x 处收敛
于.
2017 年《高等数学Ⅰ（二）》课程期末考试试卷 A 共3 页第1页
⋯
阅卷人
得分
4．设是由曲面z xy, y x, x 1及z 0 所围成的空间闭区域，求
2 3d d d
I xy z x y z .
名姓⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
x
1．设u xf (x, )
y
解：
三、综合解答题一（ 5 个小题，每小题7分，共35分，解答题应写
出文
字
说明、证明过程或演算步
骤
）
，其中 f 有连续的一阶偏导
数，求
u
x
，u
y
．
解：．
⋯
号学⋯
⋯
⋯
线
封
z z xy 在点(2,1,0) 处的切平面方程及法线
方程．
2．求曲面 e 3
解：
号
序密
过5．求幂级数nx n 1 的和函数S(x) ，并求
级数
n 1 n
n 的
和．
n
1 2
解：超号
班
学
要
教不
纸卷试题
答
3. 交换积分次序，并计算二次积分
解：
sin y
dx
dy
x
y
．
学大峡三⋯
⋯
．
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
2017 年《高等数学Ⅰ（二）》课程期末考试试卷 A 共3 页第2页
阅卷人
得分
四、综合解答题二（ 5 个小题，每小题7分，共35分，解答题应写出文
字⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
说明、证明过程或演算步
骤
）
1. 从斜边长为 1 的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形．
解4．计算xdS，为平面x y z 1在第一卦限部分.
解：
名姓⋯⋯⋯
⋯⋯⋯．⋯
号学⋯
⋯
⋯
线
2．计算积分
L
2 2
( )d
x y s，其中L 为圆周
2 2
x y ax ( a
0)．
号序封
密
解：蝌
，
5．利用高斯公式计算对坐标的曲面积分
dxdy + dydz + dzdx
S
2 2 2
其中为圆
锥
面
z x y z 0 z 1
介于平面及之间的部分的下
侧.
解：
过
超
号
班
学
要教不
纸卷试题
答
3．利用格林公式，计算曲线积分
I (x y )dx (x 2xy)dy ，其中L 是由抛物线y x2 和
2 2
L
x y2 所围成的区域D的正向边界曲线．
学大峡三⋯
⋯
．
⋯
y
2
y x
2 x y
⋯
D
⋯
⋯
O x
⋯⋯
⋯⋯
2017 年《高等数学Ⅰ（二）》课程期末考试试卷 A 共3 页第 3 页
2017 学年春季学期
（B ）若级数
2
a 发散，则级数
n
a 也发
散；
n
《高等数学Ⅰ（二） 》期末考试试卷(A)
答案及评分标准
（C ）若级数
n n 1 1
2 a 收敛，则级数 n
n n 1
1
a 也收敛；
n
（D ）若级数
|a n |收敛，则级数
2
a 也收
敛．
n
n 1
n 1
一、单项选择题（ 8 个小题，每小题 2 分，共 16 分）
题号1 2 3 4 5 6 7 8
答案
D A B B A D C D
二、填空题 (7 个小题，每小题 2 分，共 14 分) ．
3x 4y 2z 6 0 x 3y z a 0
1. 直线
与 z 轴相交，则常数 a 为 3 。

1．已知 a 与 b 都是非零向量，且满足a b
a b ，则必有（ D ）
(A) a b 0； (B)
a b 0 ； (C) a b 0； (D) a b 0．
2. 极限
2
2
lim( x y )sin
x 0 y 0
1 2
2
x
y
( A )
2．设 f (x, y) ln( x y), 则 f y (1,0) _______1_____ x 3．函数 f (x, y)
x y 在 (3, 4) 处沿增加最快的方向的方向导数为 2
4．设
2
2
D : x
y
2x ，二重积分
(x y)d
=
．
(A) 0
；
(B) 1
；
(C) 2
；
(D)
不存在 .
5．设
f x 是连续函数，
D
2 2
{( x, y ,z) | 0 z 9 x
y } ，
2
2
f (x
y )dv 在柱面坐标系下
3．下列函数中， df f 的是 ( B )；
（A ） f (x, y) xy ；
（B ） f (x, y) x y c 0 ,c 0为实数 ；
（C ）
2 2
x y
f (x, y)
x y ；
（D ） f ( x, y)
e
.
4．函数 f (x, y) xy (3 x y) ，原点 (0,0) 是 f (x, y) 的( B ). 的三次积分
为
6. 幂级数
n 1
n ( 1)
1
n
x
n!
2
2 3 9
2
d
d
f ( )dz
的收敛域是
(
,
)
.
（ A ）驻点与极值点； （B ）驻点，非极值点；
（ C ）极值点，非驻
点； （D ）非驻
点，非极值点 . 5 ． 设 平 面 区 域 D ：
x y x y 2 2
(x 1) ( y 1) 2 ， 若 I 1 d ， I 2
d ， 4
4
D
D
7. 函数
2
2
f (x) .
1 , x
2
1 x ,
0 x
，以 2 为周期延拓后，其傅里叶级数在点 x 处收敛于
x y
I3 d ，则有（ A ）3
4
D 三、综合解答题一（ 5 个小题，每小题7 分，共35 分.解答题应写出文字说明、证明过程或
演
算步骤）
（A）I1 I 2 I 3 ；（B）I1 I 2 I3 ；（C）I2 I1 I 3 ；（D）I3 I1 I 2 ．
2 y
2
x
2 2
6．设椭圆L ：1的周长为l ，则(3x 4y )ds （D ）
4 3 L
(A) l ；(B) 3l ；(C) 4l ；(D) 12l ．7．设级数a为交错级数，a n 0 (n)，则
（ C ）
n
n 1
(A) 该级数收敛；(B) 该级数发散；
x
1．设u xf (x, )
，其中 f 有连
续的一阶偏导
数，求
y
u x
解： f xf1 f2
x y
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
4
分
2
u x
2
y y
f
2
. ⋯⋯
⋯⋯⋯⋯
7 分
u
x
，u
y
．
(C) 该级数可能收敛也可能发散；(D) 该级数绝对收敛．
8. 下列四个命题中，正确的命题是（ D ）
z
2．求曲面 e z xy 3 在点(2,1,0) 处的切平面方程及法线方程．
（A）若级数 a 发散，则级数
n
n 1
n 1
2
a 也发散；
n
解：令F x, y,z e z z xy 3 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分
z
n (F ,F,F ) ( y, x,e 1)，n (2,1,0) (1,2,2) ，⋯⋯⋯⋯⋯
⋯ 4 分
x y z
所以在点(2,1,0) 处的切平面方程为(x 2) 2( y 1) 2z 0 ，2017 年《高等数学Ⅰ（二）》课程期末考试试卷A共3 页第4页
即 x 2y 2z 4 0 ；⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
6 分
x 2 y 1 z 法线方程为
.
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
7 分
1
2
2
2 x y
时有最大周长 . ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 7 分
2
又最大周长一定存在，故当
2 2 (x
y )ds ，其中 L 为圆周
2 2
x y
ax ( a 0)．
2．计算积分
L
sin y
3. 交换积分次序，并计算二次
积分
sin y
dx
dy
x y
解：
=
dx
dy ；
x
y
y
sin y dy
dx 0
y
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
⋯ 4 分
解： L 的极坐标方程为 a cos ，
2 2
2
2
则
ds
( ) d ad ，⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
4 分
；⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 2 分
=
sin ydy 2
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 7 分
所以
L
3
a
2
2 2 2
2
3 2
(x
y )ds
ad
a cos d
．⋯ ⋯ ⋯ ⋯
⋯ ⋯
7 分
2
2
2
4．设
是由曲面 z
xy, y x, x 1
及 z
0 所围成的空间区域，求
2 3
d d d
I
xy z x y z
a
或解： L 的形心 (x, y) ( ,0) ， L 的周长 a ，
2
解：注意到曲面
z xy 经过x 轴、 y
轴，⋯
⋯
⋯ ⋯
⋯
⋯
2 分
={( x, y, z) : 0 z xy,0
y x,0 x 1} ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 4 分
L
2
2
( x
y )ds =
axds = ax a =
L
3
a
2
故
1
x xy 2 3 2 3 I xy z dxdydz
dx dy xy z dz =
1 364
． ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 7 分 3．利用格林公式，计算曲线积分 I
(x 2 y 2)dx (x 2xy)dy ，其中 L 是
L
由抛物线 y
x 2 和 x y 2 所围成的区域 D 的正向边界曲线．
5．求幂级数 nx 1 的和函数 S( x ) ，并求
级数
n
n 1
n
n 的和． n
1
2
解： I (x 2 y 2)dx (x 2xy)dy
L
dxdy
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
3 分
y
2
y x
2
x y
解： S( x )
nx n 1 ， S(0) 1，
n 1
D
1
x
dx
dy
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
5
分
x
2
D
由已知的马克劳林展式： 1
1 ,| | 1 x n x
x
n 1
，⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 2 分 1
3
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 7 分
O
x
有
1
S( x ) ( x )
( 1)
n
1 x
n 1
1 =
2
(1 x)
， | x | 1，⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 5 分
4． 计算 xdS ， 为平面 x y z 1在第一卦限部分 .
解： 在 xoy 面上的投影区域为
D xy : x y 1(x 0, y 0) ，⋯ ⋯ ⋯ ⋯
⋯ ⋯
2 分
n =
1
n = 1 (1)
S =2
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 7 分
1
2n
2 n 2n
1
2 2
n
1
四、综合解答题二（ 5 个小题，每小题 7 分，共 35 分.解答题应写出文字说明、证明过程或演 z z 又
: 1
, 1, 1,
z
x y
故 dS 3dxdy ，⋯ ⋯ ⋯
⋯ ⋯ ⋯ 4 分
x
y
算步骤）
1. 从斜边长为 1 的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形．
2
2
1
解 设两个直角边的边长分别为
x ， y ，则x
y
，周长 C x y 1，
所以
3 1
1 x
xdS 3 xdxdy
3 dx
xdy . ⋯ ⋯ ⋯
⋯ ⋯ ⋯
7 分
6
D
xy
2 2
1
需求 C x y 1在约束条件x y 下的极值问题．
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 2 分
设拉格朗日函数
2
2
L (x ,y , ) x y 1
(x
y 1)，⋯ ⋯ ⋯ ⋯
⋯ ⋯
4 分
或解：由对称性，
1 1 3 xdS
(x y z)dS
dS
3 3
6
F
1 2 x 0 , x
5．利用高斯公式计算对坐标的曲面积分
dxdy dydz d z dx 蝌
+ + ，其中
为锥
面
2 2
2
z x y
令
F 1 2 y
0,
y 2
2
x y
1,
2
解方程组得
x y
为唯一驻点，
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 6 分
S
介于平面
z 0
及 z
1
之间的部分的下侧。

2
2
解：补曲面 由高斯公式知
D : x
y
1,z 1（取上侧），⋯ ⋯ ⋯ ⋯
⋯ ⋯
2 分
2
2017 年《高等数学Ⅰ（二）》课程期末考试试卷A共3 页第 5 页
蝌＝0，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分dxdy + dydz + dzdx
S + D
故蝌dxdy dydz dzdx
+ +
S
＝- 蝌d d + d d + d d
x y y z z x D
＝dxdy = ⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分
2 2
{ x y 1}
2017 年《高等数学Ⅰ（二）》课程期末考试试卷A共3 页第6页。