九年级数学下册常考点微专题提分精练(阿氏圆小题(解析版)

专题18 阿氏圆小题
1．如图，在ABC ∆中，90A ∠=︒，4AB AC ==，点E 、F 分别是边AB 、AC 的中点，点
P 是以A 为圆心、以AE 为半径的圆弧上的动点，则12
PB PC +的最小值等于( )
A ．4
B ．32
C ．17
D ．15
【解答】解：在AB 上截取1AQ =，连接AP ，PQ ，CQ
，
点E 、F 分别是边AB 、AC 的中点，点P 是以A 为圆心、以AE 为半径的圆弧上的动点， ∴12
AP AB =， 2AP =，1AQ =，
∴12
AQ AP =， PAQ BAP ∠=∠，
APQ ABP ∴∆∆∽，
12
PQ PB ∴=， ∴12
PB PC PC PQ CQ +=+， 在Rt ACQ ∆中，4AC =，1AQ =，
2217QB AC AQ ∴=+=，
∴12
PB PC +的最小值17， 故选：C ．
2．如图，已知菱形ABCD 的边长为8，60B ∠=︒，圆B 的半径为4，点P 是圆B 上的一个动点，则12
PD PC -的最大值为
2
37 ．
【解答】解：连接PB ，在BC 上取一点G ，使得2BG =，连接PG ，DG ，过点D 作DH BC ⊥交BC 的延长线于H ．
4PB =，2BG =，8BC =，
2PB BG BC ∴=⋅，
∴PB BC
BG PB =，
PBG CBP ∠=∠，
PBG CBP ∴∆∆∽，
∴1
2PG
PB
PC BC ==，
1
2PG PC ∴=
，
四边形ABCD 是菱形，
//AB CD ∴，8AB CD BC ===，
60DCH ABC ∴∠=∠=︒，
在Rt CDH ∆中，cos604CH CD =⋅︒=，sin 6043DH CD =⋅︒=， 6410GH CG CH ∴=+=+=，
222210(43)237DG GH DH ∴=+=+=， 12PD PC PD PG DG -=-，
12372PD PC ∴-， 1
2PD PC ∴-的最大值为237．
3．如图，正方形ABCD 的边长为4，
E
为BC 的中点，以B 为圆心，BE 为半径作B ，点
P 是B 上一动点，连接PD 、PC ，则1
2PD PC +的最小值为 5 ．
【解答】解：如图，在BC 上取一点T ，使得1BT =，连接PB ，PT ，DT ．
四边形ABCD 是正方形，
90DCT ∴∠=︒，
4CD =，3CT =，
2222435DT CD CT ∴=+=+=，
2PB =，1BT =，4BC =，
2PB BT BC ∴=⋅，
∴PB
BC
BT PB =，
PBT PBC ∠=∠，
PBT CBP ∴∆∆∽，
∴1
2PT PB PC CB ==，
1
2PT PC ∴=， 152PD PC PD PT DT +=+=，
1
2PD PC ∴+的最小值为5，
故答案为：5．
4．如图，扇形AOB 中，90AOB ∠=︒，6OA =，C 是OA 的中点，D 是OB 上一点，5OD =，P 是AB 上一动点，则12PC
PD
+的最小值为 13
2 ．
【解答】解：如图，延长OA 使AE OB =，连接EC ，EP ，OP ， 6AO OB ==，C 分别是OA 的中点，
12OE ∴=，6OP =，3OC AC ==，
∴12
OP OC OE OP ==，且COP EOP ∠=∠ OPE OCP ∴∆∆∽
∴12
PC OP PE OE ==， 2EP PC ∴=，
111(2)()222
PC PD PC PD PD PE ∴+=+=+， ∴当点E ，点P ，点D 三点共线时，12
PC PD +的值最小， 222251213DE OD OE =+=+=，
13PD PE DE ∴+=， PD PE ∴+的最小值为13，
12PC PD ∴+的值最小值为132
． 故答案为：132
．
5．如图所示的平面直角坐标系中，(0,4)
A，(4,0)
B，P是第一象限内一动点，2
OP=，连
接AP、BP，则
1
2
BP AP
+的最小值是17．
【解答】解：如图，取点(0,1)
T，连接PT，BT．
(0,1)
T，(0,4)
A，(4,0)
B，
1
OT
∴=，4
OA=，4
OB=，
2
OP=，
2OP OT OA ∴=⋅，
∴OP OA OT OP
=， POT AOP ∠=∠，
POT AOP ∴∆∆∽，
∴12
PT OP PA OA ==， 12
PT PA ∴=， 12
PB PA PB PT ∴+=+， 221417BT =+=，
17PB PT ∴+， 1172BP AP ∴+
12
BP PB ∴+的最小值为17． 故答案为：17．
6．如图，在O 中，点A 、点B 在O 上，90AOB ∠=︒，6OA =，点C 在OA 上，且2OC AC =，点D 是OB 的中点，点M 是劣弧AB 上的动点，则2CM DM +的最小值为 410 ．
【解答】解：延长OB 到T ，使得BT OB =，连接MT ，CT ．
6OM =，3OD DB ==，12OT =， 2OM OD OT ∴=⋅，
∴OM OT OD OM
=
，
MOD TOM ∠=∠，
MOD TOM ∴∆∆∽，
∴12
DM OM MT OT ==， 2MT DM ∴=，
2CM DM CM MT CT +=+，
又在Rt OCT ∆中，90COT ∠=︒，4OC =，12OT =，
2222412410CT OC OT ∴=+=+=， 2410CM DM ∴+，
2CM DM ∴+的最小值为410，
∴答案为410．
7．如图，边长为4的正方形，内切圆记为圆O ，
P 为圆O 上一动点，则2PA PB +的最小
值为 25 ．
【解答】 解：设O 半径为r ，
1
22OP r BC ===，222OB r ==，
取OB 的中点I ，连接PI ，
2
OI IB ∴==，
2
22OP
OI ==，
2
2
2
2
OB OP ==，
∴OP OB OI OP
=， O ∠是公共角，
BOP POI ∴∆∆∽，
∴22
PI OI PB OP ==， 22
PI PB ∴=， 22
AP PB AP PI ∴+=+， ∴当A 、P 、I 在一条直线上时，22
AP PB +最小， 作IE AB ⊥于E ，
45ABO ∠=︒，
212
IE BE BI ∴===， 3AE AB BE ∴=-=，
223110AI ∴=+=，
22
AP PB ∴+最小值10AI ==
， 222()2
PA PB PA PB +=+， ∴2PA PB +的最小值是221025AI =⨯=．
故答案是25．
8．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，9AC =，4BC =，以点C 为圆心，3为半径做
C ，分别交AC ，BC 于
D ，
E 两点，点P 是C 上一个动点，则13PA PB +的最小值为 17 ．
【解答】解：在AC 上截取1CQ =，连接CP ，PQ ，
BQ ， 9AC =，3CP =，
∴1
3CP
AC =，
3CP =，1CQ =，
∴1
3CQ
CP =，
ACP PCQ ∴∆∆∽，
1
3PQ AP ∴=，
∴1
3PA PB PQ PB BQ +=+，
∴当B 、Q 、P 三点共线时，1
3PA PB +的值最小，
在Rt BCQ ∆中，4BC =，1CQ =，
17QB ∴=，
∴1
3PA PB +的最小值17，
故答案为：17
．
9．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，D 、E 分别是边BC 、AC 上的两个动点，且4DE =，P 是DE 的中点，连接PA ，PB ，则14PA PB +的最小值为 1452
．
【解答】解：如图，在CB 上取一点F ，使得12
CF =，连接PF ，AF ．
90DCE ∠=︒，4DE =，DP PE =，
122
PC DE ∴==
， 14CF CP =，14
CP CB =， ∴CF CP CP CB
=， PCF BCP ∠=∠，
PCF BCP ∴∆∆∽
，
∴14
PF CF PB CP ==， 14
PF PB ∴=， 14
PA PB PA PF ∴+=+， PA PF AF +，22221145()622
AF CF AC =+=+=， 114542PA PB ∴+， 14
PA PB ∴+的最小值为1452， 故答案为1452
． 10．如图，在ABC ∆中，6BC =，60BAC ∠=︒，则2AB AC +的最大值为 421 ．
【解答】解：122()2
AB AC AB AC +=+， ∴求2AB AC +的最大值就是求12()2
AB AC +的最大值， 过C 作CE AB ⊥于E ，延长EA 到P ，使得AP AE =， 60BAC ∠=︒，
12EA AC AP ∴==， 12
AB AC AB AP ∴+=+， 3EC AE =，2PE AE =，
由勾股定理得：7PC AE =，
321sin 77CE AE P CP AE
∴===， P ∴∠为定值，
6BC =是定值，
∴点P 在CBP ∆的外接圆上，
AB AP BP +=，
∴当BP 为直径时，AB AP +最大，即BP '，
21sin sin 7
BC P P BP '∴==='， 解得221BP '=，
221AB AP ∴+=，
22()421AB AC AB AP ∴+=+=，
故答案为：421．
11．如图，O 与y 轴、x 轴的正半轴分别相交于点M 、点N ，O 半径为3，点(0,1)A ，点(2,0)B ，点P 在弧MN 上移动，连接PA ，PB ，则3PA PB +的最小值为 85 ．
【解答】解：如图，在y 轴上取点
(0,9)H ，连接BH ，
点(0,1)A ，点(2,0)B ，点(0,9)H ，
1AO ∴=，2OB
=
，
9
OH =，
1339OA OP OP OH
===，AOP POH ∠=∠， AOP POH ∴∆∆∽，
∴13
AP OP HP OH ==， 3HP AP ∴=，
3PA PB PH PB ∴+=+，
∴当点P 在BH 上时，3PA PB +有最小值为HB 的长，
2248185BH OB OH ∴=+=+=，
故答案为：85．
12．【新知探究】新定义：平面内两定点A ，B ，所有满足(PA k k PB
=为定值）的P 点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”
【问题解决】如图，在ABC ∆中，4CB =，2AB AC =，则ABC ∆面积的最大值为 163
．
【解答】解：以A 为顶点，AC 为边，在ABC ∆外部作CAP ABC ∠=∠，AP 与BC 的延长线交于点P ，
CAP ABC ∠=∠，BPA APC ∠=∠，2AB AC =，
APC BPA ∴∆∆∽，
12
AP CP AC BP AP AB ===
，
2BP AP ∴=，12
CP AP =， 4BP CP BC -==，
1242
AP AP ∴-=，解得：83AP =， 163
BP ∴=，43CP =，即点P 为定点， ∴点A 的轨迹为以点P 为圆心，83
为半径的圆上，如图，过点P 作BC 的垂线，交圆P 与点1A ，此时点1
A 到BC 的距离最大，即ABC ∆的面积最大， 11181642233
ABC S BC A P ∆=⋅=⨯⨯=． 故答案为：163
． 13．如图所示，60ACB ∠=︒，半径为2的圆O 内切于ACB ∠．P 为圆O 上一动点，过点P 作PM 、PN 分别垂直于ACB ∠的两边，垂足为M 、N ，则2PM PN +的取值范围为 6232623PM PN -++ ．
【解答】
解：作MH NP ⊥于H ，作MF BC ⊥于F ，
PM AC ⊥，PN
CB
⊥，
90PMC PNC ∴∠=∠=︒，
360120MPN PMC PNC C ∴∠=︒-∠-∠-∠=︒，
18060MPH MPN ∴∠=︒-∠=︒，
1cos cos602
HP PM MPH PM PM ∴=⋅∠=⋅︒=， 12
PN PM PN HP NH ∴+=+=， MF NH =，
∴当MP 与O 相切时，MF 取得最大和最小，
如图1，
连接OP ，OG ，
可得：四边形OPMG 是正方形，
2MG OP ∴==，
在Rt COG ∆中，
tan 6023CG OG =⋅︒=，
223CM CG GM ∴=+=+，
在Rt CMF ∆中，
3cos (223)332
MF CM C =⋅=+⨯=+， 33HN MF ∴==+，
122()26232
PM PN PM PN HN +=+==+， 如图2，
由上知：23CG =，2MG =，
232CM ∴=-，
3(232)332
HM ∴=-⨯=-， 122()26232
PM PN PM PN HN ∴+=+==-， 6232623PM PN ∴-++．
三．解答题（共2小题）
14．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，OAB ∆的顶点O ，A ，B 均在格点上，点E 在OA 上，且点E 也在格点上．
()OE I OB 的值为 23
； （Ⅱ）DE 是以点O 为圆心，2为半径的一段圆弧．在如图所示的网格中，将线段OE 绕点O
逆时针旋转得到OE '，旋转角为(090)αα︒<<︒连接E A '，E B '，当23
E A E B ''+的值最小时，请用无刻度的直尺画出点E '，并简要说明点E '的位置是如何找到的（不要求证明） ．
【解答】解：（1）由题意2OE =，3OB =，
∴2
3
OE OB =， 故答案为：23
．
（2）如图，取格点K ，T ，连接KT 交OB 于H ，连接AH 交DE 于E '，连接BE '，点E '即为所求．
故答案为：通过取格点K 、T ，使得:2:3OH OD =，构造相似三角形将23
E B '转化为E H '，利用两点之间线段最短即可解决问题．
15．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
已知平面上两点A 、B ，则所有符合(0PA k k PB
=>且1)k ≠的点P 会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．
阿氏圆基本解法：构造三角形相似．
【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在x 轴，y 轴上分别有点(,0)C m ，(0,)D n ，点P 是
平面内一动点，且OP r =，设OP k OD
=，求PC kPD +的最小值．
阿氏圆的关键解题步骤：
第一步：如图1，在OD 上取点M ，使得::OM OP OP OD k ==； 第二步：证明kPD PM =；第三步：连接CM ，此时CM 即为所求的最小值． 下面是该题的解答过程（部分）:
解：在OD 上取点M ，使得::OM OP OP OD k ==，
又POD MOP
∠=∠，POM DOP
∴∆∆
∽．
任务：
（1）将以上解答过程补充完整．
（2）如图2，在Rt ABC
∆中，90
ACB
∠=︒，4
AC=，3
BC=，D为ABC
∆内一动点，满
足2
CD=，利用（1）中的结论，请直接写出
2
3
AD BD
+的最小值．
【解答】解（1）在OD上取点M，使得::
OM OP OP OD k
==，
又POD MOP
∠=∠，
POM DOP
∴∆∆
∽．
:
MP PD k
∴=，
MP kPD
∴=，
PC kPD PC MP
∴+=+，当PC kPD
+取最小值时，PC MP
+有最小值，即C，P，M三点共线时有最小值，
利用勾股定理得2222222
()
CM OC OM m kr m k r
=+=+=+．
（2）4
AC m
==，
2
3
CD
BC
=，在CB上取一点M，使得
24
33
CM CD
==，
∴
2
3
AD BD
+的最小值为22
4410
4()
33
+=．。