(常考题)人教版高中数学必修第二册第五单元《概率》检测(答案解析)(5)

一、选择题
1．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”.下图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”，其中正方形ABCD 内部为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的.我们将图中阴影所在的四个三角形称为同一片“风叶”的概率为（ ）
A ．
37
B ．
47
C ．
314
D ．
1114
2．抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A 或事件B 至少有一个发生的概率为（ ） A ．
23
B ．
13
C ．1 2
D ．
56
3．斐波那契数列（Fibonacci sequence ）又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci ）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．在数学上，斐波纳契数列被以下递推的方法定义：数列{}n a 满足：121a a ==，21++=+n n n a a a ，现从数列的前2019项中随机抽取1项，能被3整除的概率是（ ） A ．
1
4 B ．
252
2019
C ．
504
2019
D ．
505
2019
4．甲､乙､丙､丁四位同学站成一排照相,则甲.乙两人中至少有一人站在两端的概率为（ ） A ．56
B ．12
C ．
13 D ．
23
5．将一颗质地均匀的骰子（各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6）先后抛掷3次，至少出现1次6点向上的概率是（ ）．
A ．
5216
B ．
25
216
C ．
31216
D ．
91
216
6．从分别写有a ，b ，c ，d ，e 的5个乒乓球中，任取2个，这2个乒乓球上的字母恰好是按字母顺序相邻排列的概率为（ ）. A ．
25
B ．
15
C ．
35
D ．
310
7．如果一个三位数的十位上的数字比个位和百位上的数字都大，则称这个三位数为“凸数”（如132），现从集合{}1,2,3,4中任取3个互不相同的数字，组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为（ ） A ．
23
B ．
112
C ．
16
D ．
13
8．设两个独立事件A 和B 同时不发生的概率是p ,A 发生B 不发生与A 不发生B 发生的概率相同,则事件A 发生的概率为( )
A ．2p
B ．
2
p C ．1 D ．19．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”，从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为 A ．
310
B ．
25
C ．
12
D ．
35
10．“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为8元，被随机分配为1.72元，1.83元，2.28元，1.55元，0.62元， 5份供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率是 （ ） A ．
310
B ．
25
C ．
12
D ．
35
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明
参考答案
11．有3位男生和2位女生在周日去参加社区志愿活动，从该5位同学中任取3人，至少有1名女生的概率为（ ） A ．
110
B ．
25
C ．
35
D ．
910
12．如图所示，1，2，3表示三个开关，若在某段时间内它们每个正常工作的概率都是0.9，那么此系统的可靠性是（ ）
A ．0.999
B ．0.981
C ．0.980
D ．0.729
13．五一节放假期间，甲去北京旅游的概率为
13
，乙、丙去北京旅游的概率分别为14、
1
5
，假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为（ ）
A ．
5960
B ．
35
C ．
12
D ．
160
二、解答题
14．在新冠肺炎疫情期间，为了认真贯彻落实北京市教委关于做好中小学生延期开学期间“停课不停学”工作要求，各校以教师线上指导帮助和学生居家自主学习相结合的教学模式积极开展工作.为了解学生居家自主学习的情况，从某校高二年级随机抽取了100名学生，获得了他们一天中用于居家自主学习的时间分别在[)[)[)0,1,1,2,2,3，
[)[)[)3,4,4,5,5,6，[)[]677,8,,（单位：小时）的数据，整理得到的数据绘制成频率分布
直方图（如图）.
（1）由图中数据，求a 的值，并估计从该校高二年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习的时间在[)3,4的概率；
（2）现从抽取的100名学生该天居家自主学习的时间在[)0,1和[)1,2的人中任选2人，进
一步了解学生的具体情况，求其中学习时间在[)0,1中至少有1人的概率；
（3）假设同一时间段中的每个数据可用该时间段的中点值代替，试估计样本中的100名学生该天居家自主学习时间的平均数.
15．袋中装有6个形状、大小完全相同的球，其中黑球2个、白球2个、红球2个，规定取出一个黑球记0分，取出一个白球记1分，取出一个红球记2分，抽取这些球的时候，谁也无法看到球的颜色，首先由甲取出3个球，并不再将它们放回原袋中，然后由乙取出剩余的3个球，规定取出球的总积分多者获胜. （1）求甲、乙成平局的概率；
（2）从概率的角度分析先后取球的顺序是否影响比赛的公平性.
16．树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，现从参与调查的人群中随机选出20人的样本，并将这20人按年龄分组：第1组[)15,25，第2组[)25,35，第3组[)35,45，第4组[)45,55，第5组
[]55,65，得到的频率分布直方图如图所示
（1）求a 的值．
（2）根据频率分布直方图，估计参与调查人群的样本数据的中位数（保留两位小数）． （3）若从年龄在[)15,35的人中随机抽取两位，求两人恰有一人的年龄在[)25,35内的概率．
17．某校高二年级学生全部参加了居家线上趣味运动会的个人跳绳项目，现从中随机抽取40名学生的跳绳测试成绩，整理数据并按分数段[)40,50，[)50,60，[)60,70，
[)70,80，[)80,90，[]90,100进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点
值代替，则得到跳绳成绩的折线图（如图）.
（1）跳绳成绩大于或等于90分的学生常被称为“跳绳小达人”.已知该校高二年级有1000名学生，试估计高二全年级中“跳绳小达人”的学生人数：
（2）为了了解学生居家体育锻炼情况，现从跳绳成绩在[)60,70和[)80,90的样本学生中随机抽取2人，记X 表示在抽取的2名学生中体育成绩在[)60,70的学生人数，求X 的分布列：
（3）假设甲、乙、丙三名学生的跳绳成绩分别为a ，b ，c ，且分别在[)70,80，
[)80,90[]90,100三组中，其中a ，b ，c ∈N .当数据a ，b ，c 的方差2s 最小时，写出a ，
b ，
c 的值.（结论不要求证明）
（注：()()()
222
2
121n
s x x x x x
x n ⎡
⎤=
-+-+-⎢
⎥⎣⎦
，其中x 为数据1x ，2x ，…，n x 的平均
数）
18．高考改革后，学生除了语数外三门必选外，可在A 类科目：物理、化学、生物和B 类科目：政治、地理、历史共6个科目中任选3门． （1）求小明同学选A 类科目数X 的分布列．
（2）求小明同学从A 类和B 类科目中均至少选择1门科目的概率．
19．2018年，在《我是演说家》第四季这档节目中，英国华威大学留学生游斯彬的“数学之美”的演讲视频在微信朋友圈不断被转发，他的视角独特，语言幽默，给观众留下了深刻的印象．某机构为了了解观众对该演讲的喜爱程度，随机调查了观看了该演讲的140名观众，得到如下的列联表：（单位：名）
男 女 总计 喜爱
40
60
100
（1）根据以上列联表，问能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为观众性别与喜爱该演讲有关．（精确到0．001）
（2）从这60名男观众中按对该演讲是否喜爱采取分层抽样，抽取一个容量为6的样本，然后随机选取两名作跟踪调查，求选到的两名观众都喜爱该演讲的概率．
附：临界值表
参考公式：
2
2
()
=
)()()()
n ad bc
K
a b c d a c b d
（
-
++++
，+
n a b c d
=++．
20．2018年2月9~25日，第23届冬奥会在韩国平昌举行，4年后，第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行，为了宣传冬奥会，某大学在平昌冬奥会开幕后的第二天，从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否收看奥运会开幕式进行了问卷调查，统计数据如下：
（1）根据上表说明，能否有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关？
（2）现从参与收看了开幕式的学生中，采用分层抽样的方法选取8人，参加2022年北京冬奥会志愿者宣传活动.
①问男、女学生各选取多少人？
②若从这8人中随机选取2人到校广播站宣传冬奥会，求恰好选到一名男生为主播一名女
生为副播的概率P.附：
2
2
()
()()()()
n ad bc
k
a b c d a c b d
-
=
++++
，其中n a b c d
=+++.
21．先后抛掷两枚骰子，每次各1枚，求下列事件发生的概率： （1）事件A ：“出现的点数之和大于3” （2）事件B ：“出现的点数之积是3的倍数”.
22．为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为
35，3
4
；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为23，2
5
.甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响. （1）从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？ （2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.
23．树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占80%.现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[)15,25，第2组
[)25,35，第3组[)35,45，第4组[)45,55，第5组[)55,65，得到的频率分布直方图如
图所示：
（1）求出样本的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
（2）现在要从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组中抽到2人的概率.
24．2020年是全面建成小康社会目标实现之年，也是全面打赢脱贫攻坚战收官之年.某乡镇在2014年通过精准识别确定建档立卡的贫困户共有500户，结合当地实际情况采取多项精准扶贫措施，每年新脱贫户数如下表 年份 2015 2016 2017 2018 209 年份代码x 1 2 3 4 5 脱贫户数y
55
68
80
92
100
（1）根据2015-2019年的数据，求出y关于x的线性回归方程y bx a
=+，并预测到2020年底该乡镇500户贫困户是否能全部脱贫；
（2）2019年的新脱贫户中有20户五保户，20户低保户，60户扶贫户.该乡镇某干部打算按照分层抽样的方法对2019年新脱贫户中的5户进行回访，了解生产生活、帮扶工作开展情况.为防止这些脱贫户再度返贫，随机抽取这5户中的2户进行每月跟踪帮扶，求抽取的2户中至少有1户是扶贫户的概率.
参考数据：
5
1
15526838049251001299 i i
i
x y
=
=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
∑
参考公式：()() ()
11
2
2
2
11
n n
i i i i
i i
n n
i i
i i
x y nx y x x y y
b
x nx x x
==
==
---
==
--
∑∑
∑∑
，a y bx
=-
25．2020年开始，山东推行全新的高考制度，新高考不再分文理科，采用“3+3”模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科满分100分，2020年初受疫情影响，全国各地推迟开学，开展线上教学．为了了解高一学生的选科意向，某学校对学生所选科目进行线上检测，下面是100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩，以组距20分成7
组：[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]，画出频率分布直方图如图所示．
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）由频率分布直方图；
（i）求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数；
（ii）估计这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）为了进一步了解选科情况，由频率分布直方图，在物理、化学、生物三科总分成绩在
[220，240）和[260，280）的两组中，用分层随机抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生来自不同组的概率． 26．某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A ，B ，C ，D 四个等级.加工业务约定：对于A 级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D 级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．A 解析：A 【分析】
由从“数学风车”的八个顶点中任取两个顶点，得到基本事件的个数为2
8C 种，这两个顶点取自同一片“风叶”的基本事件有2
34C 种，结合古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】
由题意，从“数学风车”的八个顶点中任取两个顶点的基本事件有2
828C =种，
其中这两个顶点取自同一片“风叶”的基本事件有2
34C 12=， 根据古典概型的概率计算公式，可得所求概率123287
P ==. 故选：A. 【点睛】
本题主要考查了古典概型的概率计算，以及组合的概念及组合数的计算，其中解答中正确
理解题意，根据组合数的计算公式求得基本事件的总数及所求事件所含有的基本事件的个数是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.
2．A
解析：A 【分析】
由古典概型概率公式分别计算出事件A 和事件B 发生的概率，又通过列举可得事件A 和事件B 为互斥事件，进而得出事件A 或事件B 至少有一个发生的概率即为事件A 和事件B 的概率之和． 【详解】
事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“不小于5的点数出现”， ∴P (A )2163=
=，P (B )2163
==， 又小于5的偶数点有2和4，不小于5的点数有5和6， 所以事件A 和事件B 为互斥事件，
则一次试验中，事件A 或事件B 至少有一个发生的概率为 P （A ∪B ）＝P (A )+P (B )112
333
=+=， 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查古典概型计算公式，以及互斥事件概率加法公式的应用，属于中档题．
3．C
解析：C 【分析】
依次写出数列各项除以3所得余数，寻找后可得结论． 【详解】
根据斐波纳契数列的定义，数列各项除以3所得余数依次为：1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,
，
余数数列是周期数列，周期为8，201925283=⨯+，所以数列的前2019项中能被3整除的项有2522504⨯=，所求概率为504
2019
P =． 故选：C ． 【点睛】
本题考查古典概型，考查斐波纳契数列，考查数列的周期性．解题关键是依次写出波纳契数列各项除以3所得余数形成的新数列．
4．A
解析：A 【分析】
本题先求基本事件总数，再求要求事件是基本事件个数，最后根据古典概型解题即可. 【详解】
∵甲､乙､丙､丁四位同学站成一排照相，
基本事件总数4
424n A ==，
甲､乙两人中至少有一人站在两端包含的基本事件个数422
42220m A A A =-= ∴甲,乙两人中至少有一人站在两端的概率为：205246
m P n ===.. 故选：A. 【点睛】
本题考查古典概型，是简单题.
5．D
解析：D 【分析】
根据正难则反原则，先求出“抛掷3次都没有出现6点向上”事件的概率，由对立事件的概率性质，计算可得答案. 【详解】
解：将一颗质地均匀的骰子先后掷3次，这3次之间是相互独立， 记事件A 为“抛掷3次，至少出现一次6点向上”， 则A 为“抛掷3次都没有出现6点向上”，
记事件i B 为“第i 次中，没有出现6点向上”，1,2,3i =，
则123A B B B =，又()56i P B =，所以()
3
51256216
P A ⎛⎫== ⎪⎝⎭，
所以()()
12591
11216216
P A P A =-=-=. 故选：D. 【点睛】
本题考查对立事件的性质和概率计算，利用了正难则反的原则，属于基础题.
6．A
解析：A 【分析】
基本事件总数2
510n C ==，利用列举法求出这2个乒乓球上的字母恰好是按字母顺序相邻
排列包含的基本事件有4个，由此能求出这2个乒乓球上的字母恰好是按字母顺序相邻排
列的概率． 【详解】
解：从分别写有a ，b ，c ，d ，e 的5个乒乓球中，任取2个， 基本事件总数25
10n C ==，
这2个乒乓球上的字母恰好是按字母顺序相邻排列包含的基本事件有：
ab ，bc ，cd ，de ，共4个，
∴这2个乒乓球上的字母恰好是按字母顺序相邻排列的概率为42105
p =
=．
故选：A ． 【点睛】
本题考概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7．D
解析：D 【分析】
讨论十位上的数为4，十位上的数为3，共8个，再计算概率得到答案. 【详解】
当十位上的数为4时，共有2
36A =个；当十位上的数为3时，共有222A =个，共8个.
故3
4881243
p A =
==. 故选：D . 【点睛】
本题考查了概率的计算，分类讨论是解题的关键.
8．C
解析：C 【分析】
利用A 发生B 不发生与A 不发生B 发生的概率相同，事件A 和B 同时不发生的概率是p ，建立方程，即可求得事件A 发生的概率． 【详解】
根据题意设事件A 发生的概率为a ，事件B 发生的概率为b ， 则有(1)(1)(1)(1)a b p a b a b --=⎧⎨
-=-⎩①
②
由②知a b =，代入①
得1a =
故选：C . 【点睛】
本题主要考查相互独立事件的概率的计算，解题的关键是正确理解题意，列出方程，属于中档题.
9．C
解析：C 【解析】 【分析】
从五种物质中随机抽取两种，所有抽法共有10种，而相克的有5种情况，得到抽取的两种物质相克的概率是1
2
，进而得到抽取两种物质不相克的概率，即可得到答案. 【详解】
从五种物质中随机抽取两种，所有抽法共有2
510
C=种，而相克的有5种情况，
则抽取的两种物质相克的概率是
51
102
=，故抽取两种物质不相克的概率是
11
1
22
-=，
故选C.
【点睛】
本题主要考查了古典概型及其概率的计算公式的应用，以及相互对立事件的应用，其中解答正确理解题意，合理利用对立事件的概率求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
10．D
解析：D
【解析】
【分析】
甲、乙二人抢到的金额之和包含的基本事件的总数2
510
n C
==，甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元包含基本事件有6个，由此能求出甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率.
【详解】
由题意，所发红包的总金额为8元，被随机分配为1.72元、1.83元、2.28元、1.55元、0.62元、5分，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，
甲乙二人抢到的金额之和包含的基本事件的总数为2
510
n C
==，
甲乙二人抢到的金额之和不低于3元包含的基本事件有6个，分别为(1.72,1.83),(1.72,2.28),(1.72,1.55),(1.83,2.28),(1.83,1.55),(2.28,1.55)
所以甲乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率为
63
105
p==，故选D.
【点睛】
本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其中解答中正确理解题意，找出基本事件的总数和不低于3元的事件中所包含的基本事件的个数是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
11．D
解析：D
【分析】
将3位男生分别记为A、B、C，2位女生分别记为a、b，列举出所有的基本事件，并确定事件“从这5位同学中任取3人，至少有1名女生”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】
将3位男生分别记为A、B、C，2位女生分别记为a、b，
从这5位同学中任取3人，所有的基本事件有：ABC、ABa、ABb、ACa、ACb、Aab、BCa、BCb、Bab、Cab，共10种，
其中，事件“从这5位同学中任取3人，至少有1名女生”包含的基本事件有：ABa 、
ABb 、ACa 、ACb 、Aab 、BCa 、BCb 、Bab 、Cab ，共9种，
因此，所求概率为910
P =. 故选：D. 【点睛】
方法点睛：求解古典概型概率的方法如下： （1）列举法； （2）列表法； （3）树状图法； （4）排列、组合数的应用.
12．B
解析：B 【分析】
求出开关1、2均正常工作的概率及开关3正常工作的概率，由相互独立事件概率公式、对立事件的概率公式即可得解. 【详解】
由题意，开关1、2在某段时间内均正常工作的概率10.90.90.81P =⨯=， 开关3正常工作的概率20.9P =，
故该系统正常工作的概率()()()()12111110.8110.90.981P P P =---=--⨯-=, 所以该系统的可靠性为0.981. 故选：B.
13．B
解析：B 【分析】
根据甲、乙、丙去北京旅游的概率，得到他们不去北京旅游的概率，至少有1人去北京旅游的对立事件是没有人取北京旅游，根据三人的行动相互之间没有影响，根据相互独立事件和对立事件的概率得到结果． 【详解】
解：因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为
13，14，1
5
． ∴他们不去北京旅游的概率分别为
23，34，45
， 至少有1人去北京旅游的对立事件是没有人取北京旅游
∴至少有1人去北京旅游的概率为2343
13455
P =-⨯⨯=．
故选：B ． 【点睛】
本题考查相互独立事件和对立事件的概率，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，而对立事件是指同一次试验中，不会同时发生的事件，遇到求用至少来表述的事件的概率时，往往先求它的对立事件的概率．
二、解答题
14．（1）0.1a =；0.1；（2）7
10
；（3）5.38小时. 【分析】
（1）由频率之和等于1求出a 的值，这名学生该天居家自主学习的时间在[)3,4的概率； （2）由频率分布直方图可知自主学习时间在[
)0,1和[)1,2的人分别有2人和3人，设在
[)0,1的2人分别为,a b ，在[)1,2的3人分别,,A B C ，利用列举法结合古典概型的概率公
式得出概率；
（3）由频率分布直方图中的数据，求解平均数即可. 【详解】
解：（1）因为(0.02+0.03+0.05+0.1520.20.3)11a +⨯++⨯=，所以0.1a =. 由图可得：随机抽取的100名学生中居家自主学习时间该天在[)3,4的频率为0.110.1⨯= 所以从该校高二年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习时间在[)3,4的概率为0.1.
（2）设“抽取的2人其中学习时间在[
)0,1中至少有1人”为事件A
由图中数据可知：该天居家自主学习时间在[
)0,1和[)1,2的人分别有2人和3人. 设在[
)0,1的2人分别为,a b ，在[)1,2的3人分别,,A B C
则从这5人中任选2人的样本空间{}ab,aA,aB,aC,bA,bB,bC,AB,AC,BC =， 共有10个，样本点事件A {}ab,aA,aB,aC,bA,bB,bC =， 共有7个样本点()710
P A =
所以学习时间在[
)0,1中至少有1人的概率为710
（3）样本平均数：
()0.50.02 1.50.03 2.50.05 3.50.1 4.57.50.15 5.50.2 6.50.3x =⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+⨯5.38=.
样本中的100名学生该天居家自主学习时间的平均数为5.38小时. 【点睛】
关键点睛：在第一问中，关键是利用频率之和等于1求出a 的值，在第二问中主要是利用列举法求解概率.
15．（1）2
5
；（2）不影响比赛的公平性.. 【分析】
（1）将甲的可能取球基本事件一一列举出来，甲乙平局时的基本事件列举出来，根据古典概型概率公式计算即可；
（2）结合（1）计算先取者（甲）获胜的概率，后取者（乙）获胜的概率，比较即可得出结论. 【详解】
解：（1）记黑球为1，2号，白球为3，4号，红球为5，6号，
则甲的可能取球共有以下20种情况：123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456，
甲乙平局时都得3分，所以甲取出的三个小球是一黑一白一红，共8种情况， 故平局的概率182
205
P =
=. （2）甲获胜时，得分只能是4分或5分，即取出的是2红1白，1红2白，2红1黑共6种情况，
故先取者（甲）获胜的概率2632010P =
=， 后取者（乙）获胜的概率3233151010
P =-
-=， 所以23P P =，故先取后取获胜的概率一样. 【点睛】
求古典概型概率的步骤：
（1）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A ；
（2）分别求出基本事件的总数n 与所求事件A 中所包含的基本事件个数m ； （3）利用公式()m
P A n
=
，求出事件A 的概率． 16．（1）0.035；（2）42.14；（3）35
. 【分析】
（1）由频率分布直方图的小矩形的面积和为1求解.
（2）由频率分布直方图得[)15,35的频率，[)35,45的频率，然后再利用中位数的定义求解。

（3）这是一个古典概型，先求得从年龄在[)15,35的5人中随机抽取两位的基本事件数，再得到两人恰有一人的年龄在在[)25,35内的基本事件数，代入公式求解. 【详解】
（1）因为()0.010.0150.0300.010101a ++++⨯=，. 解得0.035a =
（2）因为[)15,35的频率为()0.010.015100.25+⨯=，[)35,45的频率为
0.035100.35⨯=，
所以估计参与调查人群的样本数据的中位数为0.50.25
351042.140.35
-+
⨯≈. （3）20人中，年龄在[)15,25中的有0.0110202⨯⨯=人，记为A ，B ， 年龄在[)25,35中的有0.01510203⨯⨯=人记为a ，b ，c ， 从年龄在[)15,35的5人中随机抽取两位，基本事件有：
()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A a A b A c B a B b B c a b a c b c ，共10种，
两人恰有一人的年龄在在[)25,35内的基本事件有：
()()()()()(),,,,,,,,,,,A a A b A c B a B b B c ，共6种，
所以两人恰有一人的年龄在[)25,35内的概率为63105
m p n ===.. 【点睛】
结论点睛：利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，应注意这三者的区分：(1)最高的矩形的中点即众数；(2)中位数左边和右边的直方图的面积是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．
17．（1）325；（2）答案见解析；（3）a ，b ，c 的值为79，84，90或79，85，90. 【分析】
（1）由折线图可知，样本中跳绳成绩大于或等于90分的学生即“跳绳小达人”有13人，高二全年级中“跳绳小达人”的学生人数有13
100032540
⨯
=； （2）根据求离散型随机变量分布列的步骤，确定X 取不同值时的概率，列表对应，列出X 的分布列，根据数学期望公式，代入数值求解即可；
（3）由方差的运算公式，可以得当数据a ，b ，c 的方差2s 最小时，a ，b ，c 的值为70，80，100. 【详解】
解：（1）由折线图可知，样本中跳绳成绩大于或等于90分的学生即“跳绳小达人”有13人，
所以该校高二年级有1000名学生，试估计高二全年级中“跳绳小达人”的学生人数有
13
100032540
⨯
=． （2）由题可知，跳绳成绩在[60，70)的样本学生有2人，在[80，90)的样本学生有3人，
X 表示在抽取的2名学生中体育成绩在[60，70)的学生人数，X 取值为0，1，2．。