上海市高二下学期数学复数的几何意义及复数集内的方程

12.2 复数的几何意义及复数集内的方程
【学习重点】
1.复平面：成立直角坐标系用来表示复数的平面叫做复平面，x 轴、y
轴分别叫
做实轴和虚轴，原点表示复数 0，表示实数的点都在x 轴上，表示纯
虚数的点
都在 y 轴上.
2.复数的向量表示：设复数z a bi (a、 b R) 在复平面内对 z(a, b) 应
点，连
结 OZ ，那么向量oz表示复数z a bi，且规定相等的向量表示同一个复数 .
3.复数z a bi (a、b R) 的模就是其在复平面内所对应的点Z ( a, b) 到坐标原
点的距离 .
4.设复数z1 a bi ，z2 c di (a,b,c, d R) 在复平面上所对应的向量分
别是
，(,
d ) ，则z z( a c) (b d )i
，OZ1OZ 2(a c, b d ) .
OZ1 (a,b) OZ2c12
两个复数z1 , z2和的几何意义能够在复平面上用平行四边形法例解释.
5.对于一元二次方程ax 2bx c 0(a 0) ，当0 时，方程有两个互相共轭
的虚数根 x b4ac b2i .并且这两个根相同知足韦达定理.
6.共轭虚根定理：如果虚数z是实系数一元 n 次方程
a n x n a n 1x n 1a1 x a0
0 (a0, a1a n R, a n0) 的根，那么 z 也是这个方程的根.
【例题解说与训练】
例 1.已知 a R ,请判断复数z a22a 4 (a22a 2)i 在复平面上对应的
点 Z 在第几象限？
〖变式训练 1〗
1.复数z m 2i
(m R, i 为虚数单位）在复平面上对应的点不行能位于
12i
（）
（A)第一象限（B)第二象限（C)第三象限（D)第四象限
2.若
5
sin ) (sin cos )i 在复平面内所对( ,) ，则复数(cos
4
应的
点在 ()
(A) 第一象限（B)第二象限
（C)第三象限（D)第四象限
3.设 z C ，若z2为纯虚数，则z在复平面上的对应点落在（）（A)实轴上（ B)虚轴上（ C)直线y x(x 0) 上（ D)以上都不对
例 2.设复数z x yi ( x, y R) 在复平面上所对应的点是z ，画出知足
以下条
件的点 z 的会合所表示的图形.
（1）Rez 2 ， Im z1；（2）z2,Re z Im z 2
〖变式训练 2〗
1.设复数z x yi(x, y R) 在复平面上所对应的点是z ，画出知足下列条
件的点 z 的会合所表示的图形.
（1）2 z 3 ；（2） z 2 ，Im z1.
2.已知向量AB对应的复数为1i ，若 A 点坐标为(1,3) ，则B点坐标为.
3.若复数z a i (a R) 与它的共轭复数z所对应的向量相互垂直，则a 的值为
例 3.已知复数 z1、z2知足z1z21，且z1z22，求证：z1 z2 2 .〖变式训练 3〗
1.若复数复数 z1、 z2满足z1z2 1 ，且z1z2 3 ，则z1z2 =.
2.若复数复数 z1、 z2知足z1z2z1z2 1，则 z1z2=.
3.在复平面上，正方形ABCD的两个极点A, B对应的复数分别为12i ，35i .
求此外两个极点 C, D 对应的复数.
例 4.若复数z知足z 1 i 1，求z的最大值和最小值.
〖变式训练 4〗
1.若z C ，且 z1i 1 ，求 z 2 2i 的最大值；
2.若 z C ，且z 2 i 2 ，求z的最大值；
3.若复数z知足z1z1 4 ，求 z 1 的最大值和最小值.
例 5.已知z1z21
， z1z
21
3
i ，求复数z1、z2.
22
〖变式训练 5〗
已知复数z 、 z知足 z171， z27 1，且z z 4，求z1
1.1212
z2与 z1 z2的值.
已知复数 z 知足 z 2 ，z2的虚部为，设 z 、z2、 z z2在复平2.2
面上的对应点分别为 A 、 B 、C ，求 ABC 的面积.
3.z
5z1
，求复数
z .
已知 z 1 ，且
例已知对于 x 的方程
x 2
ax b
0(,
b
)
的一个根为 34i ，求
a
，
6.a R
b的值 .
〖变式训练 6〗
1.方程4x2mx 1 0 ( m R) ，则结论正确的选项是（）
（A）方程的两根互为共轭复数
（B）方程的两根互为共轭复数，则 m 0
（C）若x为方程的一个虚根，则x也为方程的根
（D）若m 0，则方程的两根必定为正数
2.在复数集内分解因式：
（1）x2x 1 0 ；（） x44
.
2
3.已知12i 是实系数方程 x2px q0 的一个虚根，求 p q 的值.
例 7.已知对于x
的方程x2px
1 0
( p R)的两个根为x1、x2，若
x1 x2 1 ，
务实数 p 的值 .
〖变式训练 7〗
1. 已知对于x的方程x25x m0 (m R) 的两个根为x1、 x2，且x1 x2 3 ，
求 m 的值.
2.已知对于 x 的方程2x23ax a2a 0 起码有一个模为1的复数根，
务实数 a 值.
3.已知关于x的方程3x26( m 1)x m 210 的两根x1, x2满足x1x22，
务实数 m 的值.
例 8.若对于x的方程x2(1 i) x m 2i 0 有实数根，务实数 m 的值及方程的
根.
〖变式训练 8〗
1.若对于x的方程x2(k 2i) x 2ki 0 有实数根，求此实根及实数k 的值 .
2.已知对于x的方程x2(k2k 2kx)i 0 (k R) 有一个纯虚数根，求k 的值 .
3.已知对于x的方程x2zx 4 3i 0 有实数根，求复数z 的模的最小值.
例 9.已知方程2x313x246x 65 0 有一个根是23i ，求该方程其余的根 .
〖变式训练 9〗
1.已知方程x53x45x35x24x 20 有两个根1和i，求方程其余的根.
2.解对于 x 的方程x25x 6( x 2)i0 .
已知 z 为复数，若对于 z的方程 z a z 1 i 0 有解，务实数 a 的3.
取值范围 .。