2018-2019学年河南省新乡市高一下学期期中考试数学试题(解析版)
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（1）求 的解析式；
（2）求 的单调区间。
【答案】（1） ；（2）递增区间是 ，递减区间是 .
【解析】（1）根据题意， ，且函数 在区间 上有最大值，无最小值，从而得到函数 在 处取得最大值，所以得到 ，即 ，结合题中所给的条件 ，从而求得 ，进而得到函数解析式；
（2）利用整体角思维，结合正弦曲线的单调增区间，得到对应的条件，从而求得函数的单调区间.
21．已知函数 .
（1）若 ，求不等式 的解集；
（2）若 ，对于任意的 ， 都有 ，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） 或
【解析】（1）先用辅助角公式化简函数解析式，再将 代入，得到 ，得到不等式 ，从而得到 ，化简求得 ，进而得到不等式的解集；
（2）当 时，求得函数 ，分情况讨论 的范围，利用对应的条件，等价结果为两个函数的值域交集为空集，从而求得参数的范围.
【详解】
因为 ，所以 弧度的角是第二象限角.
故选：B
【点睛】
该题考查的是有关象限角的问题，属于简单题目.
4．已知 ， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据正切的和角公式直接求解即可.
【详解】
故选：D
【点睛】
该题考查的是有关应用正切的和角公式求正切的问题，属于简单题目.
5．下列关于向量的说法中正确的是（）
所以函数 在区间 上单调递减.
因为 ， 是锐角三角形的两个内角，
所以 ，所以 ，
所以 ，
即 ，所以 .
故选：A
【点睛】
该题考查的是有关函数值比较大小的问题，涉及到的知识点有锐角三角形的特征，偶函数图象的对称性，正弦函数的单调性，属于简单题目.
二、填空题
12． __________.
【答案】
【解析】利用诱导公式以及正弦差角公式化简式子，之后利用特殊角的三角函数值直接计算即可.
扇形的面积为 ，
所以当 时，面积最大为 .
故答案为：2
【点睛】
该题考查的是有关扇形的面积的最值的问题，涉及到的知识点有扇形的周长，扇形的面积，二次函数的最值，属于简单题目.
15．下列四个命题：
①函数 与 的图象相同；
②函数 的最小正周期是 ；
③函数 的图象关于直线 对称；
④函数 在区间 上是减函数。
D．函数 是偶函数
【答案】D
【解析】首先利用函数图象变换规律，求得 的解析式，之后结合正弦型函数的有关性质求得结果.
【详解】
由题意可得 ，
，此时不是函数的最值，
所以 不是对称轴，所以A错误；
，所以 不是对称中心，所以B错误；
由 ，
解得函数 的增区间是 ，所以C错误；
为偶函数，所以D正确；
故选：D
【点睛】
解得 或 （舍去），
所以 ，所以 .
故选：A
【点睛】
该题考查的是有关三角函数的化简求值问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，属于简单题目.
9．若函数 的图象向右平移 个单位长度后，得到 的图象，则下列关于函数 的说法中，正确的是（）
A．函数 的图象关于直线 对称
B．函数 的图象关于点 对称
C．函数 的单调递增区间为 ，
（1） 的值；
（2）若 ， ，且 ，求 的值
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）首先应用向量数量积坐标公式求得 ，结合 ，求得 ，得到结果；
（2）结合题的条件，利用同角三角函数关系式求得 ，结合角的范围以及（1）的结论，求得 ，再应用余弦和角公式求得 的值，结合角的范围求得 ，得到结果.
【详解】
（1）因为 ， ，
2．若向量 ， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据向量的加法和数乘运算法则求得结果.
【详解】
因为 ，所以 ，所以 .
故选：A
【点睛】
该题考查的是有关向量的加减运算与数乘运算法则，属于简单题目.
3． 弧度的角是（）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【答案】B
【解析】首先根据3弧度角的范围，求得结果.
【详解】
.
故答案为：
【点睛】
该题考查的是有关三角函数化简求值问题，涉及到的知识点有诱导公式，差角正弦公式，特殊角的三角函数值，属于简单题目.
13．已知向量 ， ，且 ，则 __________.
【答案】
【解析】利用向量共线定理即可得出.
【详解】
因为 ， ，所以 .
因为 ，所以 ，得 .
故答案为：
【点睛】
解得 ，所以 ，
则 ，又 ，
故向量 在向量 方向上的投影为 .
故选：C
【点睛】
该题考查的是有关向量在另一个向量方向上的投影的问题，涉及到的知识点有向量垂直的条件，向量数量积运算性质，向量在另一个向量方向上的投影公式，属于简单题目.
11．定义在 上的偶函数 ，在区间 上单调递增，已知 ， 是锐角三角形的两个内角，则 ， 的大小关系是（）
因为向量共线时，其方向是同向或反向，所以C正确；
故选：C.
【点睛】
该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量共线的条件，相等向量的条件，向量的运算性质，属于简单题目.
6．已知角 的终边过点 ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】首先根据三角函数的定义，求得 ，之后应用三角函数的诱导公式，化简求得结果.
A． B．
C． D．以上情况都有可能
【答案】A
【解析】由条件可得 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，由 ， 是锐角三角形的两个内角，得 ，从而得到 ，由正弦函数的单调性和诱导公式得到 ，再由 在区间 上的单调性，即可判断 的大小关系.
【详解】
因为函数 是定义在 上的偶函数，
在区间 上单调递增，
该题考查的是有关函数图象的变换以及三角函数的性质，在解题的过程中，熟练掌握基础知识是正确解题的关键，属于简单题目.
10．设向量 ， 满足 ， ，且 ，则向量 在向量 方向上的投影为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据平面向量数量积与投影的定义，计算对应的投影即可.
【详解】
因为 ，所以 ，
【详解】
由已知得 ，则 .
故选：D
【点睛】
该题考查的是有关三角函数的化简求值问题，涉及到的知识点有三角函数的定义，诱导公式，属于简单题目.
7．函数 是（）
A．最小正周期为 的奇函数B．最小正周期为 的偶函数
C．最小正周期为 的奇函数D．最小正周期为 的偶函数
【答案】B
【解析】首先根据诱导公式化简函数解析式，之后根据余弦函数的性质求得结果.
对于④， ，
当 时， ，
所以函数 在区间 上是减函数，所以④对，
故答案为：①②④
【点睛】
该题考查的是有关三角函数的性质，涉及到的知识点有利用诱导公式化简函数解析式，余弦函数的周期，正弦型函数的单调性，属于简单题目.
三、解答题
16．（1）求 的值；
（2）求 的值.
【答案】(1)1；（2）1
【解析】（1）利用诱导公式及三角函数的奇偶性化简可得值；
【详解】
（1）解：因为 ，所以 ，
所以 .
因为 ，所以 ，所以 .
（2）证明：因为 ，所以 .
因为 ，所以 ，即 与 共线.
因为 与 的有公共点 ，所以 ， ， 三点共线.
【点睛】
该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有平面向量基本定理，利用向量共线证得三点共线，属于简单题目.
20．已知向量 ， ，且 .
（2）利用诱导公式和同角三角函数关系式化简即可.
【详解】Байду номын сангаас
（1）原式
.
（2）原式
.
【点睛】
该题考查的是有关三角函数化简求值的问题，涉及到的知识点有诱导公式，同角三角函数关系式，属于简单题目.
17．已知向量 ， 满足 ，且 .
（1）求 与 夹角的大小；
（2）求 的值.
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）运用向量的平方即为模的平方，以及向量的数量积的定义和夹角范围，即可求得夹角；
【详解】
（1） ，
当 时， ，所以 ，即 .
所以 ，所以
故原不等式的解集为 .
（2）当 时， ，
当 时，则 ，所以 .
当 时， ，所以 ，所以 ；
当 时， ，所以 ，所以 .
综上， 或 .
【点睛】
该题考查的是有关三角函数的问题，涉及到的知识点有利用辅助角公式化简函数解析式，求三角不等式的解集，利用两个函数值没有相等的，等价于两个函数的值域交集为空集，从而得到参数的范围，属于中档题目.
2018-2019学年河南省新乡市高一下学期期中考试数学试题
一、单选题
1．下列各角中与 终边相同的角是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据与角 终边相同的角的特征可以求得结果.
【详解】
由题可得，与 终边相同的角是 ，
当 时， ，
即与 终边相同的角是 ，
故选:B
【点睛】
该题考查的是有关角的终边相同的角的表示方法，属于简单题目.
该题考查的是有关利用向量共线求参数的问题，涉及到的知识点有向量共线坐标所满足的条件，属于简单题目.
14．已知一个扇形的周长为 ，则当该扇形的半径 __________ 时，面积最大.
【答案】2
【解析】首先设出扇形的半径和弧长，建立关系式，结合二次函数的图象与性质求解最值即可.
【详解】
设扇形的半径为 ，弧长为 ，则 ，
（2）先利用平面向量数量积的运算求出 与 ，然后开方即可求得答案.
【详解】
（1）设 ， 的夹角为 ， ，
又 ，所以 ，所以 ，即 .
又 ，所以 与 的夹角为 ，
（2）因为 ， ，
所以 .
【点睛】
该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量数量积的定义，向量夹角，向量的模，属于简单题目.
18．已知函数 ， ，且函数 在区间 上有最大值，无最小值。
所以
因为 ，所以 ，即 .
（2）因为 ， ，所以 .
因为 ， ，所以 .
因为 ，所以 ，
所以 .
因为 ， ，所以 ，所以 .
【点睛】
该题考查的是有关三角恒等变换的问题，涉及到的知识点有向量数量积坐标公式，同角三角函数关系式，余弦的和角公式，利用角的三角函数值的大小，结合角的范围求角的大小，属于简单题目.
19．如图所示，在 中， ， ， 与 相交于点 .
（1）用 ， 表示 ， ；
（2）若 ，证明： ， ， 三点共线.
【答案】（1） , ；（2）见解析
【解析】（1）首先根据题中所给的条件，可以求得 ，从而有 ，将 代入，整理求得结果，同理求得 ；
（2）根据条件整理得到 ，从而得到 与 共线，即 ， ， 三点共线，证得结果.
【详解】
因为 ，
所以函数 是周期为 的偶函数.
故选：B
【点睛】
该题考查的是有关三角函数的性质的问题，涉及到的知识点有诱导公式，余弦型函数的性质，属于简单题目.
8．已知 ，那么 （）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得 ， ，从而求得 的值.
【详解】
因为 ，所以 ，
【详解】
（1）因为 ，又函数 在区间 上有最大值，无最小值.
所以函数 在 处取得最大值.
所以 ，即 .
又因为 ，所以 ，所以 .
（2）由 ，
得 .
得函数 的单调递增区间是 .
由 ，
得函数 的单调递减区间是 .
【点睛】
该题考查的是有关三角函数的问题，涉及到的知识点有正弦函数图象的对称性，根据条件求函数解析式，函数的单调增区间的求解，属于简单题目.
其中正确的命题是__________（填写所有正确命题的序号）
【答案】①②④
【解析】首先需要对命题逐个分析，利用三角函数的相关性质求得结果.
【详解】
对于①， ，所以两个函数的图象相同，所以①对；
对于②，
，所以 的最小正周期是 ，所以②对；
对于③，因为 ，所以 ， ， ，
因为 ，所以函数 的图象不关于直线 对称，所以③错，
A．若 且 ，则
B．若 ，则
C．向量 （ ）且 ，则向量 与 的方向相同或相反
D． 与 方向相反，则 与 的方向相同
【答案】C
【解析】首先根据向量的性质，对选项逐一分析，得到其正确性，得到结果.
【详解】
因为当 时， 与 不一定平行，所以A不正确；
因为模相等的两个向量不一定相等，所以B不正确.
因为 与 的大小不确定，所以D不正确.
（2）求 的单调区间。
【答案】（1） ；（2）递增区间是 ，递减区间是 .
【解析】（1）根据题意， ，且函数 在区间 上有最大值，无最小值，从而得到函数 在 处取得最大值，所以得到 ，即 ，结合题中所给的条件 ，从而求得 ，进而得到函数解析式；
（2）利用整体角思维，结合正弦曲线的单调增区间，得到对应的条件，从而求得函数的单调区间.
21．已知函数 .
（1）若 ，求不等式 的解集；
（2）若 ，对于任意的 ， 都有 ，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） 或
【解析】（1）先用辅助角公式化简函数解析式，再将 代入，得到 ，得到不等式 ，从而得到 ，化简求得 ，进而得到不等式的解集；
（2）当 时，求得函数 ，分情况讨论 的范围，利用对应的条件，等价结果为两个函数的值域交集为空集，从而求得参数的范围.
【详解】
因为 ，所以 弧度的角是第二象限角.
故选：B
【点睛】
该题考查的是有关象限角的问题，属于简单题目.
4．已知 ， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据正切的和角公式直接求解即可.
【详解】
故选：D
【点睛】
该题考查的是有关应用正切的和角公式求正切的问题，属于简单题目.
5．下列关于向量的说法中正确的是（）
所以函数 在区间 上单调递减.
因为 ， 是锐角三角形的两个内角，
所以 ，所以 ，
所以 ，
即 ，所以 .
故选：A
【点睛】
该题考查的是有关函数值比较大小的问题，涉及到的知识点有锐角三角形的特征，偶函数图象的对称性，正弦函数的单调性，属于简单题目.
二、填空题
12． __________.
【答案】
【解析】利用诱导公式以及正弦差角公式化简式子，之后利用特殊角的三角函数值直接计算即可.
扇形的面积为 ，
所以当 时，面积最大为 .
故答案为：2
【点睛】
该题考查的是有关扇形的面积的最值的问题，涉及到的知识点有扇形的周长，扇形的面积，二次函数的最值，属于简单题目.
15．下列四个命题：
①函数 与 的图象相同；
②函数 的最小正周期是 ；
③函数 的图象关于直线 对称；
④函数 在区间 上是减函数。
D．函数 是偶函数
【答案】D
【解析】首先利用函数图象变换规律，求得 的解析式，之后结合正弦型函数的有关性质求得结果.
【详解】
由题意可得 ，
，此时不是函数的最值，
所以 不是对称轴，所以A错误；
，所以 不是对称中心，所以B错误；
由 ，
解得函数 的增区间是 ，所以C错误；
为偶函数，所以D正确；
故选：D
【点睛】
解得 或 （舍去），
所以 ，所以 .
故选：A
【点睛】
该题考查的是有关三角函数的化简求值问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，属于简单题目.
9．若函数 的图象向右平移 个单位长度后，得到 的图象，则下列关于函数 的说法中，正确的是（）
A．函数 的图象关于直线 对称
B．函数 的图象关于点 对称
C．函数 的单调递增区间为 ，
（1） 的值；
（2）若 ， ，且 ，求 的值
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）首先应用向量数量积坐标公式求得 ，结合 ，求得 ，得到结果；
（2）结合题的条件，利用同角三角函数关系式求得 ，结合角的范围以及（1）的结论，求得 ，再应用余弦和角公式求得 的值，结合角的范围求得 ，得到结果.
【详解】
（1）因为 ， ，
2．若向量 ， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据向量的加法和数乘运算法则求得结果.
【详解】
因为 ，所以 ，所以 .
故选：A
【点睛】
该题考查的是有关向量的加减运算与数乘运算法则，属于简单题目.
3． 弧度的角是（）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【答案】B
【解析】首先根据3弧度角的范围，求得结果.
【详解】
.
故答案为：
【点睛】
该题考查的是有关三角函数化简求值问题，涉及到的知识点有诱导公式，差角正弦公式，特殊角的三角函数值，属于简单题目.
13．已知向量 ， ，且 ，则 __________.
【答案】
【解析】利用向量共线定理即可得出.
【详解】
因为 ， ，所以 .
因为 ，所以 ，得 .
故答案为：
【点睛】
解得 ，所以 ，
则 ，又 ，
故向量 在向量 方向上的投影为 .
故选：C
【点睛】
该题考查的是有关向量在另一个向量方向上的投影的问题，涉及到的知识点有向量垂直的条件，向量数量积运算性质，向量在另一个向量方向上的投影公式，属于简单题目.
11．定义在 上的偶函数 ，在区间 上单调递增，已知 ， 是锐角三角形的两个内角，则 ， 的大小关系是（）
因为向量共线时，其方向是同向或反向，所以C正确；
故选：C.
【点睛】
该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量共线的条件，相等向量的条件，向量的运算性质，属于简单题目.
6．已知角 的终边过点 ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】首先根据三角函数的定义，求得 ，之后应用三角函数的诱导公式，化简求得结果.
A． B．
C． D．以上情况都有可能
【答案】A
【解析】由条件可得 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，由 ， 是锐角三角形的两个内角，得 ，从而得到 ，由正弦函数的单调性和诱导公式得到 ，再由 在区间 上的单调性，即可判断 的大小关系.
【详解】
因为函数 是定义在 上的偶函数，
在区间 上单调递增，
该题考查的是有关函数图象的变换以及三角函数的性质，在解题的过程中，熟练掌握基础知识是正确解题的关键，属于简单题目.
10．设向量 ， 满足 ， ，且 ，则向量 在向量 方向上的投影为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据平面向量数量积与投影的定义，计算对应的投影即可.
【详解】
因为 ，所以 ，
【详解】
由已知得 ，则 .
故选：D
【点睛】
该题考查的是有关三角函数的化简求值问题，涉及到的知识点有三角函数的定义，诱导公式，属于简单题目.
7．函数 是（）
A．最小正周期为 的奇函数B．最小正周期为 的偶函数
C．最小正周期为 的奇函数D．最小正周期为 的偶函数
【答案】B
【解析】首先根据诱导公式化简函数解析式，之后根据余弦函数的性质求得结果.
对于④， ，
当 时， ，
所以函数 在区间 上是减函数，所以④对，
故答案为：①②④
【点睛】
该题考查的是有关三角函数的性质，涉及到的知识点有利用诱导公式化简函数解析式，余弦函数的周期，正弦型函数的单调性，属于简单题目.
三、解答题
16．（1）求 的值；
（2）求 的值.
【答案】(1)1；（2）1
【解析】（1）利用诱导公式及三角函数的奇偶性化简可得值；
【详解】
（1）解：因为 ，所以 ，
所以 .
因为 ，所以 ，所以 .
（2）证明：因为 ，所以 .
因为 ，所以 ，即 与 共线.
因为 与 的有公共点 ，所以 ， ， 三点共线.
【点睛】
该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有平面向量基本定理，利用向量共线证得三点共线，属于简单题目.
20．已知向量 ， ，且 .
（2）利用诱导公式和同角三角函数关系式化简即可.
【详解】Байду номын сангаас
（1）原式
.
（2）原式
.
【点睛】
该题考查的是有关三角函数化简求值的问题，涉及到的知识点有诱导公式，同角三角函数关系式，属于简单题目.
17．已知向量 ， 满足 ，且 .
（1）求 与 夹角的大小；
（2）求 的值.
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）运用向量的平方即为模的平方，以及向量的数量积的定义和夹角范围，即可求得夹角；
【详解】
（1） ，
当 时， ，所以 ，即 .
所以 ，所以
故原不等式的解集为 .
（2）当 时， ，
当 时，则 ，所以 .
当 时， ，所以 ，所以 ；
当 时， ，所以 ，所以 .
综上， 或 .
【点睛】
该题考查的是有关三角函数的问题，涉及到的知识点有利用辅助角公式化简函数解析式，求三角不等式的解集，利用两个函数值没有相等的，等价于两个函数的值域交集为空集，从而得到参数的范围，属于中档题目.
2018-2019学年河南省新乡市高一下学期期中考试数学试题
一、单选题
1．下列各角中与 终边相同的角是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据与角 终边相同的角的特征可以求得结果.
【详解】
由题可得，与 终边相同的角是 ，
当 时， ，
即与 终边相同的角是 ，
故选:B
【点睛】
该题考查的是有关角的终边相同的角的表示方法，属于简单题目.
该题考查的是有关利用向量共线求参数的问题，涉及到的知识点有向量共线坐标所满足的条件，属于简单题目.
14．已知一个扇形的周长为 ，则当该扇形的半径 __________ 时，面积最大.
【答案】2
【解析】首先设出扇形的半径和弧长，建立关系式，结合二次函数的图象与性质求解最值即可.
【详解】
设扇形的半径为 ，弧长为 ，则 ，
（2）先利用平面向量数量积的运算求出 与 ，然后开方即可求得答案.
【详解】
（1）设 ， 的夹角为 ， ，
又 ，所以 ，所以 ，即 .
又 ，所以 与 的夹角为 ，
（2）因为 ， ，
所以 .
【点睛】
该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量数量积的定义，向量夹角，向量的模，属于简单题目.
18．已知函数 ， ，且函数 在区间 上有最大值，无最小值。
所以
因为 ，所以 ，即 .
（2）因为 ， ，所以 .
因为 ， ，所以 .
因为 ，所以 ，
所以 .
因为 ， ，所以 ，所以 .
【点睛】
该题考查的是有关三角恒等变换的问题，涉及到的知识点有向量数量积坐标公式，同角三角函数关系式，余弦的和角公式，利用角的三角函数值的大小，结合角的范围求角的大小，属于简单题目.
19．如图所示，在 中， ， ， 与 相交于点 .
（1）用 ， 表示 ， ；
（2）若 ，证明： ， ， 三点共线.
【答案】（1） , ；（2）见解析
【解析】（1）首先根据题中所给的条件，可以求得 ，从而有 ，将 代入，整理求得结果，同理求得 ；
（2）根据条件整理得到 ，从而得到 与 共线，即 ， ， 三点共线，证得结果.
【详解】
因为 ，
所以函数 是周期为 的偶函数.
故选：B
【点睛】
该题考查的是有关三角函数的性质的问题，涉及到的知识点有诱导公式，余弦型函数的性质，属于简单题目.
8．已知 ，那么 （）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得 ， ，从而求得 的值.
【详解】
因为 ，所以 ，
【详解】
（1）因为 ，又函数 在区间 上有最大值，无最小值.
所以函数 在 处取得最大值.
所以 ，即 .
又因为 ，所以 ，所以 .
（2）由 ，
得 .
得函数 的单调递增区间是 .
由 ，
得函数 的单调递减区间是 .
【点睛】
该题考查的是有关三角函数的问题，涉及到的知识点有正弦函数图象的对称性，根据条件求函数解析式，函数的单调增区间的求解，属于简单题目.
其中正确的命题是__________（填写所有正确命题的序号）
【答案】①②④
【解析】首先需要对命题逐个分析，利用三角函数的相关性质求得结果.
【详解】
对于①， ，所以两个函数的图象相同，所以①对；
对于②，
，所以 的最小正周期是 ，所以②对；
对于③，因为 ，所以 ， ， ，
因为 ，所以函数 的图象不关于直线 对称，所以③错，
A．若 且 ，则
B．若 ，则
C．向量 （ ）且 ，则向量 与 的方向相同或相反
D． 与 方向相反，则 与 的方向相同
【答案】C
【解析】首先根据向量的性质，对选项逐一分析，得到其正确性，得到结果.
【详解】
因为当 时， 与 不一定平行，所以A不正确；
因为模相等的两个向量不一定相等，所以B不正确.
因为 与 的大小不确定，所以D不正确.