湖北省襄阳市枣阳一中高一数学下学期3月月考试卷(含解析)

2015-2016学年湖北省襄阳市枣阳一中高一（下）3月月考数学试卷
一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）
1．△ABC中，AB=，AC=1，∠B=30°，则△ABC的面积等于（）
A．B．C．D．
2．在△ABC中，已知a=2bcosC，那么这个三角形一定是（）
A．等边三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等腰直角三角形
3．已知△ABC中，，，B=60°，那么角A等于（）
A．135°B．90° C．45° D．30°
4．边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（）
A．90° B．120°C．135°D．150°
5．在△ABC中，若∠B=30°，AB=2，AC=2，则△ABC的面积为（）
A．B．2或C．2或D．2
6．在△ABC中，已知sinB=2cosCsinA，则△ABC的形状是（）
A．等边三角形B．等腰直角三角形
C．等腰三角形D．直角三角形
7．在△ABC中，若a=3，cosA=，则△ABC的外接圆半径为（）
A．2 B．4 C．D．
8．在△ABC中，a2+b2﹣c2=ab，则cosC=（）
A．B．C．D．
9．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α、β的关系为（）A．α＞βB．α=βC．α+β=90°D．α+β=180°
10．在△ABC中，A=30°，B=60°，C=90°，那么三边之比a：b：c等于（）
A．1：2：3 B．3：2：1 C．1：：2 D．2：：1
11．在数列{x n}中，x1=8，x4=2，且满足x n+2+x n=2x n+1，n∈N+．则x10=（）
A．﹣10 B．10 C．﹣20 D．20
12．已知数列{a n}的通项公式为a n=，记数列{a n}的前n项和为S n，则使S n≤0成立的
n的最大值为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分）
13．在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，则△ABC的面积等于．
14．已知数列{a n}的前n项和，则数列{a n}的通项公式为．15．在△ABC中，，C=150°，BC=1，则AB= ．
16．已知S n是数列{a n}的前n项和，若a n=sin n，则S2014的值为．
三、解答题（本大题共6个小题，满分70分
17．已知数列{a n}的前n项和为S n=n2+n．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）若，求{b n}的前n项和T n．
18．已知有穷数列：的各项均为正数，且满足条件：
①a1=a k；②．
（Ⅰ）若k=3，a1=2，求出这个数列；
（Ⅱ）若k=4，求a1的所有取值的集合；
（Ⅲ）若k是偶数，求a1的最大值（用k表示）．
19．设数列{a n}的各项均为正数，它的前n项的和为S n，点（a n，S n）在函数y=x2+x+
的图象上；数列{b n}满足b1=a1，b n+1（a n+1﹣a n）=b n．其中n∈N*．
（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；
（Ⅱ）设c n=，求证：数列{c n}的前n项的和T n＞（n∈N*）．
20．如图所示，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处，此时两船相距10海里．问：乙船每小时航行多少海里？
21．已知A、B、C为三角形ABC的三内角，其对应边分别为a，b，c，若有2acosC=2b+c成立．
（1）求A的大小；
（2）若，b+c=4，求三角形ABC的面积．
22．已知函数，其中，，在△ABC中，a，b，
c分别是角A，B，C的对边，且f（A）=1
（1）求角A；
（2）若，b+c=3，求△ABC的面积．
2015-2016学年湖北省襄阳市枣阳一中高一（下）3月月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）
1．△ABC中，AB=，AC=1，∠B=30°，则△ABC的面积等于（）
A．B．C．D．
【考点】解三角形．
【分析】由AB，AC及cosB的值，利用余弦定理即可列出关于BC的方程，求出方程的解即可得到BC的长，然后利用三角形的面积公式，由AB，BC以及sinB的值即可求出△ABC的面积．
【解答】解：由AB=，AC=1，cosB=cos30°=，
根据余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosB，即1=3+BC2﹣3BC，
即（BC﹣1）（BC﹣2）=0，解得：BC=1或BC=2，
当BC=1时，△ABC的面积S=AB•BCsinB=××1×=；
当BC=2时，△ABC的面积S=AB•BCsinB=××2×=，
所以△ABC的面积等于或．
故选D
2．在△ABC中，已知a=2bcosC，那么这个三角形一定是（）
A．等边三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等腰直角三角形
【考点】余弦定理的应用．
【分析】先根据余弦定理表示出cosC，代入整理即可得到b=c从而知是等腰三角形．
【解答】解：∵a=2bcosC=2b×=
∴a2=a2+b2﹣c2∴b2=c2
因为b，c为三角形的边长∴b=c
∴△ABC是等腰三角形．
故选C．
3．已知△ABC中，，，B=60°，那么角A等于（）
A．135°B．90° C．45° D．30°
【考点】正弦定理的应用．
【分析】先根据正弦定理将题中所给数值代入求出sinA的值，进而求出A，
再由a＜b确定A、B的关系，进而可得答案．
【解答】解析：由正弦定理得：，
∴A=45°或135°
∵a＜b
∴A＜B
∴A=45°
故选C
4．边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（）
A．90° B．120°C．135°D．150°
【考点】余弦定理．
【分析】设长为7的边所对的角为θ，根据余弦定理可得cosθ的值，进而可得θ的大小，则由三角形内角和定理可得最大角与最小角的和是180°﹣θ，即可得答案．
【解答】解：根据三角形角边关系可得，最大角与最小角所对的边的长分别为8与5，
设长为7的边所对的角为θ，则最大角与最小角的和是180°﹣θ，
有余弦定理可得，cosθ==，
易得θ=60°，
则最大角与最小角的和是180°﹣θ=120°，
故选B．
5．在△ABC中，若∠B=30°，AB=2，AC=2，则△ABC的面积为（）
A．B．2或C．2或D．2
【考点】三角形的面积公式．
【分析】利用正弦定理，求出C，从而可求A，利用△ABC的面积•AB•AC•sinA，即可得出
结论
【解答】解：∵△ABC中，B=30°，AB=2，AC=2，
∴=，
∴sinC=，
∴C=60°或120°，
∴A=90°或30°，
∴△ABC的面积为•AB•AC•sinA=2或．
故选：C．
6．在△ABC中，已知sinB=2cosCsinA，则△ABC的形状是（）
A．等边三角形B．等腰直角三角形
C．等腰三角形D．直角三角形
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】利用sinB=sin（A+C）=sinAcosC+sinCcosA=2cosCsinA，即可得出结论．
【解答】解：∵A+B+C=180°，
∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+sinCcosA=2cosCsinA，
∴sinCcosA﹣sinAcosC=0，即sin（C﹣A）=0，
∴A=C 即为等腰三角形．
故选：C．
7．在△ABC中，若a=3，cosA=，则△ABC的外接圆半径为（）
A．2 B．4 C．D．
【考点】正弦定理的应用．
【分析】利用正弦定理===2R（R为△ABC的外接圆半径）即可求得答案．【解答】解：∵在△ABC中，若a=3，cosA=，
∴由sin2A+cos2A=1得：
sinA=；
设△ABC的外接圆半径为R，
由正弦定理===2R得：
==2R，
∴R=．
故选D．
8．在△ABC中，a2+b2﹣c2=ab，则cosC=（）
A．B．C．D．
【考点】余弦定理．
【分析】利用已知条件通过余弦定理即可求出cosC．
【解答】解：由a2+b2﹣c2=ab，余弦定理得：cosC===．
故选：A．
9．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α、β的关系为（）A．α＞βB．α=βC．α+β=90°D．α+β=180°
【考点】直线的倾斜角．
【分析】画草图分析可知两点之间的仰角和俯角相等．
【解答】解：从点A看点B的仰角与从点B看点A的俯角互为内错角，大小相等．仰角和俯角都是水平线与视线的夹角，故α=β．
故选：B．
10．在△ABC中，A=30°，B=60°，C=90°，那么三边之比a：b：c等于（）
A．1：2：3 B．3：2：1 C．1：：2 D．2：：1
【考点】正弦定理．
【分析】求出三角的正弦值，利用正弦定理求出三边的比．
【解答】解：∴A=30°，B=60° C=90°，
∴sinA=，sinB=，sinC=1，
由正弦定理得：a：b：c=sinA：sinB：sinC=1：：2．
故选：C．
11．在数列{x n}中，x1=8，x4=2，且满足x n+2+x n=2x n+1，n∈N+．则x10=（）
A．﹣10 B．10 C．﹣20 D．20
【考点】数列递推式．
【分析】由数列递推式可知数列{x n}是等差数列，由已知求得公差，代入等差数列的通项公式得答案．
【解答】解：由足x n+2+x n=2x n+1，n∈N+．
可知数列{x n}是等差数列，又x1=8，x4=2，
则公差d=．
∴x10=x1+9d=8+9×（﹣2）=﹣10．
故选：A．
12．已知数列{a n}的通项公式为a n=，记数列{a n}的前n项和为S n，则使S n≤0成立的
n的最大值为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】数列的求和．
【分析】由数列的通项公式得a1+a4=a2+a3=0，a5=＞0，从而得到S3＜0，S4=0，S5＞0，由此能求出使S n≤0成立的n的最大值．
【解答】解：∵数列{a n}的通项公式为a n=，
∴a1+a4=a2+a3=0，a5=＞0，
∴S3＜0，S4=0，S5＞0，
∴使S n≤0成立的n的最大值为4．
故选：C．
二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分）
13．在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，则△ABC的面积等于2．
【考点】正弦定理．
【分析】利用三角形中的正弦定理求出角B，再利用三角形的面积公式求出△ABC的面积．【解答】解：∵△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，
由正弦定理得：，
∴，
解得sinB=1，
∴B=90°，C=30°，
∴△ABC的面积=．
故答案为：．
14．已知数列{a n}的前n项和，则数列{a n}的通项公式为
．
【考点】数列的概念及简单表示法．
【分析】利用当n=1时，a1=S1；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1即可得出．
【解答】解：当n=1时，a1=S1=1+3+1=5；
当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2+3n+1﹣[（n﹣1）2+3（n﹣1）+1]=2n+2．
∴数列{a n}的通项公式为．
故答案为．
15．在△ABC中，，C=150°，BC=1，则AB= ．
【考点】正弦定理．
【分析】由A为三角形的内角，根据cosA的值求出sinA的值，再由sinC及a的值，利用正弦定理求出c的值，即为AB的值．
【解答】解：∵A为三角形的内角，cosA=，
∴sinA==，
∵sinC=sin150°=，BC=a=1，
∴由正弦定理=得：AB=c===．
故答案为：
16．已知S n是数列{a n}的前n项和，若a n=sin n，则S2014的值为 1 ．
【考点】数列的求和．
【分析】由已知条件推导出n=4k，k∈N*时，a n=sin0=0；n=4k+1，k∈N*时，a n=sin=1；
n=4k+2，k∈N*时，a n=sinπ=0；n=4k+3，k∈N*时，a n=sin=﹣1．由此能求出S2014．
【解答】解：∵a n=sin n，
∴n=4k，k∈N*时，a n=sin0=0；
n=4k+1，k∈N*时，a n=sin=1；
n=4k+2，k∈N*时，a n=sinπ=0；
n=4k+3，k∈N*时，a n=sin=﹣1．
∵2014=503×4+2，
∴S2014=503×0+1+0=1．
故答案为：1．
三、解答题（本大题共6个小题，满分70分
17．已知数列{a n}的前n项和为S n=n2+n．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）若，求{b n}的前n项和T n．
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】（I）当n大于等于2时，利用前n项的和减去前n﹣1项的和得到数列的通项公式，然后把n=1代入验证；
（II）把数列a n的通项公式代入到中化简，然后列举出数列b n的各项，得
到数列b n的前n项和为一个等比数列和一个等差数列的和，分别利用求和公式求出即可．【解答】解：（I）当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2+n﹣（n﹣1）2﹣（n﹣1）=2n，
当n=1时，a1=2也适合上式，
∴a n=2n．
（II）由（I）知，．
∴
=．
18．已知有穷数列：的各项均为正数，且满足
条件：
①a1=a k；②．
（Ⅰ）若k=3，a1=2，求出这个数列；
（Ⅱ）若k=4，求a1的所有取值的集合；
（Ⅲ）若k是偶数，求a1的最大值（用k表示）．
【考点】数列的应用．
【分析】（Ⅰ）∵k=3，a1=2，由①知a3=2；由②知，，整理得，a2．即可得出a3．
（II）若k=4，由①知a4=a1．由于，解得
或．分类讨论即可得出．
（Ⅲ）依题意，设k=2m，m∈N*，m≥2．由（ II）知，或
．假设从a1到a2m恰用了i次递推关系，用了2m﹣1﹣i次递推关系，则有，其中|t|≤2m﹣1﹣i，
t∈Z．对i分类讨论即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）∵k=3，a1=2，由①知a3=2；
由②知，，整理得，．解得，a2=1或．
当a2=1时，不满足，舍去；
∴这个数列为．
（Ⅱ）若k=4，由①知a4=a1．
∵，
∴．
∴或．
如果由a1计算a4没有用到或者恰用了2次，显然不满足条件；
∴由a1计算a4只能恰好1次或者3次用到，共有下面4种情况：
（1）若，，，则，解得；
（2）若，，，则，解得a1=1；
（3）若，，，则，解得a1=2；
（4）若，，，则，解得a1=1；
综上，a1的所有取值的集合为．
（Ⅲ）依题意，设k=2m，m∈N*，m≥2．由（ II）知，或
．
假设从a1到a2m恰用了i次递推关系，用了2m﹣1﹣i次递推关系，则有，其中|t|≤2m﹣1﹣i，t∈Z．
当i是偶数时，t≠0，无正数解，不满足条件；
当i是奇数时，由得
，
∴．
又当i=1时，若，
有，，即．
∴a1的最大值是2m﹣1．即．
19．设数列{a n}的各项均为正数，它的前n项的和为S n，点（a n，S n）在函数y=x2+x+
的图象上；数列{b n}满足b1=a1，b n+1（a n+1﹣a n）=b n．其中n∈N*．
（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；
（Ⅱ）设c n=，求证：数列{c n}的前n项的和T n＞（n∈N*）．
【考点】数列的求和．
【分析】（Ⅰ）根据数列项和前n项和之间的关系即可求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求出c n=是表达式，利用错位相减法求出数列{c n}的前n项的和，即可得到结论．
【解答】解：（1）∵点（a n，S n）在函数y=x2+x+的图象上，
∴，①
当n≥2时，，②
①﹣②得：，
即，
∵数列{a n}的各项均为正数，
∴a n﹣a n﹣1=4（n≥2），
又a1=2，∴a n=4n﹣2；
∵b1=a1，b n+1（a n+1﹣a n）=b n，
∴，∴；
（2）∵，
∴，
4T n=4+3•42+5•43+…+（2n﹣3）•4n﹣1+（2n﹣1）•4n，
两式相减得
，
∴．
20．如图所示，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处，此时两船相距10海里．问：乙船每小时航行多少海里？
【考点】解三角形的实际应用；余弦定理．
【分析】连接A1B2，则∴△A1A2B2是等边三角形，求出A1B2，在△A1B2B1中使用余弦定理求出B1B2的长，除以航行时间得出速度．
【解答】解：如图，连接A1B2，由题意知，
A1B1=20，A2B2=10，A1A2=×30=10（海里）．
又∵∠B2A2A1=180°﹣120°=60°，
∴△A1A2B2是等边三角形，∴A1B2=10，∠B1A1B2=105﹣60°=45°．
在△A1B2B1中，由余弦定理得
B1B22=A1B12+A1B22﹣2A1B1•A1B2cos 45°
=202+（10）2﹣2×20×10×=200，
∴B1B2=10（海里）．
因此乙船的速度大小为×60=30（海里/小时）．
21．已知A、B、C为三角形ABC的三内角，其对应边分别为a，b，c，若有2acosC=2b+c成立．
（1）求A的大小；
（2）若，b+c=4，求三角形ABC的面积．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】（1）利用正弦定理化简已知等式，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式得到关系式，联立后根据sinC不为0求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（2）利用余弦定理列出关系式，将a，b+c及cosA的值代入求出bc的值，由sinA与bc 的值，利用三角形的面积公式求出即可．
【解答】解：（1）∵2acosC=2b+c，由正弦定理可知2sinAcosC=2sinB+sinC，①
三角形中有：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，②
联立①②可化简得：2cosAsinC+sinC=0，
在三角形中sinC≠0，得cosA=﹣，
又0＜A＜π，
∴A=；
（2）由余弦定理a2=b2+c2﹣2bc•cosA，得（2）2=（b+c）2﹣2bc﹣2bccos，即12=16
﹣2bc+bc，
解得：bc=4，
则S△ABC=bcsinA=×4×=．
22．已知函数，其中，，在△ABC中，a，b，
c分别是角A，B，C的对边，且f（A）=1
（1）求角A；
（2）若，b+c=3，求△ABC的面积．
【考点】解三角形；数量积的坐标表达式；三角函数中的恒等变换应用．
【分析】（1）利用向量数量积公式，结合辅助角公式化简函数，利用f（A）=1，结合A的范围，可得结论；
（2）先利用余弦定理，结合条件可求bc的值，从而可求△ABC的面积．
【解答】解：（1）∵，，，
∴f（x）=cos2x+=2sin（2x+）
∵f（A）=1，∴2sin（2A+）=1，
∵＜2A+＜，
∴2A+=，∴A=；
（2）由余弦定理知cosA==
∵，∴b2+c2﹣bc=3
∵b+c=3
∴bc=2
∴=．。