2019-2020学年山东省德州市夏津县八年级(上)期中数学试卷(解析版)

2019-2020学年山东省德州市夏津县八年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题4分，共48分）
1．下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（）A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm
C．5cm，5cm，11cm D．13cm，12cm，20cm
2．已知三角形三边分别为2，a﹣1，4，那么a的取值范围是（）
A．1＜a＜5B．2＜a＜6C．3＜a＜7D．4＜a＜6
3．到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（）
A．三条高的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条边的垂直平分线的交点
4．下列说法中错误的是（）
A．一个三角形中至少有一个角不小于60°
B．直角三角形只有一条高
C．三角形的中线不可能在三角形外部
D．三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分
5．如图，∠1＝（）
A．40°B．50°C．60°D．70°
6．下列图形中，不是轴对称图形的是（）
A．B．
C．D．
7．如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，添加下列一个条件后，仍然不能
证明△ABC≌△DEF，这个条件是（）
A．∠A＝∠D B．BC＝EF C．∠ACB＝∠F D．AC＝DF
8．小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带第_____块去，这利用了三角形全等中的_____原理（）
A．2；SAS B．4；ASA C．2；AAS D．4；SAS
9．如图，△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，下列结论错误的是（）
A．∠C＝2∠A B．BD＝BC
C．△ABD是等腰三角形D．点D为线段AC的中点
10．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角度数为（）A．30°B．60°C．90°D．120°或60°11．如图，△ABC中，BC＞AB＞AC．甲、乙两人想在BC上取一点P，使得∠APC＝2∠ABC，其作法如下：
（甲）作AB的中垂线，交BC于P点，则P即为所求
（乙）以B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于P点，则P即为所求
对于两人的作法，下列判断何者正确？（）
A．两人皆正确B．两人皆错误
C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确
12．如图，把长方形纸片ABCD纸沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD，那么，有下列说法：①△EBD是等腰三角形，EB＝ED；
②折叠后∠ABE和∠CBD一定相等；
③折叠后得到的图形是轴对称图形；
④△EBA和△EDC一定是全等三角形．其中正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二.填空题（每小题4分，共24分）
13．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，则这个多边形的边数是．14．如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OB，PD⊥OB于点D，PD＝4，则PC等于．
15．如图，坐标平面内一点A（2，﹣1），O是原点，P是x轴上一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为．
16．如图所示，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为．
17．如图，P为∠AOB内一定点，M，N分别是射线OA，OB上一点，当△PMN周长最小时，∠OPM＝50°，则∠AOB＝．
18．如图，△ABC的三个顶点和它内部的点P1，把△ABC分成3个互不重叠的小三角形；
△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2，把△ABC分成5个互不重叠的小三角形；△ABC 的三个顶点和它内部的点P1、P2、P3，把△ABC分成7个互不重叠的小三角形；…△ABC 的三个顶点和它内部的点P1、P2、P3、…、P n，把△ABC分成个互不重叠的小三角形．
三、解答题（共78分）
19．（10分）如图所示，在△ABC中：
（1）画出BC边上的高AD和中线AE．
（2）若∠B＝30°，∠ACB＝130°，求∠BAD和∠CAD的度数．
20．（6分）如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论）
21．（6分）如图，有两个点A、B和直线CD．在直线CD上找一点P，使△ABP周长最小．
22．（12分）如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，在所给直角坐标系中解答下列问题：
（1）分别写出点A、B两点的坐标；
（2）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并分别写出点A1、B1两点的坐标；
（3）请求出△A1B1C1的面积．
23．（10分）如图，A、D、F、B在同一直线上，AD＝BF，AE＝BC，EF＝DC，求证：CD ∥EF．
24．（10分）如图，三角形纸片中，AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝5cm．沿过点B的直线折
叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，求△ADE的周长．
25．（12分）如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点E在BD上，连接AE、CE，过点D作DF⊥AE，DG⊥CE，垂足分别是F、G．
（1）求证：△ABE≌△CBE；
（2）求证：DF＝DG．
26．（12分）阅读下面材料：
小聪遇到这样一个有关角平分线的问题：如图1，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2.2，AC＝3.6
求BC的长．
小聪思考：因为CD平分∠ACB，所以可在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE．这样很容易得到△DEC≌△DAC，经过推理能使问题得到解决（如图2）．
请回答：（1）△BDE是三角形．
（2）BC的长为．
参考小聪思考问题的方法，解决问题：
如图3，已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，BD＝2.3，BC＝2．求AD的长．
2019-2020学年山东省德州市夏津县八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共48分）
1．下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（）A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm
C．5cm，5cm，11cm D．13cm，12cm，20cm
【分析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，即两短边的和大于最长的边，即可作出判断．
【解答】解：A、3+4＜8，故以这三根木棒不可以构成三角形，不符合题意；
B、8+7＝15，故以这三根木棒不能构成三角形，不符合题意；
C、5+5＜11，故以这三根木棒不能构成三角形，不符合题意；
D、12+13＞20，故以这三根木棒能构成三角形，符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．2．已知三角形三边分别为2，a﹣1，4，那么a的取值范围是（）
A．1＜a＜5B．2＜a＜6C．3＜a＜7D．4＜a＜6
【分析】本题可根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边列出不等式：4﹣2＜a﹣1＜4+2，化简即可得出a的取值范围．
【解答】解：依题意得：4﹣2＜a﹣1＜4+2，
即：2＜a﹣1＜6，
∴3＜a＜7．
故选：C．
【点评】此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．
3．到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（）
A．三条高的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条边的垂直平分线的交点
【分析】根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解答即可．
【解答】解：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，
故选：D．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
4．下列说法中错误的是（）
A．一个三角形中至少有一个角不小于60°
B．直角三角形只有一条高
C．三角形的中线不可能在三角形外部
D．三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分
【分析】分别根据三角形内角和定理，三角形的角平分线、中线和高对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、∵三角形的内角和等于180°，
∴一个三角形中至少有一个角不少于60°，故本选项正确；
B、直角三角形有三条高，故本选项错误；
C、三角形的中线一定在三角形的内部，故本选项正确；
D、三角形的中线把三角形的面积平均分成相等的两部分，故本选项正确．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
5．如图，∠1＝（）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【分析】根据三角形的外角的性质计算即可．
【解答】解：∠1＝130°﹣60°＝70°，
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形的外角的性质，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
6．下列图形中，不是轴对称图形的是（）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
7．如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是（）
A．∠A＝∠D B．BC＝EF C．∠ACB＝∠F D．AC＝DF
【分析】根据全等三角形的判定，利用ASA、SAS、AAS即可得答案．
【解答】解：∵∠B＝∠DEF，AB＝DE，
∴添加∠A＝∠D，利用ASA可得△ABC≌△DEF；
∴添加BC＝EF，利用SAS可得△ABC≌△DEF；
∴添加∠ACB＝∠F，利用AAS可得△ABC≌△DEF；
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法：SSS、ASA、SAS、AAS和HL是解题的关键．
8．小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带第_____块去，这利用了三角形全等中的_____原理（）
A．2；SAS B．4；ASA C．2；AAS D．4；SAS
【分析】根据全等三角形的判断方法解答．
【解答】解：由图可知，带第4块去，符合“角边角”，可以配一块与原来大小一样的三角形玻璃．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，是基础题，熟记三角形全等的判定方法是解题的关键．
9．如图，△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，下列结论错误的是（）
A．∠C＝2∠A B．BD＝BC
C．△ABD是等腰三角形D．点D为线段AC的中点
【分析】根据∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，可得△ABD与△BCD都是等腰三角形，据此判断各选项是否正确即可．
【解答】解：∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∴∠C＝2∠A，故（A）正确；
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝36°，
∴∠BDC＝36°+36°＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴BD＝BC，故（B）正确；
∵∠A＝∠ABD＝36°，
∴△ABD是等腰三角形，故（C）正确；
∵BD＞CD，
∴AD＞CD，
∴D不是AC的中点，故（D）错误．
故选：D．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理，解题时注意：等腰三角形的两个底角相等；反之，有两个角相等的三角形是等腰三角形．
10．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角度数为（）A．30°B．60°C．90°D．120°或60°【分析】分顶角为钝角和顶角为锐角两种情况：当顶角为钝角时，则可求得其邻补角为60°；当顶角为锐角时，可求得顶角为60°；可得出答案．
【解答】解：当顶角为钝角时，如图1，可求得其顶角的邻补角为60°，则顶角为120°；
当顶角为锐角时，如图2，可求得其顶角为60°；
综上可知该等腰三角形的顶角为120°或60°．
故选：D．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两腰相等及直角三角形两锐角互余是解题的关键．
11．如图，△ABC中，BC＞AB＞AC．甲、乙两人想在BC上取一点P，使得∠APC＝2∠ABC，其作法如下：
（甲）作AB的中垂线，交BC于P点，则P即为所求
（乙）以B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于P点，则P即为所求
对于两人的作法，下列判断何者正确？（）
A．两人皆正确B．两人皆错误
C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确
【分析】根据甲乙两人作图的作法即可证出结论．
【解答】解：甲：如图1，∵MN是AB的垂直平分线，
∴AP＝BP，
∴∠ABC＝∠BAP，
∵∠APC＝∠ABC+∠BAP，
∴∠APC＝2∠ABC，
∴甲正确；
乙：如图2，∵AB＝BP，
∴∠BAP＝∠APB，
∵∠APC＝∠BAP+∠ABC，
∴∠APC≠2∠ABC，
∴乙错误；
故选：C．
【点评】本题考查了线段的垂直平分线的性质，三角形外角的性质，正确的理解题意是解题的关键．
12．如图，把长方形纸片ABCD纸沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD，那么，有下列说法：①△EBD是等腰三角形，EB＝ED；
②折叠后∠ABE和∠CBD一定相等；
③折叠后得到的图形是轴对称图形；
④△EBA和△EDC一定是全等三角形．其中正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】图形的折叠过程中注意出现的全等图象．
【解答】解：①△EBD是等腰三角形，EB＝ED，正确；
②折叠后∠ABE+2∠CBD＝90°，∠ABE和∠CBD不一定相等（除非都是30°），故此
说法错误；
③折叠后得到的图形是轴对称图形，正确；
④△EBA和△EDC一定是全等三角形，正确．
故选：C．
【点评】正确找出折叠时出现的全等三角形，找出图中相等的线段，相等的角是解题的
关键．
二.填空题（每小题4分，共24分）
13．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，则这个多边形的边数是7．【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°与外角和定理列出方程，求解即可．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
根据题意，得（n﹣2）×180°＝3×360°﹣180°，
解得n＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是360°，与边数无关．
14．如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OB，PD⊥OB于点D，PD＝4，则PC等于8．
【分析】作PE⊥OA于E，根据角平分线的性质求出PE，根据直角三角形的性质和平行线的性质解答即可．
【解答】解：作PE⊥OA于E，
∵OP平分∠AOB，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PE＝PD＝4，
∵OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，
∴∠AOB＝30°，
∵PC∥OB，
∴∠ECP＝∠AOB＝30°，
∴PC＝2PE＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查的是角平分线的性质、直角三角形的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
15．如图，坐标平面内一点A（2，﹣1），O是原点，P是x轴上一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为4．
【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①OA为等腰三角形底边；②OA为等腰三角形一条腰．
【解答】解：如图：
①OA为等腰三角形底边，符合条件的动点P有一个；
②OA为等腰三角形一条腰，符合符合条件的动点P有三个．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；利用等腰三角形的判定来解决实际问题，其关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．
16．如图所示，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为45°．
【分析】分别在格点三角形中，根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，继而可得出∠ABC的度数．
【解答】解：如图，连接AC．
根据勾股定理可以得到：AC＝BC＝，AB＝，
∵（）2+（）2＝（）2，即AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是等腰直角三角形．
∴∠ABC＝45°．
故答案为：45°．
【点评】本题考查了勾股定理，判断△ABC是等腰直角三角形是解决本题的关键，注意在格点三角形中利用勾股定理．
17．如图，P为∠AOB内一定点，M，N分别是射线OA，OB上一点，当△PMN周长最小时，∠OPM＝50°，则∠AOB＝40°．
【分析】作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，根据对称的性质可以证得：∠OP1M＝∠OPM ＝50°，OP1＝OP2＝OP，根据等腰三角形的性质即可求解．
【解答】解：作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，连接P1O、P2O，
∵PP1关于OA对称，
∴∠P1OP＝2∠MOP，OP1＝OP，P1M＝PM，∠OP1M＝∠OPM＝50°
同理，∠P2OP＝2∠NOP，OP＝OP2，
∴∠P1OP2＝∠P1OP+∠P2OP＝2（∠MOP+∠NOP）＝2∠AOB，OP1＝OP2＝OP，
∴△P1OP2是等腰三角形．
∴∠OP2N＝∠OP1M＝50°，
∴∠P1OP2＝180°﹣2×50°＝80°，
∴∠AOB＝40°，
故答案为：40°．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正确作出图形，证得△P1OP2是等腰三角形是解题的关键．
18．如图，△ABC的三个顶点和它内部的点P1，把△ABC分成3个互不重叠的小三角形；
△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2，把△ABC分成5个互不重叠的小三角形；△ABC 的三个顶点和它内部的点P1、P2、P3，把△ABC分成7个互不重叠的小三角形；…△ABC 的三个顶点和它内部的点P1、P2、P3、…、P n，把△ABC分成2n+1个互不重叠的小三角形．
【分析】利用图形得到，△ABC的三个顶点和它内部的点P1，把△ABC分成互不重叠的小三角形的个数＝3+2×0；△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2，把△ABC分成互不重叠的小三角形的个数＝3+2×1；△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2、P3，把△ABC分成互不重叠的小三角形的个数＝3+2×2，即分成的互不重叠的小三角形的个数为3加上P点的个数与1的差的2倍，从而得到△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2、P3、…、P n，把△ABC分成的互不重叠的小三角形的个数．
【解答】解：如图，△ABC的三个顶点和它内部的点P1，把△ABC分成的互不重叠的小三角形的个数＝3+2×0，
△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2，把△ABC分成的互不重叠的小三角形的个数＝
3+2×1，
△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2、P3，把△ABC分成的互不重叠的小三角形的个数＝3+2×2，
所以△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2、P3、…、P n，把△ABC分成的互不重叠的小三角形的个数＝3+2（n﹣1）．
故答案为：2n+1．
【点评】本题考查了规律型：图形的变化类：对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，然后通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．
三、解答题（共78分）
19．（10分）如图所示，在△ABC中：
（1）画出BC边上的高AD和中线AE．
（2）若∠B＝30°，∠ACB＝130°，求∠BAD和∠CAD的度数．
【分析】（1）延长BC，作AD⊥BC于D；作BC的中点E，连接AE即可；
（2）可根据三角形的内角和定理求∠BAC＝20°，由外角性质求∠CAD＝40°，那可得∠BAD＝60°．
【解答】解：（1）如图：
（2）∵∠B＝30°，∠ACB＝130°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣130°＝20°，
∵∠ACB＝∠D+∠CAD，AD⊥BC，
∴∠CAD＝130°﹣90°＝40°，
∴∠BAD＝20°+40°＝60°．
【点评】此题是计算与作图相结合的探索．考查学生运用作图工具的能力，以及运用直角三角形、三角形内角和外角等基础知识解决问题的能力．
20．（6分）如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论）
【分析】根据点P到∠AOB两边距离相等，到点C、D的距离也相等，点P既在∠AOB 的角平分线上，又在CD垂直平分线上，即∠AOB的角平分线和CD垂直平分线的交点处即为点P．
【解答】解：如图所示：作CD的垂直平分线，∠AOB的角平分线的交点P即为所求，此时货站P到两条公路OA、OB的距离相等．
P和P1都是所求的点．
【点评】此题主要考查了线段的垂直平分线和角平分线的作法．这些基本作图要熟练掌握，注意保留作图痕迹．
21．（6分）如图，有两个点A、B和直线CD．在直线CD上找一点P，使△ABP周长最小．
【分析】由于△PAB的周长＝PA+AB+PB，而AB是定值，故只需在直线l上找一点P，使PA+PB最小．如果设A关于l的对称点为A′，使PA+PB最小就是使PA′+PB最小．【解答】解：如图所示：点P为所求
【点评】此题主要考查了轴对称最短路线问题，解这类问题的关键是把两条线段的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决．
22．（12分）如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，在所给直角坐标系中解答下列问题：
（1）分别写出点A、B两点的坐标；
（2）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并分别写出点A1、B1两点的坐标；
（3）请求出△A1B1C1的面积．
【分析】（1）根据图中坐标系写出点A、B两点的坐标即可；
（2）首先确定A、B、C三点关于y轴对称的点，再连接即可；
（3）把△A1B1C1放在一个矩形内，再利用矩形的面积减去周围多余三角形的面积即可．【解答】解：（1）A（﹣1，0）、B（﹣2，﹣2）；
（2）如图所示，
A1（1，0）、B1（2，﹣2）；
（3）△A1B1C1的面积为3×2﹣2××1×2﹣×1×3＝2.5．
【点评】此题主要考查了作图﹣﹣轴对称变换，关键是正确确定A、B、C三点对称点的位置．
23．（10分）如图，A、D、F、B在同一直线上，AD＝BF，AE＝BC，EF＝DC，求证：CD ∥EF．
【分析】先根据SSS判定△AEF≌△BCD，再根据全等三角形对应角相等，得出∠AFE ＝∠BDC，进而得出CD∥EF．
【解答】解：∵A、D、F、B在同一直线上，AD＝BF，
∴AF＝BD，
在△AEF和△BCD中，
，
∴△AEF≌△BCD（SSS），
∴∠AFE＝∠BDC，
∴CD∥EF．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
24．（10分）如图，三角形纸片中，AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝5cm．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，求△ADE的周长．
【分析】根据翻折变换的性质可得BE＝BC，DE＝CD，然后求出AE，再求出△ADE的周长＝AC+AE．
【解答】解：∵折叠这个三角形点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，
∴BE＝BC，DE＝CD，
∴AE＝AB﹣BE＝AB﹣BC＝8﹣6＝2cm，
∴△ADE的周长＝AD+DE+AE，
＝AD+CD+AE，
＝AC+AE，
＝5+2，
＝7cm．
【点评】本题考查了翻折变换的性质，翻折前后对应边相等，对应角相等．
25．（12分）如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点E在BD上，连接AE、CE，过点D作DF⊥AE，DG⊥CE，垂足分别是F、G．
（1）求证：△ABE≌△CBE；
（2）求证：DF＝DG．
【分析】（1）首先利用角平分线的性质可得∠ABE＝∠CBE，然后再利用SAS判定△ABE ≌△CBE即可；
（2）根据全等三角形的性质可得∠AEB＝∠CEB，根据等角的补角相等可得∠AED＝∠CED，再根据角平分线的性质可得DF＝DG．
【解答】证明：（1）∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
在△ABE和△CBE中，
∴△ABE≌△CBE（SAS）；
（2）∵△ABE≌△CBE，
∴∠AEB＝∠CEB，
∴∠AED＝∠CED，
∵DF⊥AE，DG⊥CE，
∴FD＝DG．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．26．（12分）阅读下面材料：
小聪遇到这样一个有关角平分线的问题：如图1，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2.2，AC＝3.6
求BC的长．
小聪思考：因为CD平分∠ACB，所以可在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE．这样很容易得到△DEC≌△DAC，经过推理能使问题得到解决（如图2）．
请回答：（1）△BDE是等腰三角形．
（2）BC的长为 5.8．
参考小聪思考问题的方法，解决问题：
如图3，已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，BD＝2.3，BC＝2．求AD的长．
【分析】（1）由已知条件和辅助线的作法，证得△ACD≌△ECD，得到AD＝DE，∠A ＝∠DEC，由于∠A＝2∠B，推出∠DEC＝2∠B，等量代换得到∠B＝∠EDB，得到△BDE 是等腰三角形；
（2）在BA边上取点E，使BE＝BC＝2，连接DE，得到△DEB≌△DBC，在DA边上取点F，使DF＝DB，连接FE，得到△BDE≌△FDE，即可推出结论．
【解答】解：（1）△BDE是等腰三角形，
在△ACD与△ECD中，，
∴△ACD≌△ECD，
∴AD＝DE，∠A＝∠DEC，
∵∠A＝2∠B，
∴∠DEC＝2∠B，
∴∠B＝∠EDB，
∴△BDE是等腰三角形；
（2）BC的长为5.8，
∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，
∴∠ABC＝∠C＝80°，
∵BD平分∠B，
∴∠1＝∠2＝40°∠BDC＝60°，
在BA边上取点E，使BE＝BC＝2，连接DE，
则△DEB≌△DBC，∴∠BED＝∠C＝80°，
∴∠4＝60°，
∴∠3＝60°，
在DA边上取点F，使DF＝DB，连接FE，
则△BDE≌△FDE，
∴∠5＝∠1＝40°，BE＝EF＝2，
∵∠A＝20°，
∴∠6＝20°，
∴AF＝EF＝2，
∵BD＝DF＝2.3，
∴AD＝BD+BC＝4.3．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，根据题意正确的作出辅助线是解题的关键．。