2020届高考数学二轮复习刷题型解答题六文数3

解答题(六)
17.已知在厶ABO 中，内角 A , B, C 所对的边分别为 a , b , c ,且满足a + 2a cos B = c . (1) 求证：B= 2A
(2) 若厶ABC 为锐角三角形，且 c = 2,求a 的取值范围. 解 ⑴ 证明：因为a + 2a cos B = c ,由正弦定理知
sin A + 2sin A cos B = sin C = sin( A + B ) = sin A cos B + cos A sin B , 即卩 sin
A = cos A sin
B — sin A cos B = sin( B — A .
因为 A , B€ (0 , n )，所以 B — A (— n , n ),
且 A + (B — A = B € (0 , n )，所以 A + ( B 一 A 工 n , 所以 A = B- A , B = 2A
B 3B
⑵由(1)知 A = 2 C = n — A — B = n ——.
0<B <n
2 2
18 . (2019 •安徽江淮十校第三次联考 )在三棱柱 AB(- ABC 中，D 为AB 的中点，点E 在 侧棱
CC 上, DE/平面ABC .
(1) 证明：E 是CC 的中点；
(2) 设/ BAC= 90°,四边形ABBA 是边长为2的正方形，四边形ACC 1为矩形，且DE=J 5, 求三棱锥B — AAC 的体积.
解(1)证明：如图，取 AC 的中点M 连接DM EM 因为D 为AB 的中点，所以 DM/ BC
由厶ABC 为锐角三角形得
n
0<B <y , 0< n 3B n
< , 2 2 ' 由 a + 2a cos B = 2,得 a =
2 1+2cos
B
€ (1,2)
// BC,又DM平面ABC, B1C1?平面ABC, 所以DI/平面ABC.
又DE//平面ABC,且DM T DE= D,所以平面DEM平面ABC,又EM?平面DEM所以EM //平面ABC,而EM P平面ACCA i，且平面ACCA T平面ABC = AG，所以EM/ AG,而M为AC 的中点，所以E为CC的中点.
(2)因为四边形ABBA i为正方形，所以A i B i丄AA，又/ BAC= 90°，所以A i B丄A C,而AA T A i
C i = A,所以AB 丄平面AAC.连接AE 贝U DAL AE 设AC= x，于是AE= 1 + x2 3,
1 1
由A E + A D=D E,得i + x + i =(叮5)：所以x =•, 3.即AC= 3,所以V B「AAC = -
X 2X 3X 2= 攀.所以三棱锥B-AAC的体积为字.
i 9 . (20 i 9 •山东临沂三模)甲、乙两人参加一个射击的中奖游戏比赛，在相同条件下各打靶50次，统计每次打靶所得环数，得下列频数分布表.
环数345678910
甲的频数0147 1 4 1 662
乙的频数1256 1 0 1 682
比赛中规定所得环数为i ,2,3,4时获奖一元，所得环数为5,6,7时获奖二元，所得环数为8,9时获奖三元，所得环数为 1 0时获奖四元，没命中则无奖.
(1 )根据上表，在给定的坐标系内作出甲射击50次获奖金额(单位：元)的条形图；
和方差作出选择.
解（1）依题意知甲50次获奖金额（单位：元）的频数分布为
获奖金额 1 2 3 4 频数
1
25
22
2
其获奖金额的条形图，如图所示.
（2）甲射击一次所获奖金至少为三元，即打靶所得环数至少为 8，因为甲所得环数至少为 8的有16+ 6 + 2= 24（次），所以估计甲射击一次所获奖金至少为三元的概率为
(3) 甲50次获奖金的平均数为 50X (1 X 1 + 2X 25+ 3X 22+ 4X 2) =
5
50 2 因为甲、乙的平均数相等，甲的方差小，故派甲参赛比较好
20 . （2019 •全国卷I ）已知点 A B 关于坐标原点 O 对称，|AB = 4, O M 过点A , B 且与 直线x + 2 = 0相切.
（1）若A 在直线x + y = 0上，求O M 的半径；
⑵ 是否存在定点P,使得当A 运动时，|MA —I MP 为定值？并说明理由.
解 ⑴ 因为O M 过点A , B ,所以圆心 M 在AB 的垂直平分线上.由已知 A 在直线x +y = 0上，且A , B 关于坐标原点 O 对称，所以 M 在直线y = x 上，故可设 Ma , a ）.
因为O M 与直线x + 2 = 0相切，所以O M 的半径为r = | a + 2|.
24 12 50 = 25
.
甲50次获奖金额的方差为 50
x
_
1
一 I 、
1+ 2 -
汁 25+
3
乙50次获奖金额的方差为 50
X 1
—2
2X 3+ 2
—2
2X 21+ 3
X 22+
X 24+
4 - i 2
X2
37
100-
=丄X — 50 2 20
=丄 X 37 = 50 2
由已知得|AQ = 2.又MO_AO故可得2a1 2+ 4= (a+ 2)2,解得a= 0或a= 4.
故O M的半径r = 2或r = 6.
(2)存在定点P(1,0)，使得|MA —|MP为定值.
理由如下：
设Mx, y)，由已知得O M的半径为r = |x+ 2| ,
| AQ = 2.
由于M Q AQ故可得x2+ y2+ 4 = (x+ 2)2，化简得M的轨迹方程为y2= 4x.
因为曲线C: y2= 4x是以点F(1,0)为焦点，以直线x=—1为准线的抛物线，所以| MP =x+ 1.
因为| MA —| Mp = r —| Mp = x+ 2 —(x+ 1) = 1,
所以存在满足条件的定点P.
1
21.(2019 •湖北黄冈2月联考)已知函数f (x) = (x—2)e x+ ^ax2—bx的导函数为f'( x), 其中e为自然对数的底数，e= 2.718281 &…，且f '⑴=0.
(1) 讨论f(x)的单调性；
(2) 若存在正数X0,使得f(X0)V2a,求实数a的取值范围.
解(1)f'(x) = (x—1)e x+ ax —b,：f' (1) = 0,
a—b= 0，即b= a,
••• f，(x) = (x—1)(e x+ a),
x 1 2
f (x) = (x —2)e + ^ax —ax,
①当a》0 时，x v 1, f'(x) V 0, x> 1, f'(x) > 0,
•f(x)在(—a, 1)上单调递减，在(1 ,+s)上单调递增，
②当一e v a v 0 时，ln ( —a) v 1,令f '( x) > 0,
解得x v ln ( —a)或x> 1.令f'(x) v 0,解得ln ( —a) v x v 1,
•f(x)在(一a, ln ( —a))和(1 ,+a)上单调递增，在(In ( —a) , 1)上单调递减；
③当a v —e 时，In ( —a)>1，令f '(x) >0,解得x>ln ( —a)或x v 1,令f'( x) v 0, 解得1 v x v ln ( —a),
•f(x)在(一a, 1)和(ln ( —a) ,+a)上单调递增，在(1 , ln ( —a))上单调递减；
④当a= —e时，f (x)在R上单调递增.
1
(2)由(1)知，①当a》0时，需f(1) =—e—^a v2a,满足题意；
1
②当—e v a v 0 时，需f(1) = —e —?a v 2a 或f (0) = —2 v 2a,
2 2
解得 a >- _e
,A - _
e v a v 0
；
③当 a v-e 时，需 f (0) =- 2v 2a 或 f (ln ( — a )) v 2a .当 f (0) v 2a 时，a >— 1,无解； 4
当 f [ln ( — a )] v 2a 时，得 ln ( — a )<0 或 ln ( — a ) >4,解得 a >- 1 或 a v - e ,• a
4
v- e ;
④当a =-e 时，需f （0） =-2v 2a ,无解，不满足题意.
22 •在极坐标系中，曲线
C 的极坐标方程是 p = -一~-
24
4cos
轴为x 轴正半轴（两坐标系取相同的单位长度 ）的直角坐标系
线G 上的动点，求| MN 的最小值. 解
（1）
v C 的极坐标方程是p —4迹0+ 3sin 0，
x = cos 0 , 曲线 C ： y = sin
0 ,
x = 2迈COS a ,
=1,则曲线G 的参数方程为勺 ]
y= 2sin a
设N2^2COS a , 2sin a )，则点N 到曲线C 的距离为 ,|4 X2 2cos a + 3X 2sin a — 24|
综上所述，a 的取值范围是（-m,- e 4） U
2
_e -km
5e
,十
x = cos y = sin
（0为参数）•
(1) 求曲线 C 的直角坐标方程与曲线 C 2的普通方程;
将曲线 C 2经过伸缩变换
:=算，后得到曲线
G,若M N 分别是曲线C 和曲
，以极点为原点O,极
十 3sin 0
xOy 中，曲线C 2的参数方程为
24
••• 4 p cos 0 + 3 p sin 0
=24,整
理得
••• C 的直角坐标方程为 4x + 3y - 24= 0. 故C 2的普通方程为x 2 2 “
十 y = 1.
⑵将曲线C2经过伸缩变换 F = $晶,后得到曲线
y ，= 2y
C 3的方程为
（a 为参数）•
d= '
|2 .41口「1 a 十 $ —24|
5
24—2 .41对11 a 十 $
5
23 .已知函数 f (x ) = 3|x — a | + |3x + 1| , g (x ) = |4 x —1| - | x + 2|. (1)求不等式g (x )<6的解集；
⑵ 若存在X 1，X 2 € R,使得f (x"和g (X 2)互为相反数，求 a 的取值范围.
3x — 3, X 」,
• ' 4'
当X W — 2时，—3x + 3<6,解得x >— 1，此时无解. 1 7
当一2<x w ：时，一5x — 1<6，解得 x >—-,
4 5
7 1
即-5<x w 4.
1 1
当；<x 时，3x — 3<6,解得 x <3，即-<x <3. 4 4 综上，g (x )<6 的解集为x - 5<x <
3
.
(2)因为存在X 1, X 2€ R ,使得f (X 1) =- g (X 2)成立. 所以｛y |y = f (X ), x € R Q ｛y |y =- g (x ), x € R ｝工?.
又 f (x ) = 3| x - a | + |3 x +1| > |(3 x -3a ) - (3x + 1)| = |3 a + 1| , 7 9 、
由(1)可知 g (x ) € |-4,+^ , 则一g (x ) € -s, 4 .
9 13
5
所以|3a +1| w 4,解得—存a <匚. 故a 的取值范围为卜祛12 .
1
5
乙50次获奖金的平均数为 50X (1 X 3+ 2X 21 + 3X 24 + 4X 2)= 刁
当sin( a + Q ) = 1时，d 有最小值
24 - 2 41
5
所以| MN 的最小值为 24 - 2 41
5
(1) g (x )=
—3x + 3, —5x — 1,
1
—2
<x
w ,。