分数阶不确定Rossler混沌系统的自适应滑模同步

浙江大学学报(理学版)
Journal of Zhejiang University (Science Edition )
http :///sci
第 48 卷第 2 期2021 年 3 月
Vol. 48 No. 2Mar. 2021
DOI ： 10.3785/j.issn.1008-9497.2021.02.012
分数阶不确定Rossler 混沌系统的自适应滑模同步
毛北行，王东晓
(郑州航空工业管理学院数学学院，河南郑州450015)
摘 要：利用自适应滑模控制方法研究了带有模型不确定性和外扰的Rossler 混沌系统的同步问题，得到分数阶 不确定Rossler 混沌系统取得自适应滑模同步的充分条件，并将分数阶的相关结论平推至整数阶系统。

最后，通
过MATLAB 仿真实验验证了结论的正确性。

关 键 词：分数阶；Rossler 混沌系统；不确定；适应滑模中图分类号：O 231
文献标志码：A
文章编号：1008-9497(2021)02-210-05
MAO Beixing, WANG Dongxiao ( Mathematics College, Zhengzhou University of Aeronautics, Zhengzhou 450((15, China )
Self-adaptive sliding mode synchronization of fractional -order uncertain Rossler chaotic systems . Journal of
Zhejiang University (Science Edition),2021,48(2)：210-214
Abstract ： The self -adaptive sliding mode synchronization of Rossler chaotic systems with model uncertainties and
external disturbances is studied based on adaptive sliding mode control methods. The sufficient conditions are obtained
for Rossler chaotic systems getting adaptive sliding mode synchronization. And the conclusions of fractional -order
Rossler system are extended to integer -order system. The conclusions are shown to be correct using MATLAB
numerical simulations examples.
Key Words ： fractional -order ； Rossler chaotic system ； uncertain ； adaptive sliding mode
混沌系统的同步控制广受关注［T ］。

近年来:针 对分数阶混沌同步问题的研究不断深入:并取得了一 系列研究成果J"。

例如:文献［10］研究了超混沌分 数阶Bao 系统的反馈同步;文献［11］研究了一类分数
阶不确定Victor -Carmen 混沌系统的自适应滑模同 步控制；文献［12］基于比例积分滑模方法研究了分数 阶不确定超混沌Bao 系统的同步。

在实际应用中，模 型的不确定性、被控对象的结构变化、测量误差以及
外部扰动等均会影响系统的性能:因此:须考虑这些 因素造成的影响。

例如:文献［13］研究了具有有界外 扰和不确定项的分数阶超混沌金融系统滑模同步的4 种方法。

Rossler 混沌系统的同步亦广受关注。

例
如:文献［14］研究了基于back -stepping 方法对超混
沌Rossler 系统的控制与同步；文献［15］研究了双时 滞Rossler 系统的分支分析与混沌控制；文献［16］研 究了基于曲率指数的耦合混沌系统的完全同步分析。

受上述结论启发:笔者利用自适应滑模控制方法:研
究了带有模型不确定性和外扰的Rossler 混沌系统的
同步问题:得到分数阶不确定Rossler 混沌系统取得 适应滑模同步的充分条件，所得结论说明不确定
Rossler 混沌系统在一定条件下取得了自适应滑模同
步。

最后:用数值仿真实验对结论进行了检验。

1主要结果
定义1［17］ Caputo 分数阶导数定义为
收稿日期：2020-03-25.
基金项目：国家自然科学基金资助项目(11801528 : 41906003).
作者简介：毛北行( 1976—) :ORCID :http :///0000—0002—9232—3434 :男，硕士 ：教授：主要从事分数阶混沌系统同步控制研究：
E —mail ： ***************
.
第2期毛北行：等：分数阶不确定Rdssler混沌系统的自适应滑模同步211
、d n
c D；,t.x(t)=D；—；一乔x(t)=
1t
百------7I(t-T)n-a-1x(n，(T)d T:
r(n—a)J t o
n—1<a<n C Z十-
以分数阶Rdssle混沌系统
D(x=—(y+z):
<D t y=x+ay:(1)
邛z=b+z(x—c)
为主系统:当a=0.2:b=0.2:c=5.0:q=0.92时:系统的时域波形图和相平面图分别如图1和图2所示。

_10050100150200250300
t
图1系统的时域波形图
Fig.1Time domain of the system
-10
图2系统的相平面图
Fig.2Phase plane of the system
从系统为
D q x1=—(y1+z1):
<D t y1x1+ay1:(2)
D q z1=b+z1(x1—c)+M(y)+d(t)+u(t):
其中，不确定项、f(y):y=[x1:y1:z1]T:d(t)为外扰:u(t)为控制器。

定义
e1(t)=x1(t)—x(t):e；(t)=y1(t)—y(t):
e3(t)=z1(t)—z(t):得到误差方程：
D q e1=—(e；+e3):
<D q e；=e1+ae；:(3) D q e3=z1x1—zx—ce3+A f(y)+d(t)+u(t)o
假设1假设不确定项、f(y)和外部扰动d(t)
有界:即存在未知参数m:n>0:使得
|、f(y)<m:d(t)<n。

引理1：18]若x(t)为连续可微函数:则有土D；xT(t)x(t)C x气t)D：x(t):a C(0:1)°
引理2[18]设V(t)=|:y；(t)+y；(t)]:其
中:y1(t):y；(t)C R具有连续一阶导数:若存在常数k>0:使得D：V(t)C—：；(t):贝」||y1(t)||: ||y；(t)II有界:且y；(t)C2V(0)E：:1(—2kt)。

其中，E a,1(・)表示双参数Mittag-Leffler函数，则y1(t)具Mittag-Leffler稳定且丿匹||y1(t)|=0。

定理1在假设1条件下，设计滑模面5= D q e1(t)—ke；(t):k>0:设计控制器
u=—z1x1+zx+ce3—(k+1)e1—
a(k+1)e；+(m+n+n5)sgn s:
D q m一s:m(o)=m o,
设计适应律「j、
(D q n=s:n(0)=n*:
其中:m:n分别为m:n的估计值:n>0。

则式(1)和式(2)适应滑模同步。

证明滑模面上s=0今D q e1(t)=ke；(t):由式(3)第1个方程-得—(e；+e3)=ke；。

进一步得到e3=—(k+1)e；:对式(3)第2个方程两边同求q阶微分D q e；=e1+ae；:得到D；q e；= D q e1+aD q e；:因为D q e1(t)=ke；(t):所以D；q e；= ke；+aD q e；:利用Laplace变换-记E；(s)= L(e；(t)):则有
:5；q E；(5)—s；q一1e；(0)-s2q一；e；(0)]—
kE；(s)—a[s q E；(s)—s q-1e；(0)]=0。

由Laplace终值定理-有
lim e2(t)=lim sE；(s)=
t—8s—0
(s勿—as q)e2(0)+s2q—1e；(0)
l—0--------------------s；q—as q-k--------=0今
e；—0o
由于e3=—(k+1)e；今e3—0:且e；—0今D q e2—0:将其代入式（3）第2个方程，有D q e；= e1+ae；今e1—0。

所以定义的滑模面具有稳定性。

下证滑模面的可达性
212浙江大学学报（理学版）第48卷
当设计函数V(t)=|2+£(m—m)2+ -1(n-n)2不在滑模面上时:由引理1、求导得
D V V C sD V s+(m—m)D t m+("—n)D"t”C
s(D2e1—kD\e2)+(m—m)s+
(”一n)s=s[—D\e2—D q e3—
kD\e，
2]+(m—m)s+(”一n)s=
s[—(k+1)e1—a(k+1)e2+ce3+
zx—
—z1x1——y(y)——d(t)——u(t)]+
(m—m)s+(”一n)s C
s(m+n)—s(m+n)—n s|2+
(m—m)s+(n—n)s=—n s|2<0。

由引理2:有s—0。

以整数阶Rossle混沌系统
x=—(y+z):
<y=x+ay:(4)
z一b+z(x—c)
为主系统:从系统为
•^1=—(y1+z1):
』一x1+ay1:(5) z】一b+z1(x1—c)+为'(y)+d(:)+u(:):
定义
e1(t)=x1(t)—x(t):
e2(t)=y1(t)—y(t):
e：,t)=z1(t)—z(t):
得误差方程
01=—(e2+e：J:
*&2—e1+ae2:(6) e：[一z1x1——zx——ce3+y(y)+d(t)+u(t)。

引理3(Barbalat's)[19]若函数f(t)在[0,
+c)上一致连续，且广义积分J f(t)d t存在，则
lin i f(t)=0:其中,f(t)为一致连续函数。

定理2在假设1条件下，设计滑模面s= e,t)+pe2(t):P<0:设计控制器
u=—z1x1+zx+ce3+(p—1)e1+a(p—1)e2+ (m+n+n)sgn s:
m一s|:m(0)=m0,
设计适应律｛•二
n=s:n(0)=”0,
其中:m:n分别为m:n的估计值:n>0。

则式(4)和式(5)适应滑模同步。

证明滑模面上s=0G e,t)=—pe2(t):即—(e2+e3)=—pe2:进一步得到e3=(p—1)e’z:对式(6)第2个方程求一阶微分:得到N—&1+eg因为e,t)=—pe2(t):所以e；—ae，2+pe2=0:以e2(t)为变量，则其特征值久=上±；一❾:由于p<0:所以久1>0:久2<0:e2(t)=C代"1'+C心:又
由于混沌系统轨迹有界，所以|e2(t)I必有界，从而必有c1=0o否则，若C1H0。

e2无界，易得lim e2(t)=0:由于e3=(p—1)e戶e3—0:将lim e2(t)=0。

e2—0。

e：—0代入式(6)第2个方t i c
程:得到e1—0。

所以定义的滑模面具有稳定性。

下证滑模面的可达性。

当设计函数V(t)=2s'+£(m—m)2+ -2(n-n)2不在滑模面上时:求导可得
V=ss+(m—m)m+(n—”)n c
s(61+p&2)+(m—m)s+(”一n)s=
s(—e—e：3+p&2)+(m—m)s+
(n—n)s=s[(p—1)e1+a(p—1)e2+
ce3+zx—z1x1—A/'(y)—d(t)—u(t)]+
(m—m)s+(”一n)s C
s(m+n)—s(m+n+n)+
(m—m)s+(n—n)s=—n s<0:
对两边积分，有J0n s(T)d r C-J0Pd t<V(0)< +c:由引理3:得s—0。

证毕！
2数值仿真
以MATLAB仿真程序对上述系统进行数值仿真:选取初始值及系统参数为
a=0.2b=0.2c=5.0=0.92
A f(y)=0.3cos(2n y1):
d(t)=0.6sin t,n=3:(m(0):”2(0))=(0.6:0.5):
x(0)=0.5:y(0)=1:z(0)=1:
x1(0)=1.5:y1(0)=1.2:z1(0)=1。

在定理1中，设计滑模面s=D V e1(t)—ke2(t):
k>0设计控制器
u=—z1x1+zx+ce3—(k+1)e1—
a(k+1)e z+(m+"+n s)sgn s。

在定理2中，设计滑模面
s=e,t)+pe2(t):p<0o
在定理1中，设计适应律
第2期毛北行：等：分数阶不确定Rdssler混沌系统的自适应滑模同步213
\d(m—s|:m(o)=m o:
\d("-1s:n(o)=”0:
在定理2中设计控制器
u=—z1x1+zx+ce3+(p—1)e1+
a(p—1)e”+(m+n+n)sgn S o
在定理2中:设计适应律
m—s:m(o)=m0:
”一s:”(0)=”0
定理1和定理2的误差分别如图3和图4所示-由图3和图4知，初始时刻误差相差较大:距离原点较远:随着时间的推移:误差逐渐趋于一致:趋向坐标原点:表明系统取得了滑模同步。

G0--------------------------------------------------------------
—1 _____________________________
05101520253035404550
0.5r
&0、-------------------------------------------------------
-0.5---------------------------------------------------------
05101520253035404550
0.05r
&0---------------------------------------------------------------
-0.05---------------------------------------------------------
05101520253035404550
图3定理1的误差
Fig.3Errors in theorem1
G0---------------------------------------------------------------
_105101520253035404550
0.5=
&0-V-------------------------------------------------------------
-0.5------------------------------------------------------------05101520253035404550
0.1
&0----------------------------------------------------------------
—01 ______________________________
■05101520253035404550
图4定理2的误差
Fig4Errors in theorem2
3结论
研究了具有模型不确定性和有界外部扰动的分
数阶不确定Rdssler混沌系统的自适应滑模同步问题。

通过构造适当的滑模面、控制器和适应律:得到分数阶不确定Rdssler混沌系统的自适应滑模同步的充分条件。

本文方法不仅适用于分数阶混沌系统:而且可平推至整数阶系统。

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