四川省德阳市四校高三数学3月联合考试试题理

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四川省德阳市四校2015届高三数学3月联合考试试题理
1．已知复数1z i =-，则
2
1
z z =- ( ) A.2 B.-2
C.2i
D.-2i
2．下列命题中，真命题是 ( )
A.000≤∈∃x e R x ，
B.11>>b a ，是1>ab 的充分条件
C.R x ∈∀，2
2x x
> D. 0=+b a 的充要条件是
1-=b
a
3．一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法
抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为1p 、2p 、3p ，则 ( ) A.123p p p =<
B.123p p p >=
C.132
p p p =<
D.132p p p == 4．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是 ( )
A.圆柱
B.圆锥
C.四面体
D.三棱柱 5．将函数()sin f x x ω=(其中ω>0)的图像向右平移
4
π个单位长度，所得图像经过点(43π，0)，则ω的
最小值是 ( ) A.
31 B.1 C.3
5
D.2 6．阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为 ( )
A.7
B.9
C.10
D.11
7．在△ABC 中，①若B =60
，a =10，b =7，则该三角形有且有两解；②若三角形的三边的比是3：5：7，则
此三角形的最大角为120 ；③若△ABC 为锐角三角形，且三边长分别为2，3，x ．则x 的取值范围是
135<<x ．其中正确命题的个数是 ( )
A.0
B.1
C.2
D.3
8．已知0<a ≠1，函数f (x )=x x a a x
x cos 1
2
4+++(-1≤≤x 1)，设函数f (x )的最大值是M ，最小值是N ，则 ( )
A.M+N =8
B.M+N =6
C.M -N =8
D.M -N =6
9．已知双曲线122
22=-b
y a x 的离心率为2=e ，右焦点F 到其渐进线的距离为23，抛物线px y 22=的
焦点与双曲线的右焦点F 重合．过该抛物线的焦点的一条直线交抛物线于A 、B 两点，正三角形ABC 的顶点C 在直线1-=x 上，则△ABC 的边长是 ( )
A.8
B.10
C.12
D.14
10．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-+-+≥-+=0
)3()4(0
)1()(2
222
x a x a a x x a k kx x f ，，，其中a ∈R ，若对任意非零实数1x ，存在唯一实数
)(212x x x ≠，使得)()(21x f x f =成立，则实数k 的最小值为
( )
A.-8
B.-6
C.6
D.8
第Ⅱ卷（非选择题，总分100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卷中相应题目的横线上． 11．已知数列{a n }为等比数列，且π522
7131=+a a a ，则cos (122a a )的值为．
12. 已知实数x ∈[-1，1]，y ∈[0，2]，则点P (x ，y )落在不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-+≤+-≥+-02012022y x y x y x 所表示的区域内的概
率为．
13．在4
6
)1()1(y x ++的展开式中，记n
m
y x 项的系数为f (m ，n )，则f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋
f (0，3) = .
14．已知函数2
233)(m nx mx x x f +++=在1-=x 处取得极值0，则n m += .
→
→
→→→→→→→→→→
均由2个→a 和3个→b 排列而成．记S =→→⋅11y x +→→⋅22y x +→→⋅33y x +→→⋅44y x +→
→⋅55y x ，S min 表示S 所有可能取值中的最小值．则下列所给5个命题中，所有正确的命题的序号是． ①S 有5个不同的值；②若→a ⊥→b ，则S min 与||→
a 无关； ③若→
a ∥→
b ，则S min 与||→b 无关；④若||4||→
→>a b ，则S min >0； ⑤若||2||→
→
=a b ，S min =2
||8→
a ，则→
a 与→
b 的夹角为
3
π．三、解答题：本大题共6个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本题满分12分)在数列{a n }中，已知a 1=-20，a 1+n =a n ＋4(n ∈*N )．
(1)求数列{a n }的通项公式和前n 项和A n ； (2)若n
A b n n 242
+=(n ∈*N )，求数列{b n }的前n 项S n ．
17．(本题满分12分)某种有奖销售的小食品，袋内印有“免费赠送一袋”或“谢谢品尝”字样，购买一
袋若其袋内印有“免费赠送一袋”字样即为中奖，中奖概率为6
1
．甲、乙、丙三位同学每人购买了一袋该食品。

(1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率； (2)求中奖人数ξ的分布列及数学期望ξE ．
18．(本题满分12分)如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点. (1)求直线BE 和平面ABB 1A 1所成角θ的正弦值；
(2)在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥平面A 1BE ？证明你的结论．
19．(本题满分12分)已知函数f (x )=x x x 2
2
cos 2)cos (sin -+(R x ∈)． (1)求函数f (x )的周期和递增区间； (2)若函数m x f x g -=)()(在[0，2
π
]上有两个不同的零点x 1、x 2，求tan (x 1＋x 2)的值．
20．(本题满分13分)已知点F (1，0)，圆E :8)1(22=++y x ，点P 是圆E 上任意一点，线段PF 的垂直
平分线和半径PE 相交于Q ． (1)求动点Q 的轨迹Γ的方程；
(2)若直线l 与圆O :12
2
=+y x 相切，并与(1)中轨迹Γ交于不同的两点A 、B ．当→
→
⋅OB OA =λ，且满足4
3
32≤≤λ时，求△AOB 面积S 的取值范围．
21．(本题满分14分)已知函数f (x )=n m x ++)ln(的图象在点(1，f (1))处
的切线方程是1-=x y ，函数g (x )= bx ax +2(a 、b ∈R ，a ≠0)在x =2 处取得极值-2．
(1)求函数f (x )、g (x )的解析式；
(2)若函数)()1(/x g x f y -+=(其中)(/x g 是g (x )的导函数)在区间(t ，
2
1
+
t )没有单调性，求实数t 的取值范围； (3)设k ∈Z ，当1>x 时，不等式4)(3)()1(/++<-x g x xf x k 恒成立，求
k 的最大值．
2015年3月德阳市四校高三联合测试参考答案理科数学
一、选择题答题表：
8．略解：∵f (x )=x x a a x
x cos 124+++=3x x a a x x cos 11++-+，令g (x )= x x a a x x cos 1
1
++-，则g (x )是奇函数，∴g (x )的值域为对称区间，设-m ≤g (x )≤m (m>0)，则3-m ≤f (x )≤3+m ．
9．略解：依题知双曲线的右焦点也即抛物线的焦点为F (1，0)，所以抛物线的方程为x y 42
=，设AB 的中点为M ，过A 、B 、M 分别作AA 1、BB 1、MN 垂直于密
封线内不能答题密封线内不能 y
|MN |||21|)||(|2111AB BB AA =+=
，∵|MC |||2
3AB =， ∴|MN |3
1=
|MC |，∵∠CMN =θ- 90，
∴31||||)90cos(cos =
=
-=∠MC MN CMN θ
，即3
1
sin =θ，又由抛物线定义知|AF |θcos 12-=
，|BF |θcos 12+=，∴|AB |12sin 4
2
==θ
．其它解法省略．
10．略解：由数形结合讨论知f (x )在(∞-，0)递减，在(0，∞+)递增，且在0=x 连续，
∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-≥-->2
22
)
3()1(0240
a a k a a k 等价于⎪⎩⎪⎨⎧>--=≤≤01)3(4022a a k a 等价于⇔⎪⎩⎪⎨⎧--=<≤22
1)3(10a a k a
令221)3()(a a a g --=，则11610)(2---=a a a g )10(<≤a 且2
2/
)1()3)(13(2)(a a a a g ----= )10(<≤a ，∴)(a g 在(0，31)上递减，在上递增[31，1)上递增，即8)3
1
(min ==g k ．
二、填空题： 11．
21；12．8
3
；13．120；14．11；15．②④⑤． 15．提示：有零对→
→⋅b a 时，2
2
1||3||2→
→
+=b a S ；有两对→→⋅b a 时，→
→→
→
⋅++=b a b a S 2||2||2
2
2；
有四对→
→⋅b a 时，→
→→
⋅+=b a b S 4||2
3；∴S 有3个不同的值；又∵2
21)(→
→
-=-b a S S ，232)(→
→
-=-b a S S ，∴321S S S >>；
S min →→→
⋅+==b a b S 4||2
3；∴当→a ⊥→b ，则S min 与||→a 无关；S min 与||→
b 有关；
设→
a 与→
b 的夹角为θ；
当||4||→→>a b 时，S min 0)cos 1(||164||2
2
3≥+>⋅+==→
→→→
θa b a b S ；当||2||→→=a b 时，S min 2
2
2
3||8cos ||8||44||→
→→
→→→
=+=⋅+==a a a b a b S θ，
∴2
1cos =
θ，即3πθ=．
三、解答题：
16．解：(1)∵数列{a n }满足a 1+n =a n ＋4(n ∈*N )，∴数列{a n }是以公差为4，以a 1=-20为首项的等差数列．
故数列{a n }的通项公式为a n =244)1(420-=-+-n n (n ∈*N )，数列{a n }的前n 项和A n =n n 2222
-(n ∈*N )； (2)∵1
1
1)1(1242+-=+=+=
n n n n n A b n n (n ∈*N )，
∴数列{b n }的前n 项S n 为
n n b b b S +++= 2111
1)111()3121()211(+-=+-
++-+-=n n n
1
+=n n ． 17．解：设甲、乙、丙三位同学中奖分别为事件A 、B 、C ，那么事件A 、B 、C 相互独立，且P (A )=P (B )=P (C )6
1
=
． (1)甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为：
P (____C B A ⋅⋅)=P (A )P (__B )P (__
C )216
25)65(612=⨯=
． (2)∵中奖人数ξ=0，1，2，3，依题ξ～3(B ，)6
1
，且k
k
k
C k P -==33)
6
5()6
1()(ξ(ξ=0，1，2，3)，
∴中奖人数ξ的分布列为：
ξ的数学期望2
63=⨯=ξE ．
18．解：设正方体的棱长为1，以A 为原点，直线AB 、AD 、AA 1分别为x 轴、y 轴、z 轴．则A (0，0，0)，
B (1，0，0)，A 1(0，0，1)，B 1(0，0，1)，D (0，1，0)，D 1(0，1，1)，∵E 是DD 1的中点，∴E (0，
1，21)，=→BE (-1，1，2
1
)，=→1BA (-1，0，1)．
(1)∵ABCD —A 1B 1C 1D 1为正方体，∴AD ⊥平面ABB 1A 1，即=→
AD (0，1，0)为平面ABB 1A 1的一个法向
量，直线BE 和平面ABB 1A 1所成角θ的正弦值为：
，→
<=BE cos |sin θ3
2
|
||||||=
⋅⋅=
>→
→
→
→
→
AD BE AD BE AD ； (2)当点F 为棱的C 1D 1中点时，B 1F ∥平面A 1BE ，证明如下：
由→BE 、→1BA 的坐标可求得平面A 1BE 的一个法向量为=→
n (2，1，2)， ∵点F 在棱C 1D 1上，设→
→
=111C D F D λ，则==→
→
AB F D λ1(λ，0，0)， ∴+=→
→
1AD AF (λ，0，0)= (λ，1，1)，
进而→
→→-=11AB AF F B = (λ，1，1)-(0，0，1)= (1-λ，1，0)． ∵B 1F ∥平面A 1BE ，∴→F B 1⊥→n ，即→F B 101)1(2=+-=⋅→
λn ，∴2
1=λ，故点F 为棱的C 1D 1中点时，B 1F ∥平面A 1BE 得到证明．综合法在此省略．
19．解：(1)∵f (x )=)4
2sin(22cos 2sin cos 2)cos (sin 2
2π
-
=
-=-+x x x x x x (R x ∈)．
由224222π
ππ
π
π+
≤-
≤-
k x k ⇒8
38π
ππ
π+
≤≤-
k x k (Z k ∈)，
∴函数f (x )的周期为π=T ，递增区间为[8ππ-k ，8
3π
π+k ](Z k ∈)；
(2)∵方程0)()(=-=m x f x g 同解于m x f =)(；
在直角坐标系中画出函数f (x )=)42sin(2π
-
x 在[0，
2
π
]上的图象(图象省略)，由图象可知，
当且仅当1[∈m ，)2时，方程m x f =)(在[0，2π]上的区间[4π，83π)和(83π，2
π
]有两个
不同的解x 1、x 2，且x 1与x 2关于直线83π=
x 对称，即8
3221π=+x x ，∴4321π=+x x ；故
1)tan(21-=+x x ．
20．解：(1)连接QF ，∵|QE |＋|QF |=|QE |＋|QP |=|PE |=22(>|EF |=2)，∴点的轨迹是以E (-1，0) 、F (1，
0)为焦点，长轴长222=a 的椭圆，即动点Q 的轨迹Γ的方程为12
22
=+y x ； (2)依题结合图形知的斜率不可能为零，所以设直线l 的方程为n my x +=(R m ∈)．∵直线l 即
0=--n my x 与圆O :122=+y x 相切，∴有：
11
||2=+m n 得122+=m n ．
又∵点A 、B 的坐标(1x ，1y )、(2x ，2y )满足：⎩
⎨⎧=-++=0222
2y x n
my x 消去整理得022)2(2
2
2
=-+++n mny y m ，
由韦达定理得22221+-=+m mn
y y ，2
22221+-=m n y y ．
其判别式8)2(8)2)(2(442
2
2
2
2
2
=+-=-+-=∆n m n m n m ，
又由求根公式有)
2(22221+∆±-=
m mn y 、． ∵λ=→→⋅OB OA =21212121))((y y n my n my y y x x +++=+
=+--=++++=2223)()1(2222
21212m m n n y y mn y y m 2122++m m ． 222)(21sin ||||21→→→→→→∆⋅-⋅=∠=OB OA OB OA AOB OB OA S AOB
||211221y x y x -==+-+=|)()(|211221y n my y n my |)(|2
112y y n - 2222)2(122||21++⋅=+∆⨯=m m m n 21212222+⋅++⋅=m m m ． ∵12121222=++++m m m ，且λ2
122++=m m ∈[32，43]． ∴=∆AOB S )1(2λλ-⋅⋅∈[4
6，32]． 21．解：(1)由f (x )=n m x ++)ln((m x ->)，可得m x x f +=
1)(/(m x ->)， ∴f (x )在点(1，f (1))处的切线方程是)1)(1()1(/-=-x f f y ，
即)1()1()1(/
/f f x f y -+=，依题该直线与直线1-=x y 重合， ∴⎩
⎨⎧==0)1(1)1(/f f ，可解得0==n m ． ∵又g (x )= bx ax +2可得b ax x g +=2)(/，且g (x )在x =2处取得极值-2．
∴⎩⎨⎧-==2)2(0)2(/g g ，可得⎩⎨⎧-=+=+2
2404b a b a 解得21=a ，2-=b ．所求f (x )=lnx (x>0)，g (x )=
x x 2212-(x ∈R )； (2)∵)()1(/x g x f y -+=2)1ln(+-+=x x ，令2)1l n ()(+-+=x x x ϕ(x>-1) ∵
1
111)(/+-=-+=
x x x x ϕ(x>-1)，∴)(x ϕ在(-1，0]递增，在[0，+∞)上递减，∵)(x ϕ在区间(t ，21+t )不单调，∴01<<-t 且021>+t ⇔021<<-t ．故所求实数t ∈(21-，0)；
(3)∵不等式4)(3)()1(/++<-x g x xf x k 等价于23ln )1(-+<-x x x x k ⇔ 123ln --+<x x x x k (∵1>x )，令1
23ln )(--+=x x x x x λ(1>x )， ∴22/)1(2ln )1()23ln ()1)(3ln 1()(---=--+--++=
x x x x x x x x x x λ，又令2ln )(--=x x x μ(1>x )，∵0111)(/>-=-=x
x x x μ(∵1>x ) 由1>x ⇒1)1()(-=>μμx ，故存在唯一10>x 使0)(0=x μ，
即02ln 00=--x x 满足当x ∈(1，0x ]时，0)(/≤x μ；当x ∈(0x ，+∞)时，0)(/>x μ；∴x ∈(1，0x ]时，0)(/≤x λ，x ∈(0x ，+∞)时，0)(/>x λ；
也即)(x λ在(1，0x ]上递减，在(0x ，+∞)上递增；
∴)()]([0min x x k λλ=<=--+=123ln 0000x x x x 12
3)2(0000--+-x x x x 20+=x (∵
2ln 00-=x x )，又∵03ln 1)3(<-=μ，02ln 22)4(>-=μ，且)(x λ在(1，+∞)连续不断，∴430<<x ，)(0x k λ<20+=x ∈(5，6)．
故所求最大整数k 的值为5．。

四川省德阳市四校高三数学3月联合考试试题 理

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