广东省阳江市漠南中学高三数学理月考试题含解析

广东省阳江市漠南中学高三数学理月考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数的图象与函数的图象交于A、B两点,则△OAB (O 为坐标原点)的面积
为
( )
A. B. C. D.
参考答案：
D
函数()和函数的图象交于A,B两点,点为坐标原点,由
,可得,即,求得,或(舍去),∵,
∴或,
∴A,B,画图象如图所示,
根据函数图象的对称性可得的中点
,
∴,故选.
2. 若直线与圆有两个不同的公共点，则实数的取值范围是（）
A． B． C． D．
参考答案：
D
略
3. 若集合A={x∈N|﹣1＜x＜5}，B={y|y=4﹣x，x∈A}，则（）
A．A∪B={1，2，3} B．A=B C．A∩B={1，2，3} D．B?A
参考答案：
B
【考点】交集及其运算．
【分析】列举出A中的元素确定出A，把A中的元素代入y=4﹣x确定出B，找出两集合的交集、并集，即可作出判断．
【解答】解：∵A={x∈N|﹣1＜x＜5}={0，1，2，3，4}，B={y|y=4﹣x，x∈A}={4，3，2，1，0}，∴A=B，A∩B=A∪B={0，1，2，3，4}，
故选：B．
4. 函数在处有极值10，则的值
为（▲）
A .
B .
C .
D . 以上都不正确
参考答案：
D
略
5. 圆上的点到直线的距离最大为（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
6. 下列算法中，含有条件分支结构的是（）
A．求两个数的积 B．求点到直线的距离
C．解一元二次不等式 D．已知梯形两底和高求面积
参考答案：
【知识点】条件结构L1
C解析:A、B、D不含条件分支，解一元二次不等式要用到条件分支，
故选C．
【思路点拨】理解条件结构的适用条件.
7. 若函数f(x)=(x≠2)，则f(x)
A 在(-2，+∞),内单调递增
B 在(-2，+∞)内单调递减
C 在(2，+∞)内单调递增
D 在(2，+∞)内单调递减
参考答案：
D
8. 二项式展开式中的常数项是
A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项
参考答案：
C
9. 设函数，且其图象关于直线x=0对称，则( )
A．y=f（x）的最小正周期为π，且在上为增函数
B．y=f（x）的最小正周期为π，且在上为减函数
C．y=f（x）的最小正周期为，且在上为增函数
D．y=f（x）的最小正周期为，且在上为减函数
参考答案：
B
【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】计算题．
【分析】将函数解析式提取2，利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的余弦函数，找出ω的值，代入周期公式，求出函数的最小正周期，再由函数图象关于直线x=0对称，将x=0代入函数解析式中的角度中，并令结果等于kπ（k∈Z），再由φ的范围，求出φ的度数，代入确定出函数解析式，利用余弦函数的单调递减区间确定出函数的得到递减区间为[kπ，
kπ+]（k∈Z），可得出（0，）?[kπ，kπ+]（k∈Z），即可得到函数在（0，）上为减函数，进而得到正确的选项．
【解答】解：f（x）=cos（2x+φ）+sin（2x+φ）
=2[cos（2x+φ）+sin（2x+φ）]
=2cos（2x+φ﹣），
∵ω=2，
∴T==π，
又函数图象关于直线x=0对称，
∴φ﹣=kπ（k∈Z），即φ=kπ+（k∈Z），
又|φ|＜，
∴φ=，
∴f（x）=2cos2x，
令2kπ≤2x≤2kπ+π（k∈Z），解得：kπ≤x≤kπ+（k∈Z），
∴函数的递减区间为[kπ，kπ+]（k∈Z），
又（0，）?[kπ，kπ+]（k∈Z），
∴函数在（0，）上为减函数，
则y=f（x）的最小正周期为π，且在（0，）上为减函数．
故选B
【点评】此题考查了三角函数的周期性及其求法，余弦函数的对称性，余弦函数的单调性，以及两角和与差的余弦函数公式，其中将函数解析式化为一个角的余弦函数是本题的突破点．
10. 已知点在曲线上，⊙过原点，且与轴的另一个交点为，若线段，⊙和曲线上分别存在点、点和点，使得四边形（点，，，顺时针排列）是正方形，则称点为曲线的“完美点”．那么下列结论中正确的是（）．
A．曲线上不存在”完美点”
B．曲线上只存在一个“完美点”，其横坐标大于
C．曲线上只存在一个“完美点”，其横坐标大于且小于
D．曲线上存在两个“完美点”，其横坐标均大于
参考答案：
B
如图，如果点为“完美点”则有，以为圆心，为半径作圆（如图中虚线圆）交轴于，（可重合），交抛物线于点，当且仅当时，在圆上总存在点，使得为的角平分线，即，利用余弦定理可求得此时
，即四边形是正方形，即点为“完美点”，如图，结合图象可知，点一定是上方的交点，否则在抛物线上不存在使得，也一定是上方的点，否则，，，，不是顺时针，再考虑当点横坐标越来越大时，的变化情况：
设，当时，，此时圆与轴相离，此时点不是“完美点”，故只需要考虑，当增加时，越来越小，且趋近于，而当时，；故曲线上存在唯一一个“完美点”其横坐标大于．故选．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知中，内角的对边的边长为，且,则
的最小值为
参考答案：
12. 已知函数，若关于x
的方程有两个不同的实根，则实数
k的取值范围是；
参考答案：
做出函数的图象如图，由图象可知，要使有两个不同的实根，则有，即的取值范围是.
13. 函数在点(1,1)处的切线方程为．
参考答案：
14. 二项式（x+）6的展开式中的常数项为．
参考答案：
【考点】二项式系数的性质．
【分析】利用二项式展开式的通项公式，令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常
数项．
【解答】解：二项式（x+）6展开式的通项公式为
T r+1=?x6﹣r?（）r=??x6﹣2r
令6﹣2r=0，求得r=3，
故展开式中的常数项为?=．
故答案为：．
15. 直线：被圆截得的弦的长是
.
参考答案：
16. 由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为 .
参考答案：
由，解得，即，所以所求面积为。

17. 已知幂函数y ＝f (x )
的图像经过点，则f(2)＝_________．
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标
方程为, P点的极坐标为，在平面直角坐标系中，直线l经过点P，斜率为.
(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程;
(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值.
参考答案：
(1)曲线的方程为,
点的直角坐标为(0,3)
直线的参数方程为(参数).
(2)设,将直线的参数方程代入曲线的方程得
整理得, 由韦达定理可知,,
则
19. 如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的倍，P为
侧棱SD上的点。

（1）求证：AC⊥SD；
（2）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小
（3）在（2）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC。

若存在，求
SE：EC的值；若不存在，试说明理由。

参考答案：
解法一：
（Ⅰ）连BD，设AC交BD于O，由题意SO⊥AC。

在正方形ABCD中，AC⊥BD，所以AC⊥平面SBD，
得AC⊥SD。

（Ⅱ）设正方形边长a，则SD=。

又OD=，所以SOD=60°，
连OP，由（Ⅰ）知AC⊥平面SBD，所以AC⊥OP，且AC⊥OD，所以POD是二面角P-AC-D的平面角。

由SD⊥平面PAC，知SD⊥OP，所以POD=30°，
即二面角P-AC-D的大小为30°。

（Ⅲ）在棱SC上存在一点E，使BE//平面PAC
由（Ⅱ）可得PD=，故可在SP上取一点N，使PN=PD，过N作PC的平行线与SC的交点即为E。

连BN。

在△BDN中知BN//PO，又由于NE//PC，故平面BEN//平面PAC，得BE//平面PAC，由于SN：NP=2：1，故SE：EC=2：1。

解法二：（1）连BD，设AC交于BD于O，由题意知SO⊥平面ABCD，
以O为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向，
建立坐标系O-xyz如图。

设底面边长为a，则
（2）由题意知面PAC的一个法向量为
（3）在棱SC上存在一点E使BE//面PAC
由（2）知为面PAC的一个法向量，且设E（x,y,z）
20. 如图，在多边形ABPCD中（图1），ABCD为长方形，为正三角形，现以BC为折痕将折起，使点P在平面ABCD内的射影恰好在AD上（图2）.
（Ⅰ）证明：PD⊥平面PAB；
（Ⅱ）若点E在线段PB上，且，当点Q在线段AD上运动时，求三棱锥的体积. 参考答案：
（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）3
【分析】
（Ⅰ）利用点在平面内的射影恰好在上，过P作AD的垂线段PO，由此证得
，再计算出，，从而证得，命题得证。

（Ⅱ）求出点到底面的距离，利用计算，问题得解。

【详解】解：（Ⅰ）过点作，垂足.
由于点在平面内的射影恰好在上，
∴平面.
∴.
∵四边形为矩形，∴.
又，∴平面，
∴
又由，，可得，同理.
又，∴，∴，且，
∴平面.
（Ⅱ）设点到底面的距离为，
则.
由，可知，∴.
又，
∴.
【点睛】本题主要考查了面面垂直的性质、线面垂直的判定，考查了转化思想，体积计算，考查计算能力，属于基础题。

21. 已知的展开式中前三项的系数成等差数列．
（1）求n的值；（2）求展开式中的常数项；
参考答案：
22. 某中学举行一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，请根据下面尚未完成并有局部污损的样本的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：
（Ⅰ）写出a，b，x，y的值．
（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动，求所抽取的2名同学来自同一组的概率．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设表示所抽取的2名同学中来自第5组的人数，求的分布列及其数学期望．
参考答案：
（）由题意可知，，，．
（）由题意可知，第组有人，第组有人，共人．从竞赛成绩是分以上（含分）的同
学中随机抽取名同学有种情况．
设事件：随机抽取的名同学来自同一组，则
．
故随机抽取的名同学来自同一组的概率是．
（）由（）可知，的可能的值为，，，则：
，，．
所以，的分布列为：
．。