【世纪金榜】2016届高三文科数学总复习课件3.7正弦定理和余弦定理
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c b cos A a cos B.
3.必用技法 核心总结 看一看 (1)常用方法：代入法、边角转化法. (2)数学思想:数形结合、分类讨论.
【小题快练】 1.思考辨析 静心思考 判一判 (1)正弦定理和余弦定理对任意三角形都成立.( ) (2)三角形中各边和它所对角的弧度数之比相等.( ) (3)已知两边及其夹角求第三边,用余弦定理.( ) (4)在△ABC的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素.( ) (5)在△ABC中,若sinA>sinB,则A>B.( )
上,∠ADC=75°,则AD的长为
.
【解题提示】(1)利用正弦定理计算. (2)利用正弦定理化边为角,利用三角恒等变换进行化简. (3)根据等腰三角形三线合一的性质求出角B,再利用正弦定理求解.
【规范解答】(1)选B.由正弦定理,得sinB= bsin A 6 sin 45 3 .
a
2
答案:(1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)√
2.教材改编 链接教材 练一练
(1)(必修5P8T2(1)改编)在△ABC中,已知a=5,b=7,c=8,则A+C=( )
A.90°
B.120°
C.135°
D.150°
【解析】选B.先求B.
cosB= a2 c2 b2 25 64 49 1 ,
A为钝角或直角
图形
关系式
解的 个数
a=bsinA _一__解__
bsinA<a<b _两__解__
a≥b _一__解__
a>b a≤b _一__解__ _无__解__
2.必备结论 教材提炼 记一记
(1)三角形的内角和定理:在△ABC中,A+B+C=_π__,其变式有:
A+B=_π__-_C_, A B =__π2___C2__等.
6
33
答案: π 或 2π
33
(2)(2014·福建高考)在△ABC中,A=60°,AC=2,BC= 3,则AB等
于
.
【解析】由余弦定理BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA,得3=AB2+4-
2×2AB·cos60°,即AB2-2AB+1=0,解得AB=1.
答案:1
考点1 正弦定理的应用
【典例1】(1)在△ABC中,已知a=2,b= 6 ,A=45°,则满足条件的三角 形有( )
A.一个
B.两个
C.0个
D.无法确定
(2)(2014·广东高考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知
bcosC+ccosB=2b,则 a =
.
b
(3)(2015·吉林模拟)如图,在△ABC中,AB=AC=2,BC=2 3,点D在BC边
cos
B
BE
1 2
BC
3 ,故B 30.
AB AB 2
在△ABD中，∠ADB=180°-∠ADC=180°-75°=105°.
由正弦定理得AD= AB sin B 2 sin 30
sinADB sin 105 1 6 2.
6 2 44
2
因为b>a,所以B=60°或120°.
故满足条件的三角形有两个.
(2)由正弦定理得,
sinBcosC+sinCcosB=2sinB,
所以sin(B+C)=2sinB,sin(π-A)=2sinB,
即sinA=2sinB,
再由正弦定理得a=2b,所以 a =2.
b
答案:2
(3)过点A作AE⊥BC，垂足为E，则在Rt△ABE中，
②sinA∶sinB∶sinC=__a_∶__b_∶__c_;
③sinA=
a 2R
b
c
,sinB=__2R__,sinC=_2_R__;
④ a bc
abc
.
sinA sinB sinC sinA sinB sinC
a b cos C c cos B,
4三角形中的射影定理 b a cos C c cos A,
【解析】(1)正确.由正弦定理和余弦定理的证明过程可知,它们对任
意三角形都成立.
(2)错误.由正弦定理可知该结论错误.
(3)正确.由余弦定理可知该结论正确.
(4)错误.当已知三个角时不能求三边.
(5)正确.由正弦定理知sinA= a ,sinB= b ,由sinA>sinB得a>b,即
2R
2R
A>B.
c2=_a_2_+_b_2-_2_a_b_c_o_s_C_.
b2 c2 a2
②在△ABC中,有:cosA=____2_b_c____;
a2 c2 b2
cosB=_____2a_c____;
a2 b2 c2
cosC=____2_a_b____.
(3)在△ABC中,已知a,b和A时,三角形解的情况: A为锐角
2ac
258 2
因为0°<B<180°,所以B=60°,故A+C=120°.
(2)(必修5P4T1(2)改编)在△ABC中,已知A=60°,B=75°,c=20,则
a=
.
【解析】C=180°-(A+B)=180°-(60°+75°)=45°.
由正弦定理,得 a csin A 20 sin 60 10 6.
2
(2)三角形中的三角函数关系:sin(A+B)=_s_i_n_C_;
cos(A+B)=_-_c_o_s_C_;
sin A B =__co_s__C2__;
cos
2 AB
=__s_i_n _C2__.
2
(3)正弦定理的公式变形:
①a=_2_R_s_i_n_A_,
b=_2_R_s_i_n_B_,c=_2_R_s_i_n_C_;
sin C sin 45
答案:10 6
3.真题小试 感悟考题 试一试
(1)(2014·湖北高考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.
已知A= π ,a=1,b=
6
3 ,则B=
.
【解析】依题意,由正弦定理知
1 sin π
3 ，得出sinB=
sin B
3. 2
由于0第七节 正弦定理和余弦定理
【知识梳理】
1.必会知识 教材回扣 填一填
(1)正弦定理:
b
c
a sinA
=__s_in_B__=__s_in_C__=2R(R是△ABC外接圆的半径)
(2)余弦定理:
①在△ABC中,有a2=_b_2_+_c_2-_2_b_c_c_o_s_A_;
b2=_c_2_+_a_2-_2_c_a_c_o_s_B_;
3.必用技法 核心总结 看一看 (1)常用方法：代入法、边角转化法. (2)数学思想:数形结合、分类讨论.
【小题快练】 1.思考辨析 静心思考 判一判 (1)正弦定理和余弦定理对任意三角形都成立.( ) (2)三角形中各边和它所对角的弧度数之比相等.( ) (3)已知两边及其夹角求第三边,用余弦定理.( ) (4)在△ABC的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素.( ) (5)在△ABC中,若sinA>sinB,则A>B.( )
上,∠ADC=75°,则AD的长为
.
【解题提示】(1)利用正弦定理计算. (2)利用正弦定理化边为角,利用三角恒等变换进行化简. (3)根据等腰三角形三线合一的性质求出角B,再利用正弦定理求解.
【规范解答】(1)选B.由正弦定理,得sinB= bsin A 6 sin 45 3 .
a
2
答案:(1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)√
2.教材改编 链接教材 练一练
(1)(必修5P8T2(1)改编)在△ABC中,已知a=5,b=7,c=8,则A+C=( )
A.90°
B.120°
C.135°
D.150°
【解析】选B.先求B.
cosB= a2 c2 b2 25 64 49 1 ,
A为钝角或直角
图形
关系式
解的 个数
a=bsinA _一__解__
bsinA<a<b _两__解__
a≥b _一__解__
a>b a≤b _一__解__ _无__解__
2.必备结论 教材提炼 记一记
(1)三角形的内角和定理:在△ABC中,A+B+C=_π__,其变式有:
A+B=_π__-_C_, A B =__π2___C2__等.
6
33
答案: π 或 2π
33
(2)(2014·福建高考)在△ABC中,A=60°,AC=2,BC= 3,则AB等
于
.
【解析】由余弦定理BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA,得3=AB2+4-
2×2AB·cos60°,即AB2-2AB+1=0,解得AB=1.
答案:1
考点1 正弦定理的应用
【典例1】(1)在△ABC中,已知a=2,b= 6 ,A=45°,则满足条件的三角 形有( )
A.一个
B.两个
C.0个
D.无法确定
(2)(2014·广东高考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知
bcosC+ccosB=2b,则 a =
.
b
(3)(2015·吉林模拟)如图,在△ABC中,AB=AC=2,BC=2 3,点D在BC边
cos
B
BE
1 2
BC
3 ,故B 30.
AB AB 2
在△ABD中，∠ADB=180°-∠ADC=180°-75°=105°.
由正弦定理得AD= AB sin B 2 sin 30
sinADB sin 105 1 6 2.
6 2 44
2
因为b>a,所以B=60°或120°.
故满足条件的三角形有两个.
(2)由正弦定理得,
sinBcosC+sinCcosB=2sinB,
所以sin(B+C)=2sinB,sin(π-A)=2sinB,
即sinA=2sinB,
再由正弦定理得a=2b,所以 a =2.
b
答案:2
(3)过点A作AE⊥BC，垂足为E，则在Rt△ABE中，
②sinA∶sinB∶sinC=__a_∶__b_∶__c_;
③sinA=
a 2R
b
c
,sinB=__2R__,sinC=_2_R__;
④ a bc
abc
.
sinA sinB sinC sinA sinB sinC
a b cos C c cos B,
4三角形中的射影定理 b a cos C c cos A,
【解析】(1)正确.由正弦定理和余弦定理的证明过程可知,它们对任
意三角形都成立.
(2)错误.由正弦定理可知该结论错误.
(3)正确.由余弦定理可知该结论正确.
(4)错误.当已知三个角时不能求三边.
(5)正确.由正弦定理知sinA= a ,sinB= b ,由sinA>sinB得a>b,即
2R
2R
A>B.
c2=_a_2_+_b_2-_2_a_b_c_o_s_C_.
b2 c2 a2
②在△ABC中,有:cosA=____2_b_c____;
a2 c2 b2
cosB=_____2a_c____;
a2 b2 c2
cosC=____2_a_b____.
(3)在△ABC中,已知a,b和A时,三角形解的情况: A为锐角
2ac
258 2
因为0°<B<180°,所以B=60°,故A+C=120°.
(2)(必修5P4T1(2)改编)在△ABC中,已知A=60°,B=75°,c=20,则
a=
.
【解析】C=180°-(A+B)=180°-(60°+75°)=45°.
由正弦定理,得 a csin A 20 sin 60 10 6.
2
(2)三角形中的三角函数关系:sin(A+B)=_s_i_n_C_;
cos(A+B)=_-_c_o_s_C_;
sin A B =__co_s__C2__;
cos
2 AB
=__s_i_n _C2__.
2
(3)正弦定理的公式变形:
①a=_2_R_s_i_n_A_,
b=_2_R_s_i_n_B_,c=_2_R_s_i_n_C_;
sin C sin 45
答案:10 6
3.真题小试 感悟考题 试一试
(1)(2014·湖北高考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.
已知A= π ,a=1,b=
6
3 ,则B=
.
【解析】依题意,由正弦定理知
1 sin π
3 ，得出sinB=
sin B
3. 2
由于0第七节 正弦定理和余弦定理
【知识梳理】
1.必会知识 教材回扣 填一填
(1)正弦定理:
b
c
a sinA
=__s_in_B__=__s_in_C__=2R(R是△ABC外接圆的半径)
(2)余弦定理:
①在△ABC中,有a2=_b_2_+_c_2-_2_b_c_c_o_s_A_;
b2=_c_2_+_a_2-_2_c_a_c_o_s_B_;