吉林省四平四中2020学年高三数学4月月考试题 理

2020学年下学期高三4月月考仿真卷
理科数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．[2020·广安期末]已知集合{}20A x x =-≤，B =N ，则集合A B I =（ ） A ．{}0,1,2
B ．{}2x x ≤
C ．{}1,2
D ．{}02x x ≤≤
2．[2020·齐齐哈尔一模]23i
1i
-=+（ ） A ．15i 22
-
B ．15i 22
--
C ．
15i 22+ D ．15i 22
-+
3．[2020·济宁一模]如图为某市国庆节7天假期的楼房认购量与成交量的折线图，小明同学根据折线图对这7天的认购量(单位：套)与成交量(单位：套)作出如下判断： ①日成交量的中位数是16；
②日成交量超过日平均成交量的有2天； ③认购量与日期正相关；
④10月7日认购量的增幅大于10月7日成交量的增幅． 则上述判断正确的个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
4．[2020·乌鲁木齐一模]双曲线22
136
x y -=的焦点到渐近线的距离为（ ）
A ．
6
3
B ．2
C ．3
D ．6
5．[2020·浏阳一中]设a ，b 都是不等于1的正数，则“333a b >>”是“33log log a b <”成立的（ ） A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
6．[2020·桂林联考]已知等比数列{}n a 的前n 项和()131n n S λλ-=⋅-∈R ，则()87
21S a +=（ ）
A ．13
B ．3
C ．6
D ．9
7．[2020·福建毕业]执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值等于（ ）
A ．3
B ．3-
C ．21
D ．21-
8．[2020·鹰潭期末]如图所示，过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线l ，交抛物线于点A ，B ．
交其准线l 于点C ，若2BC BF =，且21AF =+，则此抛物线的方程为（ ）
此卷
只
装
订
不
密
封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
A ．2
2y x =
B ．2
2y x =
C ．2
3y x =
D ．2
3y x =
9．[2020·南昌一模]函数()(
)
22ln
131
x x x f x x ++-=
+的图像大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．[2020·大连一模]已知ABC △的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且满足
3tan cos cos a A b C c B =+，则A ∠=（ ）
A ．π
6
B ．5π6
C ．π3
D ．2π3
11．[2020·南昌一模]一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．123
B ．143
C ．163
D ．20312．[2020·汉中联考]已知函数()e e x x f x -=-，若对任意的()0,x ∈+∞，()f x mx >恒成立，则m 的取值范围为（ ） A ．(),1-∞
B ．(],1-∞
C ．(],2-∞
D ．(),2-∞
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．[2020·临川一中]设向量a ，b 满足2=a ，1=b ，且()⊥+b a b ，则向量a 在向量b 方向上的 投影为______．
14．[2020·榆林一中]设x ，y 满足约束条件230101x y x y y -+≥-+≥≥⎧⎪
⎨⎪⎩
，则34z x y =-+的最大值为____．
15．[2020·湘潭一模]已知球的半径为4，球面被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦长为22____．
16．[2020·铜仁期末]已知函数()()πcos 0,2f x x ωϕωϕ⎛
⎫=+>≤ ⎪⎝⎭，π4x =-为()f x 的零点，π4x =
为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在ππ,186⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调，则ω的最大值为______．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）[2020·新乡期末]已知数列{}n a 满足11a =，132n n a a +=+．
（1）证明：数列{}1n a +是等比数列； （2）设12332
11log log 22n n n b a a ++=
++⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，求数列{}n b 的前n 项和n S ．
18．（12分）[2020·南昌一模]市面上有某品牌A型和B型两种节能灯，假定A型节能灯使用寿命
都超过5000小时，经销商对B型节能灯使用寿命进行了调查统计，得到如下频率分布直方图：
某商家因原店面需要重新装修，需租赁一家新店面进行周转，合约期一年．新店面需安装该品牌节
能灯5支（同种型号）即可正常营业．经了解，A型20瓦和B型55瓦的两种节能灯照明效果相当，
都适合安装．已知A型和B型节能灯每支的价格分别为120元、25元，当地商业电价为0.75元/千
瓦时，假定该店面正常营业一年的照明时间为3600小时，若正常营业期间灯坏了立即购买同型灯更
换．（用频率估计概率）
（1）若该商家新店面全部安装了B型节能灯，求一年内恰好更换了2支灯的概率；
（2）若只考虑灯的成本和消耗电费，你认为该商家应选择哪种型号的节能灯，请说明理由．
19．（12分）[2020·南开期末]如图所示，四棱锥P ABCD
-中，PA⊥底面ABCD，AB DC
∥，
DA AB
⊥，2
AB AP
==，1
DA DC
==，E为PC上一点，且
2
3
PE PC
=．
（1）求PE的长；
（2）求证：AE⊥平面PBC；
（3）求二面角B AE D
--的度数．
20．（12分）[2020·临川一中]已知椭圆()
22
22
:10
x y
C a b
a b
+=>>，离心率
1
2
e=，A是椭圆的左顶
点，F是椭圆的左焦点，1
AF=，直线:4
m x=-．
（1）求椭圆C方程；
（2）直线l过点F与椭圆C交于P、Q两点，直线PA、QA分别与直线m交于M、N两点，试问：
以MN为直径的圆是否过定点，如果是，请求出定点坐标；如果不是，请说明理由．
21．（12分）[2020·东北三校]已知函数()e x f x =（e 为自然对数的底数），()()g x ax a =∈R ． （1）当e a =时，求函数()()()t x f x g x =-的极小值；
（2）若当1x ≥时，关于x 的方程()()ln e f x x g x a +-=-有且只有一个实数解，求a 的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
[2020·大连一模]在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos sin x t y t α
α==⎧⎨⎩
（t 为参数且
π0,0,2t α⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭），曲线2C 的参数方程为cos 1sin x y ββ==+⎧⎨⎩（β为参数，且,22ππβ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭），以O 为极点，
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线3C 的极坐标方程为：1cos 0,2πρθθ⎛⎫
⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，曲线4C 的
极坐标方程为cos 1ρθ=．
（1）求3C 与4C 的交点到极点的距离；
（2）设1C 与2C 交于P 点，1C 与3C 交于Q 点，当α在0,π2⎛⎫
⎪⎝⎭
上变化时，求OP OQ +的最大值．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
[2020·东北三校]已知函数()4f x x a x =-+，a ∈R ．
（1）若不等式()2f x a ≥对x ∀∈R 恒成立，求实数a 的取值范围；
（2）设实数m 为（1）中a 的最大值，若实数x ，y ，z 满足42x y z m ++=，求()2
22x y y z +++ 的最小值．
2020学年下学期高三4月月考仿真卷 理
科数学答案
一、选择题． 1．【答案】A
【解析】由题意{}2A x x =≤；{}0,1,2A B ∴=I ．故选A ． 2．【答案】B 【解析】()()()()
23i 1i 23i 15i 15
i 1i 1i 1i 222z -----=
===--++-，故选B ． 3．【答案】B
【解析】7天假期的楼房认购量为91、100、105、107、112、223、276； 成交量为8、13、16、26、32、38、166． 对于①，日成交量的中位数是26，故错； 对于②，日平均成交量为81316263238166
42.77
++++++≈，有1天日成交量超过日平均成交量，
故错；
对于③，根据图形可得认购量与日期不是正相关，故错；
对于④，10月7日认购量的增幅大于10月7日成交量的增幅，正确． 故选B ． 4．【答案】D
【解析】根据题意，双曲线的方程为22136
x y -=，
其焦点坐标为()3,0±，其渐近线方程为2y x =±，即20x y ±=，
则其焦点到渐近线的距离32612
d ==+，故选D ．
5．【答案】D
【解析】由333a b >>，可得1a b >>； 由33log log a b <，得0b a >>．
所以当“1a b >>”成立时，“0b a >>”不成立；反之，当“0b a >>”成立时，“1a b >>”也不成立，
所以“333a b >>”是“33log log a b <”成立的既不充分也不必要条件．故选D ．
6．【答案】D
【解析】因为131n n S λ-=⋅-，所以2n ≥时，2131n n S λ--=⋅-，
两式相减，可得2123n n n n a S S λ--=-=⋅，2n ≥，
111a S λ==-，22a λ=，
因为{}n a 是等比数列，所以
2331
λ
λλ=⇒=-， 所以123n n a -=⨯，31n n S =-，8831S =-，6723a =⨯， 所以
()87
219S a +=，故选D ．
7．【答案】B
【解析】由题意得，程序执行循环共六次， 依次是1S =，2i =；1S =-，3i =；
2S =，4i =；2S =-，5i =； 3S =，6i =；3S =-，7i =， 故输出S 的值等于3-，故选B ． 8．【答案】A
【解析】如图，过A 作AD 垂直于抛物线的准线，垂足为D ， 过B 作BE 垂直于抛物线的准线，垂足为E ，P 为准线与x 轴的交点，
由抛物线的定义，BF BE =，21AF AD ==+， 因为2BC =，所以2BC =，所以45DCA ∠=︒， 222AC ==+22211CF =+=，
所以22
CF PF =
=
，即2
2
p PF ==， 所以抛物线的方程为22y x =，故选A ．
9．【答案】A
【解析】()()(
)
(
)
2
2
22ln
13ln
1301
1
x x x x x x f x f x x x ++-+-++-=
+
=++，
即()()f x f x -=-，故()f x 为奇函数，排除C ，D 选项；
()(
)
ln
213102
f +-=
<，排除B 选项，故选A ．
10．【答案】A
【解析】0πA <<Q ，sin 0A ∴≠，由3tan cos cos a A b C c B =+，
根据正弦定理：可得()3sin tan sin cos sin cos sin sin A A B C C B B C A ⋅=+=+=， 所以3tan 3A =
，那么π
6
A =，故选A ． 11．【答案】D
【解析】由三视图可知该几何体是由一个正三棱柱（其高为6，底面三角形的底边长为4，高为23）截去一个同底面的三棱锥（其高为3）所得，
则该几何体的体积为11142364233203232V ⎛⎫⎛⎫
=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ．
12．【答案】C
【解析】令()e e x x g x mx -=--，()0,x ∈+∞，()e e x x g x m -'=+-． 当2m ≤时，()0g x '≥，则()g x 在()0,+∞上单调递增， 又()00g =，所以()f x mx >恒成立；
当2m >时，因为()e e x x g x m -'=+-在()0,+∞上单调递增，故存在()00,x ∈+∞，使得()00g x '=，所以()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， 又()00g =，则()00g x <，这与()0g x >恒成立矛盾，
综上2m ≤，故答案为C ．
二、填空题． 13．【答案】1-
【解析】由于()⊥+b a b ，所以()0⋅+=b a b ，即2
210⋅+=⋅+=⋅+=a b b a b b a b ，1⋅=-a b ，所以向量a 在向量b 方向上的投影为
1
11
⋅-==-a b b ． 14．【答案】5
【解析】作出x ，y 满足约束条件230
101x y x y y -+≥-+≥≥⎧⎪
⎨⎪⎩
，所示的平面区域，如图：
作直线340x y -+=，然后把直线l 向可行域平移，结合图形可知，平移到点A 时z 最大， 由()230
1,210x y A x y -+=⇒-+⎧⎨
⎩
=，此时5z =，故答案为5． 15．【答案】6
【解析】设两圆的圆心为12O O ，球心为O ，公共弦为AB ，中点为E ，
因为球心到这两个平面的距离相等，则12OO EO 为正方形，两圆半径相等， 设两圆半径为r ，2116OO r -，2322OE r =-
又2
2
2
OE AE OA +=，2322216r -+=，29r =，3r =．这两个圆的半径之和为6． 16．【答案】5 【解析】由题意可得
444
2ππkT T
⎛⎫--=+ ⎪⎝⎭，
即
21212π
24π4k k T ω
++=⋅=⋅
，解得()
21,k k ω=+∈*N ， 又因为()f x 在ππ,186⎛⎫
⎪⎝⎭上单调，所以12π618922πππT ω-=≤=⋅，即9ω≤，
验证9ω=，7，5，得知5ω=满足题意，所以ω的最大值为5．
三、解答题．
17．【答案】（1）详见解析；（2）21
n n
S n =+．
【解析】（1）证明：数列{}n a 满足11a =，132n n a a +=+， 可得()1131n n a a ++=+，
即有数列{}1n a +是首项为2，公比为3的等比数列． （2）由（1）可得1123n n a -+=⋅， 即有()1
1233332
221
121111log 3log 3log log 22n n n n n b a a n n n n +++⎛⎫=
=
==- ⎪++++⎛⎫⎛⎫
⋅⎝⎭
⋅ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
， 数列{}n b 的前n 项和11111122121223111n n S n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+-=-=
⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭． 18．【答案】（1）
32
625
；（2）应选择A 型节能灯． 【解析】（1）由频率分布直方图可知，B 型节能灯使用寿命超过3600小时的频率为0.2， 用频率估计概率，得B 型节能灯使用寿命超过3600小时的概率为15
．
所以一年内一支B 型节能灯在使用期间需更换的概率为
4
5
， 所以一年内5支恰好更换了2
支灯的概率为2
3
2
5
4132C 55625⎛⎫⎛⎫
⨯= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
． （2）共需要安装5支同种灯管，
若选择A 型节能灯，一年共需花费3512036005200.7510870-⨯+⨯⨯⨯⨯=元； 若选择B 型节能灯，由于B 型节能灯一年内需更换服从二项分布45,5B ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
故一年需更换灯的支数的期望为4
545
⨯
=支， 故一年共需花费34552536005550.7510967.55-⎛
⎫+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝
⎭元．
因为967.5870>，所以该商家应选择A 型节能灯． 19．【答案】（1）
26
；（2）见解析；（3）120︒． 【解析】（1）Q 四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB DC ∥，DA AB ⊥，
2AB AP ==，1DA DC ==，E 为PC 上一点，且2
3PE PC =，
222AC AD DC ∴=+=，22426PC PA AC ∴=+=+=， 226
3PE PC ∴=
=
． （2）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，
则()0,0,0A ，()1,1,0C ，()0,0,2P ，222,,333E ⎛⎫
⎪⎝⎭，()2,0,0B ，
222,,333AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭
u u u r ，()2,0,2PB =-u u u r ，()1,1,2PC =-u u u r
，
44033AE PB ⋅=-=u u u r u u u r ，224
0333AE PC ⋅=+-=u u u r u u u r ，AE PB ∴⊥，AE PC ⊥，
又PB PC P =I ，AE ∴⊥平面PBC ．
（3）()0,1,0D ，
()2,0,0AB =u u u r
，()0,1,0AD =u u u r ，222,,333AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r ， 设平面ABE 的法向量(),,x y z =m ，
则20222
0333AB x AE x y z ⎧⎪
⎨⎪
⎩
⋅==⋅=++=u u u r
u u u r m m ，取1y =，得()0,1,1=-m ， 设平面ADE 的法向量(),,a b c =n ，
则0222
0333AD b AE a b c ⎧⎪
⎨⎪
⎩
⋅==⋅=++=u u u r
u u u r n n ，取1a =，得()1,0,1=-n ，
20．【答案】（1）
22
143x y
+=；
（2）以MN 为直径的圆能过两定点()1,0-、()7,0-． 【解析】（1）1
21
c a a c =
-=⎧⎪⎨⎪⎩，得21a c ==⎧⎨⎩，所求椭圆方程22143x y +=．
（2）当直线l 斜率存在时，设直线()():10l y k x k =+≠，()11,P x y 、()22,Q x y ， 直线()1
1:22
y PA y x x =
++， 令4x =-，得1124,2y M x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭，同理2224,2y N x ⎛⎫
-- ⎪+⎝⎭，
以MN 为直径的圆()()12122244022y y x x y y x x ⎛⎫⎛⎫
+++++= ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭
，
整理得()()()()2121222121212121214422402424x x x x x x x y k y k x x x x x x x x ⎡⎤++++++++-+=⎢⎥
++++++⎢⎥⎣⎦① ()
2
2
114
3y k x x y ⎧=++=⎪⎨⎪⎩，得()
22224384120k x k x k +++-=， 2122843k x x k -+=+，2122
412
43
k x x k -=+② 将②代入①整理得226
870x y x y k ++-+=，令0y =，得1x =-或7x =-．
当直线l 斜率不存在时，31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭、31,2Q ⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭、()4,3M --、()4,3N ，
以MN 为直径的圆()2
249x y ++=，也过点()1,0-、()7,0-两点， 综上：以MN 为直径的圆能过两定点()1,0-、()7,0-． 21．【答案】（1）0；（2）e 1a ≤+．
【解析】（1）当e a =时，()e e x t x x =-，()e e x t x '=-， 令()0t x '=则1x =列表如下：
所以()()1e e 0t x t ==-=极小值．
（2）设()()()ln e e ln e x F x f x g x x a ax x a =-+-+=-+-+，()1x ≥，
()1
e x F x a x
'=-+
，()1x ≥， 设()1e x
h x a x =-+，()222
1e 1e x x
x h x x x ⋅-=-='，
由1x ≥得，21x ≥，2e 10x x ->，()0h x '>，()h x 在()1,+∞单调递增， 即()F x '在()1,+∞单调递增，()1e 1F a ='+-，
①当e 10a +-≥，即e 1a ≤+时，()1,x ∈+∞时，()0F x '>，()F x 在()1,+∞单调递增，
又()10F =，故当1x ≥时，关于x 的方程()()ln e f x x g x a +-=-有且只有一个实数解，符合题意．
②当e 10a +-<，即e 1a >+时，由（1）可知e e x x ≥， 所以()11e e x F x a x a x x '=+
-≥+-，e e 0e e a a F e a a a ⎛⎫
'≥⋅+-=> ⎪⎝⎭
，又e e 11a >+，
故0e 1,a x ⎛⎫
∃∈ ⎪⎝⎭，()00F x '=，当()01,x x ∈时，()0F x '<，()F x 单调递减，
又()10F =，故当(]01,x x ∈时，()0F x <，
在[)01,x 内，关于x 的方程()()ln e f x x g x a +-=-有一个实数解1． 又()0,x x ∈+∞时，()0F x '>，()F x 单调递增，
且()22e ln e e 1a a F a a a a a =+-+->-+，令()()2e 11x k x x x =-+≥， ()()e 2x s x k x x ==-'，()e 2e 20x s x =-≥->'，故()k x '在()1,+∞单调递增，
又()10k '>，1x ∴>当时，()0k x '>，()k x ∴在()1,+∞单调递增， 故()()10k a k >>，故()0F a >， 又0e
a
a x >
>，由零点存在定理可知，()10,x x a ∃∈，()10F x =， 故在()0,x a 内，关于x 的方程()()ln e f x x g x a +-=-有一个实数解1x ．
又在[)01,x 内，关于x 的方程()()ln e f x x g x a +-=-有一个实数解1，不合题意． 综上，e 1a ≤+． 22．【答案】（1
（2
）1 【解析】（1）联立曲线3C ，4C 的极坐标方程1cos ,
π0,2cos 1ρθθρθ⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭=⎧
⎪⎨
⎪⎩
得210ρρ--=
，解得ρ=
（2）曲线1C 的极坐标方程为,0,π,02θααρ⎛⎫⎛⎫
=∈> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
曲线2C 的极坐标方程为2sin ,0,2πρθθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭联立得2sin ,0,2πραα⎛⎫
=∈ ⎪⎝⎭，
即2sin ,02π,OP αα⎛⎫
=∈ ⎪⎝⎭
，
曲线1C 与曲线3C 的极坐标方程联立得1cos ,02π,ραα⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，即1co 0πs ,,2OQ αα⎛⎫
=+∈ ⎪⎝⎭，
所以()12sin cos 1OP OQ αααϕ+=++=+，其中ϕ的终边经过点()2,1， 当2π2
π
k αϕ+=
+，k ∈Z
，即α=时，OP OQ +
取得最大值为1+ 23．【答案】（1）44a -≤≤；（2）16
21
．
【解析】（1）因为函数()2444f x x a x x a x a a =-+≥--=≥恒成立， 解得44a -≤≤．
（2）由第一问可知4m =，即()424424x y z x y y z ++=⇒+-+=，
由柯西不等式可得()()][()2
2
2
222242421x y y z x y y z ⎡⎤+-+≤+-++++⎡⎤⎣⎦⎣⋅⎦
， 化简()2
221621x y y z ⎡⎤≤⨯+++⎣⎦，
即()2
221621x y y z +++≥
，当且仅当421
x y y z
+==-时取等号，故最小值为1621．。