八年级数学上学期期末总复习(二)

初二上学期期末总复习(二)
一、证明(一)。

1、定义：用来说明一个名词或者一个术语的内涵的逻辑方法叫做定义。

2、命题：判断一件事情的句子叫做命题。

命题由条件和结论两部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。

3、证明：推理的过程叫做证明。

4、公理：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理。

5、定理：通过推理得到证实的真命题叫做定理。

6、证明的一般步骤：
(1)根据题意，画出图形；(2)根据题设、结论，结合图形，写出已知，求证；(3)经过分析写出证明过程。

7、平行线的判定方法：
(1)公理：同位角相等，两直线平行；
(2)定理：内错角相等，两直线平行；
(3)定理：同旁内角互补，两直线平行。

8、平行线的性质：
(1)公理：两直线平行，同位角相等；
(2)定理：两直线平行，内错角相等；
(3)定理：两直线平行，同旁内角互补。

9、三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。

10、推论：由一个公理或定理直接推出的真命题，叫做这个公理或定理的推论。

11、三角形内角和定理的推论：
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

二、数据的收集。

1、调查的两种方法(即数据收集的两种常用方法)：
(1)普查：为一特定目的面对所有考查对象所作的全面调查。

(2)抽样调查：为一特定目的而对部分考查对象所作的调查。

2、总体、个体、样本、样本容量：
(1)总体：所要考察对象的全体。

(2)个体：组成总体的每一个考察对象。

(3)样本：从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。

(4)样本容量：样本中的个体数目。

3、抽样调查的特点：
调查X围小，节省人力、物力、财力和时间是它的优点。

缺点是调查的结果不如普查得到的结果准确。

4、抽样调查的注意点：
样本的选择要有广泛性和代表性。

5、如何选择调查方式：
当总体中个体的数目较多时，普查的工作量较大，可选用抽样调查；当考察时受客观条件的限制时；当调查具有破坏性时，不允许普查，应进行抽样调查。

6、如何进行数据的收集：
不同的抽样可能得到不同的结果，首先要确定抽取样本的对象，再确定抽取样本的方法，最
后计算和分析数据。

三、数据的整理。

1、数据的分组处理：
(1)分组：就是将一些数据或一些问题进行划分，得出几个不同的小组。

如：一个班的学生身高，可按10cm一段进行分组。

(2)对数据的分组处理，就是将收集到的所有数据按照一定的标准划分为若干组，通过将杂乱无章的数据进行分组整理，可以比较清晰地掌握数据的整体分布情况。

2、频数与频率：
(1)频数：在数据收集中，由于各个对象出现的频繁程度不同，称每个对象出现的次数为频数。

(2)频率：每个对象出现的次数与总次数的比值称为频率，即频率＝。

3、频数分布直方图：
(1)为了直观、形象地反映考察对象中各个对象的频数情况，通常用横轴表示要考查的对象，纵轴表示考查对象的频数，并以长方形的形式呈出现来，这样的统计图叫频数分布直方图，在长方形顶点取点连线，得到频数分布折线。

(2)绘制频数分布直方图的步骤：
①计算最大值与最小值的差(极差)，确定统计量X围。

②决定组数与组距。

数据越多，分的组数也应越多，当数据在100个以内时，通常按照数据的多少分成5～12组。

这只是一个经验法则，与严格的数学公式不同，可根据实际情况灵活掌握。

组距是指每个小组的两个端点之间的距离。

实践中通常要求各组的组距相等，在实际分组时，往往要有一个尝试的过程，最后选择一个比较合适的组数。

(3)确定分点。

为了避免出现某些数据本身就是分点，不好决定它们属于哪一组这种情况，可以使分点比数据多一位小数，并且将第一组的起点稍微减小一点；或根据教材采用半闭半开区间的方法都可以。

(4)列频数分布表。

列表时，可采用唱票法进行累计。

4、数据波动的表示方法。

(1)极差：一组数据中最大数据与最小数据的差。

(2)方差：各个数据与平均数之差的平方的平均数：
即S2＝，其中，
其简便计算公式为：S2＝。

(3)标准差、方差的算术平方根，用S表示，即S＝。

四、二次根式。

1、二次根式的概念：
如(a≥0)的式子叫二次根式。

2、二次根式的主要性质：
(1)＝a(a≥0)；
(2)＝|a|。

3、二次根式乘除的运算法则：
(1)(a≥0，b≥0)；
(2)(a≥0，b＞0)。

4、最简二次根式满足下列条件：
(1)被开方数中不能含能开得尽方的因数或因式。

(2)被开方数中不含分母(或分母不含有根号)。

5、同类二次根式：几个二次根式化简成最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，那么这个二次根式叫做同类二次根式。

6、二次根式的加减运算：
先将各个根式化简，然后合并同类二次根式。

典型例题：例1：把“平行四边形的对边平行”改写成“如果……，那么……”的形式是。

解：如果一个四边形是平行四边形，那么它的对边平行。

例2：如图，D、E分别是BA、CA延长线上的点，且DE∥BC，求证：ΔABC∽ΔADE。

证明：∵DE∥BC(已知)，
∴∠B＝∠D，∠C＝∠E(两直线平行，内错角相等)，
∴ΔAB C∽ΔADE(有两角对应相等的两个三角形相似)。

例3：如图，已知∠B＝∠C＝50°，∠BOC＝80°，OM平分∠AOC，求证：OM∥BC。

分析：证两直线平行的方法有三种：
一是同位角相等；
二是内错角相等；
三是同旁内角互补。

同样，本题要证OM∥BC也有三种方法，任选其一即可，不妨证∠1＝∠B。

证明：∵∠BOC＝80°(已知)，
∴∠AOC＝100°(邻补角定义)，
又∵OM平分∠AOC(已知)，
∴∠1＝∠AOC＝50°(角平分线定义)，
又∵∠B＝50°(已知)，
∴∠1＝∠B(等量代换)，
∴OM∥BC(同位角相等，两直线平行)。

例4：已知，如图，∠1＝∠2，FG∥AC，HG∥FC，求证：∠4＝∠5。

证明：FG∥AC(已知)，
∴∠3＝∠1(两直线平行，内错角相等)，
∵HG∥FC(已知)，
∴∠4＝∠3(两直线平行，内错角相等)，
∠5＝∠2(两直线平行，同位角相等)，
∵∠1＝∠2(已知)，
∴∠4＝∠5(等量代换)。

例5：某食品厂为了对一批罐头的质量进行检查，从中抽查了10个，净重如下(单位：克)：342，340，348，346，342，342，341，344，340，345，问：
(1)该问题采用了哪种调查方式？
(2)在这个问题中，总体、个体、样本各是什么？样本容量是多少？
(3)由此你能估计出这批罐头的平均重量吗？
解：(1)该问题采用了抽样调查的调查方式。

(2)该食品厂生产的这一批罐头的净重是总体；其中每个罐头的净重是个体；从中抽查的10个罐头的净重是总体的一个样本；样本容量是10。

(3)(342＋340＋……＋345)＝×3430＝343(克)，
故这批罐头的平均净重约为343克。

例6：某中学部分学生参加全国初中数学竞赛，取得了优异的成绩，指导老师统计了所有参赛同学的成绩(成绩都是整数，试题满分120分)，并绘制了频数直方图，如图，请回答。

(1)该中学参加本次数学竞赛的学生有多少名？
(2)这次竞赛的中位数落在哪个分数段内？
(3)如果成绩在90分以上(含90分)的同学获奖，那么该中学获奖的百分率是多少？
解：(1)由图某某息可知，该校参加竞赛的学生为：
4＋6＋8＋7＋5＋2＝32(人)。

(2)第16，17个数据的平均数为中位数，所以中位数恰好落在80—90这个分数段内。

(3)根据题意得该中学参赛同学获奖率为：×100%＝43.75%。

例7：已知某工厂2006年前三个季度每月用水的数量(单位：吨)为：601，603，604，602 ，607，608，605，606，609，求这组数据的方差。

解：取a＝605得：－4，－2，－1，－3，2，3，0，1，4，
(－4－2－1－3＋2＋3＋0＋1＋4)＝0，
∴S2＝[(－4)2＋(－2)2＋(－1)2＋(－3)2＋22＋32＋02＋12＋42－9×02]
＝×60≈6. 67(吨22。

例8：下列式子中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？
(1)(2)(3)(4)(5)
(6)(7)(x≤6)(8)(9)解：二次根式有：(1)，(2)，
(4)，(5)，(7)，(8)，
因为这些式子中的根指数为2，且被开方数大于或等于0，
(6)，(9)不是二次根式，其中(6)中根指数为3；(9)中被开方数－x2－1＜0，
无法确定，当a≥0时，它是二次根式，当a＜0时，不是二次根式。

例9：当x为何值时，下列式子有意义。

(1)(2)解：(1)因(x－1)2≥0，故x取任何实数都有意义。

(2)由得：，
∴，
∴当x≥－1且x≠2时，式子在实数X围内有意义。

例10：化简：
(1)(m≥0)(2)解：(1)。

(2)。

例11：已知，实数a，b在数轴上的位置如图：
化简。

解：由数轴上点的位置可知，a＞b，0＜a＜1，b＜－1，
所以，a＞0，b＜0，a－b＞0，b－1＜0，a－1＜0，
∴
＝|a|＋|b|＋|a－b|＋|b－1|－|a－1|
＝a－b＋(a－b)＋(1－b)－(1－a)
＝a－b＋a－b＋1－b－1＋a
＝3a－3b
例12：计算：
(1)；(2)。

解：(1)
＝
＝
＝
＝
(2)
＝
＝
＝
＝例13：计算
(1)；(2)。

解：(1)
＝
＝
＝
(2)
＝
＝
＝1
例14：对化简求值：，其中a＝。

甲、乙两人的解答不同：
甲的解答：＝；
乙的解答：＝。

谁的解答是错误的？为什么？
解：乙的解答是错误的，因为：
当a＝时，＝5，a－＜0，
所以，≠a－，而应是－a。

例15：先化简再求值，，其中a＝，b＝。

解：＝＝＝当a＝，b＝时，a＋b＝，ab＝＝1，
∴原式＝。

例16：已知，xy＝1，y＝，求的值。

解：由xy＝1，y＝得：x＝，y＝，
∴x＋y＝4，
∴原式＝＝＝＝1。