2019届二轮复习 数形结合思想 课件(39张)(全国通用)
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第 一 篇
数学思想、技法篇
第二讲
数形结合思想
思想方法突破 S
典例剖析 方法探究
要点一
利用数形结合思想研究函数的零点、
1 －2x [解析] (1)在同一坐标系下画出函数 y＝2e 与 y＝|lnx|的大 致图象，结合图象不难看出，这两条曲线的两个交点中，其中一 个交点横坐标属于区间(0,1)，另一个交点横坐标属于区间(1，＋ 1 －2x1 ∞)， 不妨设 x1∈(0,1)， x2∈(1， ＋∞)， 则有2e ＝|lnx1|＝－lnx1
[对点训练] 1．(2018· 大连模拟)已知函数
|x|，x≤m， f(x)＝ 2 x －2mx＋4m，x>m，
其中 m>0.若存在实数 b，使得关于 x 的方程
f(x)＝b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是________．
[解析] 作出 f(x)的图象如图所示．当 x>m 时，x2－2mx＋4m ＝(x－m)2＋4m－m2， ∴要使方程 f(x)＝b 有三个不同的根，则有 4m－m2<m，即 m2－3m>0.又 m>0，解得 m>3.
(2)根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心 C 的坐标为 (3,4)，半径 r＝1，且|AB|＝2m，因为∠APB＝90° ，连接 OP，易 1 知|OP|＝2|AB|＝m.要求 m 的最大值， 即求圆 C 上的点 P 到原点 O 的最大距离．
因为|OC|＝ 32＋42＝5， 所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即 m 的最大值为 6，故选 B.
[答案] (1)D (2)B
利用数形结合思想解决最值问题的 3 点思路 (1) 对于几何图形中的动态问题，应分析各个变量的变化过 程，找出其中的相互关系求解． (2)对于求最大值、最小值问题，先分析所涉及知识，然后画 出相应图象，数形结合求解． (3)如果(不)等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就 要考虑用数形结合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解．18· 武汉二模)已知抛物线的方程为 x2＝8y， F 是其焦点， 点 A(－2,4)，在此抛物线上求一点 P，使△APF 的周长最小，此 时点 P 的坐标为________．
[解析] 因为(－2)2<8×4，所以点 A(－2,4)在抛物线 x2＝8y 的内部，
[答案] (3，＋∞)
2．设点 M(x0,1)，若在圆 O：x2＋y2＝1 上存在点 N，使得∠ OMN＝45° ，则 x0 的取值范围是________．
[解析] 如图所示， 由题意可知 M 在直线 y＝1 上运动， 设直 线 y＝1 与圆 x2＋y2＝1 相切于点 P(0,1)．当 x0＝0 即点 M 与点 P 重合时，显然圆上存在点 N(± 1,0)符合要求；当 x0≠0 时，过 M 作 圆的切线，切点之一为点 P，此时对于圆上任意一点 N，都有∠ OMN≤∠OMP，故要存在∠OMN＝45° ，只需∠OMP≥45° .特别 地，当∠OMP＝45° 时，有 x0＝± 1.结合图形可知，符合条件的 x0 的取值范围为[－1，1]．
1 1 (2)方程 ＝a|x|有三个不同的实数解等价于函数 y＝ 与 x＋2 x＋2 y＝a|x|的图象有三个不同的交点．在同一直角坐标系中作出函数 1 y＝ 与 y＝a|x|的图象，如图所示，由图易知，a>0.当－2<x<0 x＋2 1 时，设函数 y＝a|x|＝－ax 的图象与函数 f(x)＝ 的图象相切于 x ＋2 1 点(x0，y0)，因为 f ′(x0)＝－ ，则有 x0＋22
y0＝－ax0， y 0 ＝ 1 ， x0＋2 1 2＝a， x ＋ 2 0 ＋∞)，故选 C.
[答案] (1)B
解得 a＝1，所以实数 a 的取值范围为(1，
(2)C
利用数形结合求方程解、函数零点问题的 2 个注意点 (1)讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转 化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意 图象的准确性、全面性，否则会得到错解． (2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结 合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合．
[答案] [－1,1]
要点二
利用数形结合思想解决最值问题
[解析]
(1)方程(x－2)2＋y2＝3 的几何意义为坐标平面上的
y y－0 一个圆，圆心为 M(2,0)，半径为 r＝ 3(如图)，而x＝ 则表示 x－0 圆 M 上的点 A(x，y)与坐标原点 O(0,0)的连线的斜率．
所以该问题可转化为动点 A 在以 M(2,0)为圆心， 以 3为半径 的圆上移动，求直线 OA 的斜率的最大值． 由图可知当∠OAM 在第一象限，且直线 OA 与圆 M 相切时， OA 的斜率最大， 此时 OM＝2， AM＝ 3， OA⊥AM， 则 OA＝ OM2－AM2＝1， AM y tan∠AOM＝ OA ＝ 3，故x的最大值为 3，故选 D.
1 －2 1 1 1 －2 1 －2x2 1 ∈2e ，2，2e－2x2＝|lnx2|＝lnx2∈0，2e ，2e －2e－2x1 1 ＝lnx2＋lnx1＝ln(x1x2)∈－2，0，于是有
1 1 － 2 0 e <x1x2<e ，即 e
<x1x2<1，故选 B.
[对点训练] 3．(2018· 广东广州测试)若 x，y 满足约束条件 x－y＋2≥0， 2y－1≥0， x－1≤0， 1 A.2 1 C．－2 则 z＝x2＋2x＋y2 的最小值为( 1 B.4 3 D．－4
)
[解析]
画出约束条件对应的平面区域，如图中阴影部分所
示，z＝x2＋2x＋y2＝(x＋1)2＋y2－1，其几何意义是平面区域内的 点(x，y)到定点(－1,0)的距离的平方再减去 1，观察图形可得，平 1 面区域内的点到定点(－1,0)的距离的最小值为2，故 z＝x2＋2x＋ 1 3 y 的最小值为 zmin＝4－1＝－4，故选 D.
数学思想、技法篇
第二讲
数形结合思想
思想方法突破 S
典例剖析 方法探究
要点一
利用数形结合思想研究函数的零点、
1 －2x [解析] (1)在同一坐标系下画出函数 y＝2e 与 y＝|lnx|的大 致图象，结合图象不难看出，这两条曲线的两个交点中，其中一 个交点横坐标属于区间(0,1)，另一个交点横坐标属于区间(1，＋ 1 －2x1 ∞)， 不妨设 x1∈(0,1)， x2∈(1， ＋∞)， 则有2e ＝|lnx1|＝－lnx1
[对点训练] 1．(2018· 大连模拟)已知函数
|x|，x≤m， f(x)＝ 2 x －2mx＋4m，x>m，
其中 m>0.若存在实数 b，使得关于 x 的方程
f(x)＝b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是________．
[解析] 作出 f(x)的图象如图所示．当 x>m 时，x2－2mx＋4m ＝(x－m)2＋4m－m2， ∴要使方程 f(x)＝b 有三个不同的根，则有 4m－m2<m，即 m2－3m>0.又 m>0，解得 m>3.
(2)根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心 C 的坐标为 (3,4)，半径 r＝1，且|AB|＝2m，因为∠APB＝90° ，连接 OP，易 1 知|OP|＝2|AB|＝m.要求 m 的最大值， 即求圆 C 上的点 P 到原点 O 的最大距离．
因为|OC|＝ 32＋42＝5， 所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即 m 的最大值为 6，故选 B.
[答案] (1)D (2)B
利用数形结合思想解决最值问题的 3 点思路 (1) 对于几何图形中的动态问题，应分析各个变量的变化过 程，找出其中的相互关系求解． (2)对于求最大值、最小值问题，先分析所涉及知识，然后画 出相应图象，数形结合求解． (3)如果(不)等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就 要考虑用数形结合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解．18· 武汉二模)已知抛物线的方程为 x2＝8y， F 是其焦点， 点 A(－2,4)，在此抛物线上求一点 P，使△APF 的周长最小，此 时点 P 的坐标为________．
[解析] 因为(－2)2<8×4，所以点 A(－2,4)在抛物线 x2＝8y 的内部，
[答案] (3，＋∞)
2．设点 M(x0,1)，若在圆 O：x2＋y2＝1 上存在点 N，使得∠ OMN＝45° ，则 x0 的取值范围是________．
[解析] 如图所示， 由题意可知 M 在直线 y＝1 上运动， 设直 线 y＝1 与圆 x2＋y2＝1 相切于点 P(0,1)．当 x0＝0 即点 M 与点 P 重合时，显然圆上存在点 N(± 1,0)符合要求；当 x0≠0 时，过 M 作 圆的切线，切点之一为点 P，此时对于圆上任意一点 N，都有∠ OMN≤∠OMP，故要存在∠OMN＝45° ，只需∠OMP≥45° .特别 地，当∠OMP＝45° 时，有 x0＝± 1.结合图形可知，符合条件的 x0 的取值范围为[－1，1]．
1 1 (2)方程 ＝a|x|有三个不同的实数解等价于函数 y＝ 与 x＋2 x＋2 y＝a|x|的图象有三个不同的交点．在同一直角坐标系中作出函数 1 y＝ 与 y＝a|x|的图象，如图所示，由图易知，a>0.当－2<x<0 x＋2 1 时，设函数 y＝a|x|＝－ax 的图象与函数 f(x)＝ 的图象相切于 x ＋2 1 点(x0，y0)，因为 f ′(x0)＝－ ，则有 x0＋22
y0＝－ax0， y 0 ＝ 1 ， x0＋2 1 2＝a， x ＋ 2 0 ＋∞)，故选 C.
[答案] (1)B
解得 a＝1，所以实数 a 的取值范围为(1，
(2)C
利用数形结合求方程解、函数零点问题的 2 个注意点 (1)讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转 化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意 图象的准确性、全面性，否则会得到错解． (2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结 合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合．
[答案] [－1,1]
要点二
利用数形结合思想解决最值问题
[解析]
(1)方程(x－2)2＋y2＝3 的几何意义为坐标平面上的
y y－0 一个圆，圆心为 M(2,0)，半径为 r＝ 3(如图)，而x＝ 则表示 x－0 圆 M 上的点 A(x，y)与坐标原点 O(0,0)的连线的斜率．
所以该问题可转化为动点 A 在以 M(2,0)为圆心， 以 3为半径 的圆上移动，求直线 OA 的斜率的最大值． 由图可知当∠OAM 在第一象限，且直线 OA 与圆 M 相切时， OA 的斜率最大， 此时 OM＝2， AM＝ 3， OA⊥AM， 则 OA＝ OM2－AM2＝1， AM y tan∠AOM＝ OA ＝ 3，故x的最大值为 3，故选 D.
1 －2 1 1 1 －2 1 －2x2 1 ∈2e ，2，2e－2x2＝|lnx2|＝lnx2∈0，2e ，2e －2e－2x1 1 ＝lnx2＋lnx1＝ln(x1x2)∈－2，0，于是有
1 1 － 2 0 e <x1x2<e ，即 e
<x1x2<1，故选 B.
[对点训练] 3．(2018· 广东广州测试)若 x，y 满足约束条件 x－y＋2≥0， 2y－1≥0， x－1≤0， 1 A.2 1 C．－2 则 z＝x2＋2x＋y2 的最小值为( 1 B.4 3 D．－4
)
[解析]
画出约束条件对应的平面区域，如图中阴影部分所
示，z＝x2＋2x＋y2＝(x＋1)2＋y2－1，其几何意义是平面区域内的 点(x，y)到定点(－1,0)的距离的平方再减去 1，观察图形可得，平 1 面区域内的点到定点(－1,0)的距离的最小值为2，故 z＝x2＋2x＋ 1 3 y 的最小值为 zmin＝4－1＝－4，故选 D.