广东省佛山市南海区高三数学入学摸底考试试题 理 新人教A版

佛山市南海区2014届普通高中高三质量检测理科数学试题
2013.8 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.
第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项。

1．设集合{}
{}>1,|(2)0A x x B x x x ==-<，则B A I 等于（ ）
（A ）{|01}x x << （B ）{}21<<x x （C ）{}
20<<x x （D ） {|2}x x > 2．已知a 是实数，
i
1i
a +-是纯虚数，则a 等于（ ）
（A ） 1 （B ） 1- （C ） （D ）
3．已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若36a =，312S =，则公差d 等于（ ）（A ） 1 （B ）
5
3
（C ） 2 （D ） 3 4．用反证法证明命题：若整数系数的一元二次方程2
0(0)ax bx c a ++=≠ 有有理实数根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是： （A ）假设a ，b ，c 至多有一个是偶数 （B ）假设a ，b ，c 至多有两个偶数 （C ）假设a ，b ，c 都是偶数 （D ）假设a ，b ，c 都不是偶数
5．若a ，b 是两个非零向量，则“+=-a b a b ”是“⊥a b ”的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件
6．10
1x ⎫⎪⎭的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是（ ）
（A ） 0 （B ） 2 （C ） 4 （D ） 6
7．已知抛物线2
2y px =的焦点F 与双曲线22
179
x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与x
轴的交点为K ，点A 在抛物线上且|||AK AF =，则△AFK 的面积为（ ）
（A ） 4 （B ） 8 （C ） 16 （D ） 32
8．给出下列命题：①在区间(0,)
+∞上，函数1
y x-
=,
1
2
y x
=,2
(1)
y x
=-,3
y x
=中有三个
是增函数；②若log3log30
m n
<<，则01
n m
<<<；③若函数()
f x是奇函数，则(1)
f x-
的图象关于点(1,0)
A对称；④已知函数
2
3
3,2,
()
log(1),2,
x x
f x
x x
-
⎧≤
=⎨
->
⎩
则方程
1
()
2
f x=有2个
实数根，其中正确命题的个数为（）
（A）1（B）2（C）3（D）4
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

9．若
3
sin
5
α=-，且tan0
α>，则cosα=．
10．已知圆C：22680
x y x
+-+=，若直线y kx
=与圆C相切，且切点在第四象限，则
k=．
11．一个几何体的三视图如左下图所示，则该几何体的表面积为．
12．如右上图所示，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一粒豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则(|)
P B A=．
13．在等差数列{}n a中，若*
(,1)
m n
a p a q m n N n m
==∈-≥
，，，则
m n
nq mp
a
n m
+
-
=
-
．类比上述结论，对于等比数列{}n b（*
0,
n
b n N
>∈），若
m
b r
=，
n
b s
=（2
n m
-≥，*
,m n N
∈），则可以得到
m n
b
+
=．
(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图，圆O 的割线PAB 交圆
O 于A 、B 两点，割线PCD 经过圆心．已知6=PA ，
3
1
7=AB ，12=PO ．则圆O 的半径____=R ．
15．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系) , (θρ（πθ20<≤）中，直线4
π
θ=
被圆
θρsin 2=截得的弦长是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16．（本小题满分12分）
已知函数()2sin (sin cos )f x x x x =+． （1）求()f x 的最小正周期； （2）当[0,]2
x π
∈时，求()f x 的最大值．
17．（本小题满分12分）
为了了解某班的男女生学习体育的情况，按照分层抽样分别抽取了10名男生和5名女生作为样本，他们期末体育成绩的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数。

（1） 若该班男女生平均分数相等，求x 的值；
（2） 若规定85分以上为优秀，在该10名男生中
随机抽取2名，优秀的人数记为ξ，求ξ的
分布列和数学期望．
18．（本小题满分14分）
已知数列{}n a 的前n 项和为2
=24+1n S n n +，数列{}n b 的首项1=2b ，且点1(,)n n b b +在
直线2y x =上．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（2）若n n n c a b =g
，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 女生 男生 2 6 0 2 4
8 7 9
7 4 8 x 8 4 9 0 1 2 8
19．（本小题满分14分）
如图，边长为2的正方形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，将△AED 、△DCF 分别沿DE 、DF 折起，使A 、C 两点重合于点A '，连接EF ，A B '． （1）求证：A D EF '⊥；
（2）求二面角A EF D '--的余弦值．
20．（本小题满分14分）
设P 是曲线1C 上的任一点，Q 是曲线2C 上的任一点，称PQ 的最小值为曲线1C 与曲线2C 的距离.
（1）求曲线1:x
C y e =与直线2:1C y x =-的距离；
（2）设曲线1:x C y e =与直线3:C y x m =-（0m R m ∈≥，）的距离为1d ，直线
2:1C y x =-与直线3:C y x m =-的距离为2d ，求12d d +的最小值.
21．（本小题满分14分）
已知实数组成的数组123(,,,,)n x x x x L 满足条件： ①
1
0n
i
i x
==∑； ②1
1n
i i x ==∑．
（Ⅰ） 当2n =时，求1x ，2x 的值；
（Ⅱ）当3n =时，求证：123321x x x ++≤； （Ⅲ）设123n a a a a ≥≥≥≥L ,且1n a a >(2)n ≥，
求证：
11
1()2n
i i
n i a x a a =≤-∑． 南海区2014届普通高中高三质量检测理科数学试题参考答案
2013、8 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的.
1-4 BA C D 5-8 CBDC
二、填空题:本大共7小题,考生作答6小题,每小题5分，满分30分）
(一)必做题(9～13题)
9、 45- 10、
4- 11、
75+ 12、 14 13
、n m n b +=
（二）选做题：
14、8； 15、2
三、解答题 本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程． 16．【解析】2
()2sin (sin cos )2sin 2sin cos f x x x x x x x =+=+……1分
1cos2sin 2x x =-+……2分
2(
22)122
x x =-+……3分
2cos
cos 2sin )144
x x π
π
=-+……4分
)14
x π
=-+……5分 （1）()f x 的最小正周期22
T π
π==……7分
（2）∵02x π≤≤，∴32444x πππ
-≤-≤……8分
∴当242x ππ-=，即38
x π
=时，()f x 取得最大值……10分
且最大值为3()1182
f ππ
=+=……12分
17．解：（1）依题意可得，
627884879460626479808890919298
510
x ++++++++++++++=
， 1分
∴ x =6.
------------------------------3分
（2）由茎叶图可知，10名男生中优秀的人数为6
人。

-----------------------------4分 ∴
242102
(0)15
C P C ξ===
,
------------------------------6分
11462
108
(1)15
C C P C ξ===g ,
-----------------------------8分
262101
(2)3
C P C ξ===
,
---------------------------10分
∴3
1
2
8
1
6
()012151535i
i
i E P ξξ==
=⨯+⨯+⨯=∑g ．
答：
ξ
的数学期望为
6
5
． -------------------------12分
18．解：（1）由2=24+1n S n n +得2
-1=2
141)+1n S n n -+-（）（， --------1分 ∴22
-1=24+12141)1=42(2)n n n a S S n n n n n n =-+-----+≥（
）（ ---------2分
当n =1时，1=7a ， -----------------------------3分
综上
42(2)
7(1)n n n a n +≥⎧=⎨
=⎩
． --------------------------4分
∵点1(,)n n b b +在直线2y x =上，∴12n n b b +=，又1=2b ， ------------------5分
∴{}n b 是以2为首项2为公比的等比数列，
2n n b =． ------------------7分
（2）由（1）知，当1n =时，11114c a b ==g
； --------------8分
当2n ≥时，1(42)2(21)2n n n n n c a b n n +==+=+g
g g ， ---------------9分
所以当1n =时，1114T c ==；
当2n ≥时，3
1123...1452...(21)2(21)2n n n n T c c c c n n +=++++=+⨯++-++g
g ① 则4
1222852...(21)2(21)2n n n T n n ++=+⨯++-++g
g ② - ---------10分
②-①得：3562
21452222(21)2n n n T n ++=-⨯----++L g
-------------12分
即523
222(21)
1452(21)2(21)2621
n n n n T n n -++-=-⨯-
++=-+-g g ， ---------------13分
显然，当1n =时，121(211)2614T +=⨯-+=g
， 所以
2(21)26n n T n +=-+g ． ----------------14分
19．【解析】（1）在正方形ABCD 中，有AD AE ⊥，CD CF ⊥ ……1分 则A D A E ''⊥，A D A F ''⊥ ……2分 又A E A F A '''=I ……3分 ∴A D '⊥平面A EF ' ……4分 而EF ⊂平面A EF '，∴A D EF '⊥ ……5分 （2）方法一：连接BD 交EF 于点G ，连接A G ' ……6分 ∵在正方形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点， ∴BE BF =，DE DF =， ∴点G 为EF 的中点，
且BD EF ⊥ ……7分
∵正方形ABCD 的边长为2，∴1A E A F ''==，∴A G EF '⊥ ……8分 ∴A GD '∠为二面角A EF D '--的平面角 ……9分 由（1）可得A D A G ''⊥，
∴△A DG '为直角三角形 ……10分 ∵正方形ABCD 的边长为2， ∴22BD =，2EF =
，
∴2
2
BG =
，2322222DG =-=， 又2A D '= ……11分 ∴ 2292422
A G DG A D ''=-=
-= ……12分
∴2
1
2cos 3
322
A G A GD DG ''∠=
== ……13分 ∴二面角A EF D '--的余弦值为1
3
……14分 方法二：∵正方形ABCD 的边长为2，点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点， ∴1BE BF A E A F ''====，
∴2EF =
……6分
∴2
2
2
A E A F EF ''+=，∴A E A F ''⊥ ……7分 由（1）得A D '⊥平面A EF '， ∴分别以A E '，A F '，A D '为x ，y ，
z 轴建立如图所示的空间直角
坐标系A xyz '-， ……8分
则(0,0,0)A '，(1,0,0)E ，
(0,1,0)F ，(0,0,2)D ……9分 ∴(1,0,2)DE =-u u u r ，(0,1,2)DF =-u u u r
，
设平面DEF 的一个法向量为1(,,)n x y z =u r ，则由1120
20
n DE x z n DF y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u r u u u r u r u u u r
， 可取1(2,2,1)n =u r
……11分
G
x
y
z
又平面A EF '的一个法向量可取2(0,0,1)n =u u r
……12分
∴1212121
cos ,3
||||n n n n n n ⋅<>===u r u u r
u r u u r u r u u r ……13分 ∴二面角A EF D '--的余弦值为1
3
. ……14分
20．解：（1）只需求曲线1C 上的点到直线1y x =-距离的最小值. ……1分
设曲线1C 上任意一点为(,),x
P x e 则点(,)x
P x e 到1y x =-的距离为
d =
=
……3分
令()1x f x e x =-+,则()1x f x e '=-,由()100x
f x e x '=->⇒>；
()100;()100.x x f x e x f x e x ''=-<⇒<=-=⇒= ……5分
故当0x =时, 函数()1x
f x e x =-+取极小值即最小值(0)2f =，
即d =
，故曲线1C 与曲线2C
； ……8分
（2）由（1
）可知，1d =
，又易知2d = ……9分
则
)12|1||1|d d m m +=
=++-≥= ……12分 当且仅当(1)(1)0m m +-≤时等号成立，考虑到0m ≥，所以，当01m ≤≤时，
12d d +
……14分
21．（Ⅰ）解：12120,
(1)1.
(2)
x x x x +=⎧⎪⎨
+=⎪⎩
由（1）得21x x =-，再由（2）知10x ≠，且20x ≠.
当10x >时，20x <.得121x =，所以121,2
1.2x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ……………………………2分
当10x <时，同理得121,2
1.2
x x ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ………………………………4分
（Ⅱ）证明：当3n =时，
由已知1230x x x ++=,123=1x x x ++.
所以12311233322()x x x x x x x x ++=+++-
13x x =-
131x x ≤+≤. …………………………9分
（Ⅲ）证明：因为1i n a a a ≥≥，且1n a a >(1,2,3,,)i n =L .
所以1()()i i n a a a a ---1()()i i n a a a a ≤-+-1n a a =-,
即112n i n a +a a a a -≤- (1,2,3,,)i n =L . ………………………11分
1n i i i a x =∑n
1i 1
111122n n i i i n i
i i a x a x a x ====--∑∑∑1
1
1
(2)2n
i
n
i
i a a a x
==--∑
111(22n n i i i a a a x =≤+-∑)111()2n
n i i a a x =≤-∑ 11
1
2
n
n
i
i a a x
==-∑
11 11()2n a a =-. …………………………14分。