2006年南京大学自主招生物理试卷

x y
2006年南京大学自主招生物理卷试题及详解
第一类：力学问题
试题1、绳长为L ，两接点间距为d ，士兵装备及滑轮质量为m ，不计摩擦力及绳子质量，士兵从一端滑到另一端过程中。

求：⑴士兵速度最大时绳上的张力 ？
⑵速度最大值v ？
【解析】 这是一个运动学问题，把士兵当
成质点。

绳长为L ，两固定点之间的距离为d 。

在士兵从一端滑到另一端过程中。

⑴当士兵速度最大时则该时刻的加速度为零。

对士兵受力分析重力及绳子拉力。

因为士兵是沿着绳子滑过去且不计摩擦，所以两端绳子的拉力大小相同。

设速度最大时刻即加速度为零瞬间左、右两端绳子与水平方向的夹角为
αβ、。

则cos cos sin sin T T T T mg αβαβ=⎧⎨
+=⎩
速度最大时刻绳子的拉力
2sin mg T α=
； 由几何关系得cos cos d
L αβ==
则
sin α=
；所以速度最大时刻绳子张力
T =
士兵在整个运动过程中机械能守恒，从第1问的解答可知士兵速度最大时处绳子
的正中间，也是两固定端的正中间，即如图。

⑵求速度的最大值max v ，则由机械能守恒：2
max 12mv mg h
=∆
由几何关系及已知可得
22
2L d h L -∆
速度的最大值
max v =
⑶求士兵运动的轨迹方程
绳子两端固定，所以可知士兵作一部分椭圆轨道运动，建立坐标如图可得士兵运动的轨迹方程：
22
2221()24x y L L d +=- 即2222214x y L
L d +=- ； [,]22d d x ∈-，y ＞0
试题2、在光滑的水平面上有一带有光滑圆弧轨道的斜面，质量为m ，圆弧轨道半径为R ，圆心角为60°；一质量也为m 的物体以v 0向斜面运动。

⑴求速度v 0的范围,使物体不能飞出轨道；
⑵求当0v =
⑶求当0v =
【解析】光滑的水平面上有物体m 和斜面体m ，物体m 以v 0速度向斜面运动。

当物体速度v 0足够小，例如接近了零，那么物体就冲不上斜面，它就不可能飞出轨道。

当物体m 的速度v 0足够大，那么物体m 就会飞出斜面。

设物体飞出斜面体时临界值为v x ，这样物体m 刚刚运动到斜面最高点且和斜面有共同速度v 共。

由动量守恒定律：
()x mv m m v =+共，解得
2x v v =
共
由机械能守恒定律：
22112(1cos60)22x mv mv mgR =⋅+-︒共
解得
x v =所以物体m 不飞出斜面轨道的运动速度v 0范围为：0＜v 0
⑵当
0v =
时大于x v =
所以物体能飞出斜面体。

设物体飞离斜面体时的速度为v 1，斜面的速度为v 2，则由动量守恒定律。

12cos60m mv mv ⋅=︒+
由机械能守恒：
222
12111(1cos60)
222m mv mv mgR ⋅=++-︒
解得
22v v =或
R R
图（甲）
将数据
'
22v v =
=
2v =值应舍
去，所以物体离开斜面时斜面体m
的速度大小为2v =
⑶求当0v =
当物体以0v =
滑向斜面，由⑵问的计算可得物体离开斜面体瞬间的速度
1v =
，紧接着物体作斜抛运动，竖直分量
1sin 60v v ⊥=︒==
最大高度：
2
2
322v h R g === ；所以物体能达到的最大高度32R h =。

第二类：电磁学问题
试题3、在如下图所示电路中：图（甲），图（乙） ⑴求电容器左极板上的电量；
⑵电流表电阻不计，求通过电流表上的电流的大小和方向。

【解析】 ⑴求电容器左极板上的电量，也就是求电容C 上的带电量。

稳恒直流
电对于电容器相当于开路，对甲图电路进行分析，可作等效电路图如下。

可得电容器两极板间的电压差
(
)236E E E
U =-=。

电容器上的带电量
6CE Q CU ==。

⑵ 由于电流计电阻不计，相当于导线但可测量电流；
R R
图（乙）
R R 图（甲）
R R
图（乙） R R
图（乙）
对乙图进行电路分析也可作等效电路图。

由全电路欧姆定律可得干路电路中的总电流
62723
E E E
I R R
R R
=
=
=
+总
，则通过电阻2R 的电流
127E
I R =。

通过与2R 电阻并联的电阻R 的电流为
247E
I R =。

而通过下面两个并联电阻R 的电流都相同且大小为
337E
I R =。

所
以可得通过电流表○
A 的电流7A E
I R =
，电流的方向为水平
向左即电流流向如右图：
试题4、如图所示，可转动圆环上有三个金属条，半径为r ，电阻不计，在圆心与圆环上引出两导线，接一电阻为R 的负载，圆环上绕有足够长的质量不计的的细线，细线另一端系有一质量为m 的物体。

磁感应强度为B ，不计摩擦：
⑴当物体速度为v 时，求此时电阻上通过的电流；
⑵求物体运动时的最大速度v m 。

【解析】可转动的圆环上绕有足够长的细绳，在物体m 重力作用下，圆环先作变加速转动最后匀速转动。

当物体运动速度为v 时，则圆环边沿上
的点的线速度也是v ，那么三根金属条同时切割磁
感线产生的感应电动势
2v
E Br
=，三根金属条相
当于三个相同电源并联。

则此时通过电阻的电流
为
2I Brv I R R =
=。

当物体匀速运动时速度最大为v m ，圆环匀速转动。

方法一：圆环匀速转动，处于转动平衡，由力矩平衡可得：
1()3
322m Brv r
mg r rB R ⋅=⋅⋅⋅⨯
224m mgR v B r =
方法二：物体匀速运动 由能量守恒可得： 22()m
m v Br
mgh mg v t R t R =⋅=⋅
物体运动最大速度
224m mgR
v B r =。

第三类：光学问题
试题5、光导纤维由内芯折射率n 1和外壳n 2的两种透明材料组成，n 1＞n 2，导线长度为L 。

⑴求入射角θ的范围，使光能从一端传到另一端 ？ ⑵改变θ的值，求光从一端传到另一端的最大时间差m t ∆？
【解析】光导纤维由内芯和外壳两种透明材料组成，使光从一端传到另一端，则该光束就应当不会从透明外壳射出，而不射出的极限条件就受全反射临界角的限制。

因为n 1＞n 2，则内芯和外壳的两种透明材料的界面发生全反射的临界角：
2
1sin n
C n =，可得
21arcsin
n C n =。

所以2C πθ-≥就可以发全反射即210arcsin
n n πθ-≤≤2 因此入射角在 2
10arcsin
n n π
θ-≤≤
2
范围内变化，光线就能从光导纤维的一端射到
另一端。

⑵求θ角变化时，光线从一端传到另一端的最大时间差m t ∆
当θ=0时，光程最短，光传播时间最小，所以
1
min 11
L n L L t C v C n ⋅=
==；
当
2
1arcsin
2
n n π
θ=
-时光程最长，光传播时间最大，所以
2
1
max 1
/sin(arcsin
)n L n t v =
，
即
21max
2n L t C n =⋅。

所以光从一端传到另一端的最大时间差
11
max min 2
(1)m L n n t t t C n ⋅∆=-=
-。