苏科版八年级数学上册第3章：勾股定理章节复习 教案

八年级上期中考试重难点分析—勾股定理
勾：直角三角形较短的直角边；股：直角三角形较长的直角边；弦：斜边。

1、勾股定理：
直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即a 2＋b 2＝c 2。

2、勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股数：
满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数，称为勾股数。

若,,a b c 是勾股数组，则na 、nb 、nc 也是勾股数组。

4、简单运用：
⑴勾股定理——常用于求边长、周长、面积；
理解：①已知直角三角形的两边求第三边，并能求出周长、面积。

②用于证明线段平方关系的问题。

③利用勾股定理，作出长为√n 的线段
⑵勾股定理的逆定理——常用于判断三角形的形状；
理解：①确定最大边（不妨设为c ）；
②若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形；
若a 2＋b 2＜c 2，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）；
若a 2＋b 2＞c 2，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边）
考点1：直角三角形的判断
例1下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( ▲ )
A ．5，6，7
B ．0.7，2.4，2.5
C ．1，1，2
D ．1，√2，3
例2. 下列各数组中，不是勾股数组的是（ ▲ ）
A.5，12，13
B.9，40， 41
C.8，12，15
D.3，4，5
例3 下列各组数据分别是三角形的三边长，其中不能构成直角三角形的是（ ）
A ．5cm ，12cm ，13cm
B ．1cm ，1 cm ，√2cm
C ．1cm ，2 cm ，√5 cm
D ．√3cm ，2cm ，√5 cm
例4判断由线段a 、b 、c 组成的三角形是不是直角三角形．
(1)a ＝54，b ＝1，c ＝34； (2)a ＝40 ，b ＝50，c ＝60； (3)a ＝35，b ＝12，c ＝37
例5 满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A.三内角之比为1∶2∶3
B.三边长的平方之比为1∶2∶3
C.三边长之比为3∶4∶5
D.三内角之比为3∶4∶5
例6.下列给出的三条线段的长，能组成直角三角形的是
A. 1、2、3
B. 2、3、4
C.√3、√√
D. 5、12、13
例7下列三角形中，可以构成直角三角形的有
A ．三边长分别为2，2，3
B ．三边长分别为3，3，5
C ．三边长分别为4，5，6
D ．三边长分别为1.5，2，2.5
例8 下列各组数中,不能构成直角三角形的一组是( )
A.1，2，√5
B.1，2，√3
C.3，4，5
D. 6，8，12
考点2：勾股定理的证明
例1如图，将Rt△ABC绕其锐角顶点A旋转90°得到Rt△ADE，连接BE，延长DE，BC相交于点F，则有∠BFE＝90°，且四边形ACFD是一个正方形．
(1)判断△ABE的形状，并证明你的结论；
(2)用含b的代数式表示四边形ABFE的面积；
(3)求证：a2＋b2＝c2．
例2利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称
为弦图．观察图形，验证：c2＝a2＋b2.
例3一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新
的验证方法.如图，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′
的位置，连接CC′，设AB=a,BC=b,AC=c，请利用四边形BCC′D′
的面积验证勾股定理：a2+b2=c2.
考点3：关于勾股定理几个重要的图形（勾股树、赵爽弦图）
例1. 如图，Rt▲ABC,∠ABC=90°，以三边为边长向外作正方形，64、400分别为所在正方形的面积，
例2．如图，以Rt△ABC的三边向外作正方形，若最大正方形的边长为7cm，以AC为边的正方形的面积为25cm2，则正方形M的面积为▲cm2．
例3 如图，在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，1.21，1.44，正放置的四个正方形的面积分别为S1，S2，S3，S4，则S1＋2S2＋2S3＋S4＝_▲_____
例4、如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD 和EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于
A．8 B．6 C．4 D．5
例5. 如图，在Rt ▲ABC 中∠B=90°，AC=25，BC=15。

，以为直径的半圆的面积分别为S1、S2,则S1-S2= .
例6 . 如图，以RT ▲ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边AB=6，则图中阴影部分的面积之和为 .
例7. 2002年国际数学家大会在北京召开，大会选用了赵爽弦图作为会标的中心图案.如图，由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形.如果大正方形的而积是25,直角三角形较长的
直角边长是a ，较短的直角边长是b ，且（a+b ）2的值为49，那么小正方形的面积是
A .2 B. 0.5 C. 13 D.1
例8．如图,由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的大正方形图案是某届国际数学大会的会标,如果大正方形的面积为16,小正方形的面积为3,直角三角形的两直角边分别为a 和b,那么（a+b ）2的值为( )
A. 256
B. 169
C. 29
D. 48
,AC
BC
例9“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2=21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为…………………………………………………………………………（）
A．3 B．4
C．5 D．6
例10.如图，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，若图中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，▲ABF、▲BCG、▲CDH、▲DAE是四个全等的直角三角形，若EF=2,DE=8，则AB的长为 .
例11.如图，由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形.如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1, 直角三角形的两条直角边的长分别是a和b，那么（a+b）2的值为
A. 49
B. 25
C. 13
D. 1
例12．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是( ) A．13 B．26 C．47 D．94
例13.如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝15，则S2的值是（）
A. 3
B. 15
4
C. 5
D.
15
2
例14.如图，则小正方形的面积S=
例15 .勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，如图(a)是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积验证勾股定理图，(b)是由图(a)放入长方形内得到的．
∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D，E，F，G，H，I都在
长方形KLMJ的边上，则长方形KIMJ的面积为
A．90 B．100 C．110 D．121
例16实践与探索
(1)小明在玩积木游戏时，把三个正方形积木摆成一定的形状，俯视图如图①，
问题(1)：若此中的三角形△DEF为直角三角形，P的面积为9，Q的面积为15，则M的面积为▲。

问题(2)：若P的面积为36cm2，Q的面积为64cm2同时M的面积为100cm2，则△DEF为▲三角形。

(2)图形变化：I．如图②，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，你能找出这三个半圆的面积之间有什么关系吗？请说明理由。

(3)如图③，如果直角三角形两直角边的长分别为3和4，以直角三角形的三边为直径作半圆，你能利用上面I中的结论求出阴影部分的面积吗？阴影部分面积为▲。

（直接写出答案）
例17在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为√5、√10、√13，求这个三角形的面积．小华同学
在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需要求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积，这种方法叫做构图法．
（1）△ABC的面积为_________
（2）若△DEF三边的长分别为√13，2√5，√29，请在图①的正方形网格中画出相应的△DEF，并利
用构图法求出它的面积．
（3）利用第（2）小题解题方法完成下题：如图②，一个六边形绿化区ABCDEF被分割成7个部分，其中正方形ABQP，CDRQ，EFPR的面积分别为13，20，29，且△PQR、△BCQ、△DER、△APF的面积相等，求六边形绿化区ABCDEF的面积．
考点4：折纸问题
例1：如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6 cm, BC=8 cm，现将▲ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为( )
A. 4 cm
B. 5 cm
C. 6 cm
D. 10 cm
例2：如图，在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝6，折叠该纸片使点C落在AB边上的D点处，折痕BE与AC交与点E，若AD＝BD，求折痕BE的长．
例3：如图，折叠长方形的一边AD，点D落在BC边的点F处，已知AB＝8 cm，BC＝10 cm，求EC的长．
例4：一张长方形纸片宽AB=8 cm，长BC=10 cm．现将纸片折叠，使顶点D落在BC边上的点F 处(折痕为AE)，求EC的长．
例5 、如图，长方形ABCD中，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC=8，AB=CD=17．点E为射线DC上的一个动点，△ADE与△AD′E关于直线AE对称，当△AD′B为直角三角形时，DE的长为．
例6如图，动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝5．折叠纸片，使点A落在BC边上的A'处，折痕为PQ，当点A'在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A'在BC边上可移动的最大距离为_______．
例7如图，矩形纸片ABCD中，AB=5cm，BC=10cm，CD上有一点E，EC=2cm，AD上有一点P，PA=6cm，过点P作PF⊥AD交BC于点F，将纸片折叠，使P与E重合，折痕交PF于Q，则线段PQ的长是___cm.
例8如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P为AD上一点，将▲ABP沿BP翻折至▲EBP，PE与CD相交于点O，且OE=OD，BE与CD交于点G.
(1)求证:AP=DG;
(2)求线段AP的长.
例9．如图，在直角坐标系中，长方形纸片ABCD的边AB∥CO，点B坐标为(8，4)，若把图形按如图所示折叠，使B、D两点重合，折痕为EF．
(1)求证：△DEF为等腰三角形；
(2)求折痕EF的长．
考点5：面积相关（等面积法）
例1：△ABC是等边三角形，点D是BC边上的任意一点，DE⊥AB于
点E，DF⊥AC于点F，BN⊥AC于点N，则DE、DF、BN三者
的数量关系为▲；
例2：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，AC＝5，BC＝12，求CD的长度。

例3 在△ABC中，∠B＝90°，两直角边AB＝7，BC＝24，三角形内有一点P到各边的距离相等，则这个距离是______．
考点6：与完全平方公式有关
例1：若△ABC的三边长a、b、c满足a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断△ABC的形状．
例2：若△ABC的三边长a、b、c 满足a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c ，试判断△ABC的形状．例3 三边长为a，b，c满足a+b=10，ab=18，c=8的三角形是什么形状？
例4：已知lx-12l+lx+y-25l 与z2-10z+25互为相反数，试判断以x、y、z为三边的三角形的形状。

例5：若△ABC的三边长a、b、c满足(a－b)(a2＋b2－c2)＝0，则△ABC是( ) A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形
考点7：求第三边的长
例1已知直角三角形的两边长为3 cm、5 cm，则它的第三边长为____▲___．
例2、已知一个Rt△的两直角边长分别为3和4，则第三边长是▲．
例3．若直角三角形的两边分别是6、8，则第三边的长是________．
考点8：最短距离及相关问题
例1. 如图，一个高16m，底面周长8m的圆柱形水塔，现制造一个螺旋形登梯，为了减小坡度，要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端，问登梯至少多长?
例2．如图，一圆柱高8 cm，底面半径为2 cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（π取3）是（▲）
A．20 cm B．10 cm C．14 cm D．无法确定
例3．如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE 上的动点，则DQ+PQ的最小值_________．
例4如图，A村到公路L的距离AB为6 km，C村到公路
L的距离CD为2km，且BD的长为6 km.现要在公路
上取一点P，使AC+CP的值最小，则这个最小值
为 .
例5：如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，到河的距离分别为AC＝10千米、BD＝30千米，且CD＝30千米，现要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元，请你在河流CD边上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用．
例6：“数学建模”
(1)模型——小马喝水问题：直线MN表示一条河流的岸，在河流同侧有A、B两地，小马从A地出发到B地，中间要在河边饮水一次，请在图①中用直尺和圆规作出使小马行走最短路程的饮水点P 的位置．（作在答题纸上，保留作图痕迹，并用黑水笔将痕迹描深）
(2)运用——和最小问题：如图②，E是边长为8的正方形ABCD边BC上一点，CE＝2，P是对角线BD上的一个动点，求PC＋PE的最小值．
例7如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B到点C的距离为5，如果一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点A爬到点B，那么它需要爬行的最短距离是( )
A．5 B．25
C．15 D．35
例8如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程是分米。

例9．如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．
例10 如图，一个圆柱形容器的高为1.2m，底面周长为Im．在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一只蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为_______m(容器厚度忽略不计)．
例11．将一根长24 cm的筷子，置于底面直径为5 cm、高为12 cm的圆柱形水杯中，如图①～③所示，设筷子露在杯子外面的部分的长为h，则h的取值范围是什么？
考点9：常考的勾股定理实际问题
例1：. （涉及需要添加辅助线）
如图，有一块四边形花圃ABCD，∠ADC=90°，AD=4m，AB=13m，BC=12m，DC=3m，该花圃的面积为m2.
例2：梯子问题
如图，一架10米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端沿墙下滑1米
（1）求它的底端滑动多少米？
（2）为了防止梯子下滑，保证安全，小强用一根绳子连结在墙角C与梯子的中点D处，你认为这样效果如何？请简要说明理由。

例3．机器人问题
如图所示，OA⊥OB，OA=45cm，OB=15cm，一机器人在B处发现有一个小球自A点出发沿着AO 方向匀速滚向点O，机器人立即从B处出发以相同的速度匀速直线前进去拦截小球，在点C处截住了小球，求机器人行走的路程BC．
例4．航海问题
中日钓鱼岛争端持续，我海监船加大钓鱼岛海域的巡航维权力度．如图，OA⊥OB，OA=36海里，OB=12海里，钓鱼岛位于O点，我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船，自A点出发沿着AO方向匀速驶向钓鱼岛所在地点O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船．
（1）请用直尺和圆规作出C处的位置；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）求我国海监船行驶的航程BC的长．
例5秋千问题
如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千AB在静止位置时，下端B离地面0.6m，荡秋千到AB的位置时，下端B距静止位置的水平距离EB等于2.4m，距地面1.4m，求秋千AB的长.
考点10：勾股定理逆定理的应用
例1. 如图，∠ADC=90°，AD=4m，CD=3m，AB=12m，BC=13m求这块地的面积.
例2：如图是一块地的平面图，其中AD=4 m，CD=3 m，AB=13 m，BC=12 m，∠ADC=90°，求这块地的面积．
例3：如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠DBC=90°，若AD=4cm，AB =3cm，BC=12cm，求CD 的长及四边形ABCD的面积
如图，在△ABC中，AB＝17，BC＝30，BC边上的中线AD＝8，∠B与∠C相等吗？为什么？
例4：如图所示，在四边形ABCD中，已知：AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且∠B=90°，求∠DAB 的度数。

例5如图所示的一块地，∠ADC＝90°，AD＝12m，CD＝9m，AB＝39m，BC＝36m，求这块地的面积．
例6.如图，四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=30°，AB=5，CD=1.，则BC的长为
A . 2√
B .3 C.1+ √ D. √
例7. 已知：如图，在四边形ABCD中，AB=BC ,AD2+CD2=2AB2，CD⊥AD．
（1）求证：AB⊥BC
（2）若AB=5CD，AD=21，求四边形ABCD的周长
考点11：方格纸相关（无理数线段）以及画图问题
例1：如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，每个顶点叫做格点．
(1) 在图(1)中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；
(2) 在图(2)中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2，√5，√13；这个三角形的面积为▲ ．
例2：
（1）如图1，利用网格线用三角尺画图，在AC上找一点P，使得P到AB、BC的距离相等；（2）图2是4×5的方格纸，其中每个小正方形的边长均为1cm，每个小正方形的顶点称为格点．请在图2的方格纸中画出一个面积为10cm2的正方形，使它的顶点都在格点上；
例3：如图是规格为4×6的边长为1个单位的正方形网格，请在所给网格中按下列要求画顶点在格点的三角形.
(1)在图1中画▲ABC，且AB=AC=√5，BC=√10;
(2)在图2中画一个三边长均为无理数，且各边都不相等的直角▲DEF (请注明各边长).
例4．如图，每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，分别按下列要求画三角形：
(1)在图①中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；
(2)在图②中，画一个三边长分别为3，2√2，√5的三角
形，一共可画这样的三角形个．
例5 .如图，每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，分别按下列要求画三角形:
(1)在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数;
一共可画这样的三角形个.
例6.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点.
(1)在图1中以格点为顶点画一个面积为5的正方形;
(2)在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为3，4，5;
(3)在图3中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、√5、√13.
考点12：噪音影响问题
例1如图，有一公路AB和一铁路CD在点A处交汇，且∠BAD=30°，在公路的点P处有一所学校(学校看作点P，点P与公路AB的距离忽略不计)，AP=320米，火车行驶时，火车周围200米以内会受到噪音的影响，现有一列动车在铁路CD上沿AD方向行驶，该动车车身长200米，动车的速度为180千米/时，那么在该动车行驶过程中.
(1)学校P是否会受到噪声的影响?说明理由;
(2)如果受噪声影响，那么学校P受影响的时间为多少秒?
例2：如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。

假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？
考点13：旋转问题
例1：阅读下面材料，并解决问题：
(1)如图，等边△ABC内有一点P若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5则∠APB=__________，由于PA，PB不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌__________这样，就可以利用全等三角形知识，将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出∠APB的度数．
(2)请你利用第(1)题的解答思想方法，解答下面问题：已知如图(11)，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，
E、F为BC上的点且∠EAF=45°，求证：EF2=BE2+FC2．
例2：如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C= 度．
例3：已知直角三角形ABC中， ACB=90°，CA=CB，圆心角为45°，半径长为CA的扇形CEF绕
点C旋转，且直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N，当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时，如图，试说明MN2=AM2+BN2的理由。

考点14：和圆有关
例1明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地°送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺(AC＝1尺)，将它往前推进两步(EB＝10尺)，此时踏板升高离地五尺（BD ＝5尺），求秋千绳索(OA或OB)的长度．
例2一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?
考点15：与全等有关的勾股定理证明（涉及边的等量替换）等平面图形题
例1．已知：如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D为AB边上一点，求证：（1）△ACE≌△BCD；
（2）AD2+AE2=DE2．
例2己知▲ABC和▲ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点D为BC边上一点
(1)求证：▲ACE≌▲ABD；
(2)求证：DE2=BD2+CD2.
例3 . 如图，在▲ABC 中，∠ABC=45°，CD ⊥AB ，BE ⊥AC,垂足分别为D 、E 、F 为BC 中点，BE 与DF 、DC 分别交于点G 、H ，∠ABE=∠CBE.
(1) 线段BH 与AC 相等吗?若相等给予证明，若不相等请说明理由:
(2)求证: BG 2-GE 2=EA 2.
考点16：拓展题型（两点之间距离公式、与三角形的结合问题）
例1.阅读下面一段文字，然后回答问题:已知在平面内有两点P1（x1,y1）,P2(x2,y2)，两点间的距离P1P2=√(x1−x2)2+(y1−y2)^2. 当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间的距离公式可简化为lx2-x1l 或ly2-y1l.
(1) 己知A 、B 在平行于y 轴的直线上，点A 的纵坐标为5，点B 的纵坐标为1，试求A 、B 两
点间的距离;
(2)已知一个三角形各顶点的坐标为A （0，6），B （-3，2），C （3，2），你能判定此三角形的形状吗?说明理由.
例2 . 如图，长方形ABCD 中，AB=4cm ，BC=6cm ，现有一动点P 从A 出发以2cm/秒的速度，沿矩形的边A —B —C 运动，设点P 运动的时间为t 秒。

（1）当t 为何值时，点P 与点A 的距离为5cm ？
（2）当t 为何值时，△APD 是等腰三角形？
（3）当t 为何值时，（2＜t ＜5），以线段AD 、CP 、AP 的长度为三边长的三角形是
直角三角形，且AP 是斜边？
例3 如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥DB，连接AC、EC，已知AB ＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x．
(1)用含x的代数式表示AC＋CE的长．
(2)请问点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小？
(3)根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式√x2+4+√(12−x)2+9的最小值．
例4如图，长方形ABCD中，AB=4cm，BC=6cm，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿矩形的边A—B—C—D回到点A，设点P的运动时间为t秒。

（1）当t=3秒时，求△ABP的面积；
（2）当t为何值时，点P与点A的距离为5cm？
例5. 已知，▲ABC中，AC=BC. ∠ACB=90°，CD为边AB上的中线，若E是CA上一点，F是CB 上一点，且AE=CF，连接EF.
(1)试证明：▲DEF是等腰直角三角形；
(2)过点D作DG⊥EF于G，连接CG并延长交AB于点H.
①试证明：CG=GD；
②若AE=5，CH=13，求CE的长度是.
例6. 如图1，在长方形ABCD中，AB=6，BC=12，有一只蚂蚁P在点A处开始以每秒1个单位的速度沿AB边向点B爬行，另一只蚂蚁Q从点B以每秒2个单位的速度沿BC边向点C爬行，蚂蚁的大小忽略不计，如果P、Q同时出发，设运动时间为ts.
(1)当t=2时，求▲PBQ的面积;
(2)当t=3/2时，试说明▲DPQ是直角二角形;
(3)当运动3s时，P点停止运动，Q点以原速立即向B点返回，在返回的过程中，是否存在点Q，使得DP平分∠ADQ?若存在，求出点Q运动的时间，若不存在请说明理由.
例7.已知:如图，在Rt▲ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒.
(1)求BC边的长;
(2)当▲ABP为直角三角形时，求t的值;
(3)当▲ABP为等腰三角形时，求t的值
例8如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=3cm，若点P从点A
出发，以每秒2cm的速度沿折线A—C—B向点B运动，设运动时间为t秒（t＞0），
（1）在AC上是否存在点P，使得PA=PB？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
（2）若点P恰好在△ABC的角平分线上，请求出t的值，说明理由．
考点17：利用勾股定理求指定线段长
例1如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD= 6，DE= 5，则CD的长等于▲ ．
例2如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF
A 2√3
B √10C．2√2D√6
例3如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF 的中点，∠ACD=2∠ACB．
（1）说明DC=DG；
（2）若DG=7，EC=4，求DE的长．。