广东省揭阳市普宁国贤学校2025届高三上学期开学考试 数学试题[含答案]

1

,
e
D．
二、多选题
9．下列选项中，正确的是（
）
2
n
2
n
A．若 p : n N ， n 2 ，则 p : n N ， n 2
2
B．若不等式 ax bx 3 0 的解集为 {x∣ 1 x 3} ，则 a b 2
C．函数
f x log a x 1 1 a 0且a 1
又由
可得 f ( x) e 或 f ( x) e a ，
2
g x
由图知 f ( x) e 有两个根，此时
有 2 个零点；
g x f x af x e 2 ae
恰有 5 个不同的零点，
2
要使函数
需使 f ( x) e a 有 3 个零点，由图知，需使 f ( x) e ，即 e a e ，解得 a 2e .
的解集为
故选：C.
7．D
【分析】利用同角三角函数之间的基本关系和诱导公式计算可得结果.
3π
1
π

π π

3π


cos sin sin sin
4
3.
4

2 4

4


【详解】易知
故选：D
D．函数
f x
11．关于函数
A． x 2 是
B．函数
）
的最小正周期是 π
x
π
6
π
g x 2 cos 2 x
的图象向右平移 6 个单位长度后，得到函数
f x
f x
2
ln x
x
，下列判断正确的是（
）．
的极大值点
y f x x
有且只有 1 个零点
C．存在正实数 ，使得
D．对任意两个正实数
f x kx
成立
x1 , x2 ，且 x1 x2 ，若 f x1 f x2 ，则 x1 x2 4 ．
三、填空题
12．已知 4cos sin 0 ，则 tan2
13．已知函数
f x 4 x a·2 x 1 4

6．已知函数
，则不等式
的解集为（
A． ( , 1)
5

,

B． 2
5

1,
2
C．
D．
5

( , 1) ,
2

3π 1

π

sin
cos
4
3
4



的值等于（
7．已知
，则
2 2
A． 3

对于选项 B：因为 6
，不是最值，
π
x
6 不是函数 f x 的图象的一条对称轴，故 B 错误；
所以
π π
π
f 2sin 2 2sin π 0
的关系分析判断；对于 C：根据对称中心与函数零点之间的关系分析判断；对于 D：根据
三角函数图象变换结合诱导公式分析判断.
f x
T
2π
π
2
，故 A 正确；
【详解】对于选项 A：可知函数
的最小正周期是
π π
π

f 2sin 2 2sin 0 0
6 3
综上所述，实数 a 的取值范围是
, 2e .
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查利用导数由函数的零点个数求参问题，属于难题.解题
的关键在于将函数按照定义域分类讨论，通过求导作出函数的图象；第二个关键是，将函
数的零点个数转化为两个函数的图象交点个数问题解决.
9．AD
【分析】根据命题的否定即可判断选项 A 正误,根据一元二次不等式解集和一元二次方程根
AB
.
17．如图，直线 PD 垂直于梯形 ABCD 所在的平面， ADC BAD 90 ， F 为线段
1
AB AD CD 1
2
PA 的中点， PD 2 ，
，四边形 PDCE 为矩形.
(1)求证： AC / / 平面 DEF ；
(2)求直线 AE 与平面 BCP 所成角的正弦值.
2 2
3
B．

1
C． 3
）
1
D． 3

）
f x
8．已知函数
ex
x
实数 a 的取值范围是（
, 2e
A．
g x f x af x e 2 ae
恰有 5 个不同的零点，则
2
，若函数
）
2

,
e
C．
, e
B．

D．
y
1
x
π
，则 sin 2 （
6
B． 3
1, 2,3
）
A． {x | 1 x 2}
3．已知
D．
C．

6
3
）
D．

3
3
1 x
1, x 0

f x 2
2 x 2 , x 0
f 2a 2 1 f (3a 4)
a 4b 5
5 2
9
a
b
a
b
a
b
a b


所以
,
1
4b a
a 2b

3 时等式成立，
当且仅当 a b ,即
1 1

故 a b 的最小值为 9，故 D 正确.
故选：AD.
10．AC
【分析】对于 A：根据最小正周期公式运算求解即可；对于 B：根据对称轴与最值点之间
，解得 1 x 2 ，
故不等式的解集为 {x | 1 x 2} .
故选：A
3．D
【分析】根据函数是幂函数求出参数，再求函数值即可.
【详解】因为
f x m 2 x m
f 2 23 8
所以
是幂函数，所以 m 2 1 ，解得 m 3 ，则
.
之间的关系,再利用韦达定理,即可判断选项 B 正误,根据对数函数
f x log a x a 0且a 1
恒过(1,0),即可得选项 C 正误,根据“1”的代换,即可得选项 D 的正
误.
2
n
2
n
【详解】对于 A：由题知,“ n N, n 2 ”的否定是“ n N, n 2 ”，故 A 正确；
2
18．已知函数() = − + .
(1)当 a 2 时，求曲线 = ()在点(1,(1))处的切线方程.
(2)若函数() = ()−有两个零点，求实数 a 的取值范围.
19．
S n 为等差数列 an 的前 n 项和．已知 a2 a4 14, S3 15 ．
(1)求角 C 的大小：
(2)若 c 7 ，且 a b 8 ，求 ABC 的面积.
16．已知双曲线
C:
x2 y 2
1a 0, b 0
a 2 b2
的实轴长为 2，右焦点为
5, 0.
(1)求双曲线 C 的方程；
(2)已知直线 y x 2 与双曲线 C 交于不同的两点 A ， B ，求
故选：C.
5．A
【分析】根据三角函数的定义及诱导公式求解.
【详解】因为角 的终边过点
cos
所以
3

32 3 2

2


P 3, 3 2
，
3
3

3
27
，
f x x 3
，
π
3

sin cos
2
3 .
所以
故选：A
6．C
【分析】根据图象可知 = ()在内单调递减，结合单调性解不等式.
8．A
【分析】根据函数定义域，将函数分类讨论，借助于求导判断函数单调性，判断极值点和
图象趋势，作出函数的简图，将函数
g x
分解因式，根据零点定义，结合图象，确定
f ( x) e 有两个根，转化为 f ( x) e a 有 3 个零点，由图即得参数范围.
f x
【详解】函数
1,1
的图象恒过定点
1 1

b

0
a

0
a

4
b

1
D．若
，
，且
，则 a b 的最小值为 9
π

f x 2sin 2 x
3 ，下列结论正确的是（

10．已知函数
A．函数
f x
B．函数
f x
的图象的一条对称轴为
C．函数
f x
π
,0
的图象关于点 3 对称


且当 x 时， f ( x) 0 ，当 x 0 时， f ( x) ，即 x 0 时，恒有 f ( x) 0 .
f x
作出函数
ex
x
的大致图象如图所示.
g x f x af x e 2 ae=[f ( x) e][f ( x) e a ]=0
【详解】作出函数 = ()的图形，如图所示，
由图象可知： = ()在内单调递减，
若


f 2a 2 1 f (3a 4)
所以不等式


，可得 2a 1 3a 4 ，解得
2
f 2a 2 1 f (3a 4)
1 a
5
2，
5

1,
2 .
根据韦达定理有:
对于 C：对数函数
所以
f x log a x a 0且a 1
f x log a x 1 1a 0且a 1
恒过(1,0),
恒过(2,1)，故 C 错误；
对于 D：因为 a 4b 1 ,
1 1
4b a
4b a
1 1
数学试卷
一、单选题
1．设集合
A．
A 0,1, 2,3 B 1, 0,1, 2,3
，
，则 A B （
1, 0,1, 2,3
B．
1, 2
C．
2
2．不等式 x x 2 0 的解集是（
）
0,1, 2,3
B． {x | x 1 或 x 2}
C． {x | x 2 或 x 1}
若 x 0 时，由
ex
x
f x
的定义域为 {x | x 0} ，
(x 1)e x
ex
f x
x2 ，
x 求导得，
故当 0 x 1 时， () < 0，当 x 1 时， () > 0，
′
所以
f x
′
ex
x 在( 0, 1) 上单调递减，在 (1, ) 上单调递增，且 f ( x)极小值 f (1) e ，
(1)求
an 的通项公式．
(2)设
bn
1
an an 1 ，求数列 bn 的前 n 项和．
.
1．C
【分析】根据集合交集运算求解即可.
【详解】
A B 0,1, 2,3
,
故选：C.
2．A
【分析】因式分解，求出不等式解集.
【详解】
x 2 x 2 0 x 2 x 1 0
故选：D.
4．C
【分析】根据基本函数的单调性即可判断.
【详解】对于 A， y 1 x 在
0,1 上单调递减，故 A 错误；
2
0,1 上单调递减，故 B 错误；
对于 B， y x 2 x 在
0,1 上单调递增，故 C 正确；
对于 C， y x 在
对于 D，
y
1
x 在 0,1 上单调递减，故 D 错误.
2
x 1 x 3,
对于 B：若不等式 ax bx 3 0 的解集为
2
则 ax bx 3 0 的两根为 1,3 ，且 a 0 ,
b

1 3 a

1 3 3
a ，解得 a 1, b 2 ，所以 a b 1 ,故 B 错误；
D． {x | 2 x 1}
f x m 2 x m
A．1
4．下列函数在区间
A． y 1 x
f 2
B．2
）
D．8
）2B． y x来自 2 x（C．4
0,1 上为增函数的是（
5．已知角 的终边过点
3
A． 3
是幂函数，则
P 3, 3 2
C． y x

当 x 0 时， f ( x) ，当 x 时， f ( x) ；
(1 x)e x
ex
f x
x2
x 求导得，
若 x 0 时，由
，
x
e
f x
′
x

0


>
0
x 在 (, 0) 上单调递增，
因
，故恒有 ( )
，即
f x
.
．若关于 x 的方程 f ( x) 0 有解，则 a 的取值范围为
．
x
2
14．若曲线 y lnx x 2 x 在 x 1 处的切线恰好与曲线 y e a 也相切，则 a
四、解答题
15． ABC 的内角 A, B, C 对边分别为 a, b, c ，且 3b csinA 3ccosA 0 .