非线性控制系统理论习题及解答

题解 7-2图 负倒描述函数图
第七章 非线性控制系统理论习题及解答
7-1. 三个非线性系统的非线性环节一样，线性部分分别为
(1) G s s s ()(.)=+1
011
(2) G s s s ()()
=+2
1
(3) G s s s s s ()(.)
()(.)
=+++21511011
试问用描述函数法分析时，哪个系统分析的准确度高？为什么?
解: 线性部分低通滤波特性越好，描述函数法分析结果的准确程度越高。

分别作出三个系统线性部分的对数幅频特性曲线如图题解7-1所示。

由对数幅频特性曲线可见，L 2的高频段衰减较快，低通滤波特性较好，所以系统(2)的描述函数法分析结果的准确程度较高。

7-2．一个非线性系统，其非线性特性是一个斜率1=k 的饱和特性。

当不考虑饱和因素时，闭环系统稳定。

试问该系统有没有可能产生自振？为什么？ 解：饱和特性k=1时，其负倒 描述函数如右图所示：
不考虑饱和特性时，闭环系统稳定，则其开环幅性频率特性曲线不包围(1,0)j -点，但当)(ωj G 与
)(1x N - 相交时，系统可能存在等
题解7-1图
幅振荡，如图所示,因此，该系统有可能产生自振。

7-3．将下列图7-50 所示非线性系统简化成非线性部分)(X N 和等效的线性部分
)(s G 相串联的单位反馈系统，并写出线性部分的传递函数)(s G 。

解：
(1)系统结构图可等效变换为题解7-3(1)的形式:
其中)
()(1)
()(211s G s G s G s G +=
(2)将系统结构图等效变换为题解7-2(2)的形式:
G s G s H s ()()[()]=+111
(3)将系统结构图等效变换为题解7-3(3)的形式:
G s H s G s G s ()()
()
()
=+1111
题解7-3(1)图
题解 7-3(2)图 题解 7-3(3)图
7-4．判别图7-51所示各系统是否存在自振点。

解: （a）不是
（b）是
（c）是
（d）c
a、点是，b点不是
（e）是
（f）a点不是，b点是
（g）a点不是，b点是
（h）系统不稳定
（i）系统不稳定
（j）系统稳定
（k）
7-5．非线性系统如图7-52所示。

试确定系统是否存在自振，若存在自振，确定其自振的振幅和频率。

题解 7-5图
解：)(/1A N -和)(ωj G 曲线如图所示，可见系统一定自振。

由1)()(-=⋅ωj G A N 有
1)
2)(1(104-=++⋅ωωωπj j j A 即
)2(34
22ωωωπ--=j A
比较实部，虚部有
⎪⎩
⎪⎨⎧=-=0
)2(34022
ωωωπA
解得： ⎩⎨⎧==212.2ωA
7-6. 系统如图7-53所示。

试计算系统的自振参数。

解：由于反馈通道的饱和特性与前向通道饱和特性同时进入饱和状态，所以反馈通道的非线性特性实质上不起作用，可将其去掉。

前向通道中两个非线性系统可合并，得系统结构图的等效变换如下：
由自振条件：
)
(1
)(ωj G A N =
-有 10)1(10210)1()(14222ωωωωωπ-+-=+=--j j j A h A M 比较实部，虚部，并代入2
1
,2=
=h M ，有： ⎪⎩
⎪
⎨⎧=-=-⨯015)21(12422ωω
πA A
⇒
12.72
1
A ω=⎧⎨
=⎩
题解7-6图
题解 7-7(2)图
7-7．如图7-54所示系统。

试用描述函数法确定在下列传递函数时系统是否稳定，是否存在自振，若存在自振，确定其参数。

1. )1.0)(05.0(20
)(++=
s s s s G
2. )
1.0(2
)(+=
s s s G
解：(1) 1()N A -和)(ωj G 曲线如图题解7-7（1）所示，可见系统不稳定，存在自振。

由自振条件： )
(1
)(ωj G A N =
-有： 4000
)2001(4000304000)110)(120()(1arcsin 2222ωωωωωωπ-+-=++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆-∆+
∆+-j j j j A A A K K 比较实部，虚部，并代入1,1=∆=K ,有：
2
2
21301arcsin 400012000
A ωπω⎧⎡-+=-⎪⎢⎨⎣⎪-=⎩ ⇒ 1.001
0.0707A ω=⎧⎨=⎩
(2) 1()N A -和)(ωj G 曲线如图题解7-7（2）所示,)(ωj G 曲线包括1()
N A -曲线，故系统稳定。

7-8. 绘制并研究下列方程的相轨迹.
1. 0)(=++x n sign x
x
题解7-7(1)图
2. 0=+x x
3. 0sin =+x x
解：(1) sgn 0x
x x ++= 系统方程可写为： 10 0 (1) 0 0 10 0 (2)x x x x x x x x x x
++=>⎧⎪
+==⎨⎪+-=<⎩
轴 则奇点：Ⅰ： 11e x =-
Ⅱ： 21e x =
由特征方程210s +=的特征根1,2s j =±，奇点为中心点. 系统的相平面图如图1所示. 可见，系统最终收敛到(1,1)-之间.
(2) 0x x +=
系统方程可写为： 0, 0 (1)0, 0 (2)
x x x x x x +=≥⎧⎨
-=<⎩
特征方程及特征根：(1):210s +=, 1,2s j =± (中心点)
(2): 210s -=, 1,21s =±（鞍点）
系统的相平面图如图2所示.
由图可见，系统的自由相应总是会向x 轴负方向发散，系统不稳定. (3) 求平衡点，令 x
x ==0 得 sin x =0
平衡点 x k k e ==±±π
(,,,012 )。

将原方程在平衡点附近展开为泰勒级数，取线性项。

设 F x x x ()
s i n =+=0 图 1
图 2
图
3
∂∂∂∂F x x F
x x x
x e
e
∆∆+=0
∆∆ c o s x x x e +⋅=0
⎩⎨
⎧±±±===∆-∆±±===∆+∆)
,5,3,1(0),4,2,0(0
k k x x x k k x x x e e π
π
特征方程及特征根： k 为偶数时 s j 21210+==±λ, （中心点）
k 为奇数时 s 21210
1-==±λ, （鞍点）
用等倾斜线法作相平面 s i n s i n s i n x dx
dx x x x x x
+=⋅+==αα
01
作出系统相平面图如图3所示。

7-9. 设系统如图7-55所示，求出起始点1)0(0>=c c ，0)0(=c 的相轨迹方程，并作出相轨迹。

解:由结构图可得: 2 (1)2 2 (2)2 2 (3)c c y c c ⎧-<⎪
=->⎨⎪<-⎩
且 c
c y += 即 0c c y +-= 根据已知的非线性特性,系统可分为三个线性区域.
Ⅰ区: 系统的微分方程为0 2c
c c c ++=< 系统在该区有一个奇点(0,0),为稳定焦点.
Ⅱ区: 系统的微分方程为20 2c
c c ++=> 解得: 00()(2)(2)2t c t c c
c e t -=++-+- 对上式求导,有0()(2)2t c
t c e -=+- 已知0(0)1c c =>,(0)0c
= .故()22t c t e -=- 相轨迹方程为022ln 2
c
c c c +=-+
由此可作出该区相轨迹.
Ⅲ区: 系统的微分方程为 20c
c +-= 2c <-. 易得其相轨迹方程为 022ln 2
c
c c c +=--
于是,可得子系统的相轨迹如图所示.
7-10． 设系统如图7-56所示，试画出3)0(=c ，0)0(=c 的相轨迹和相应的时间响应曲线。

解: 由系统的结构图可知: 2 1 (1)
0 1 (2)2 1 (3)c c
c c ->⎧⎪
=≤⎨⎪<-⎩
开关线为1c = 题解7-9图 子系统相轨迹图
题解7-10图
Ⅰ区: 2c =- (1)c > 则2cdc dc =- ,积分可得214c c A =-+
其中2100412A c c =+= . 故24(3)c
c =--
这时,相轨迹是一顶点在()3,0,开口向左的抛物线.
Ⅱ区: 0c
= ()1c ≤. 由0cdc = 积分可得22c A =
2A 由1c >区域的相轨迹与开关线1c =的交点()011,c
决定. 由()2
010418c c =--= 得 228c
A == 这时,相轨迹为水平直线.
Ⅲ区: 2c
= (1)c <-. 积分解得 234c c A =+ 3A 由1c ≤区域内得相轨迹与开关线=1c -的交点决定. 易见,交点02=1c -,0201=c
c 2
3020248412A c c =-=+=
此时,相轨迹是一顶点在()3,0-,开口向右的抛物线.
整理作图,可得系统的相轨迹如图所示:
7-11.设如图7-57所示系统中)(1)(t t r =。

试画出0=∆和1.0=∆时，系统的相轨迹。

解: (1)当0∆=时,系统结构图为:
非线性部分输入输出关系:
0 0
2 0x y x ≠⎧=⎨
=⎩ 线性部分输入输出关系:
1
()()1
C s Y s s =+
c
c y += 又 x r c =- ⇒ 1c x =-, c
x =- 则
(1)x
x y -+-= 0 0
1 2 0x x x y x ≠⎧+-=-=⎨-=⎩
(2) 0.1∆=时,系统结构图如下:
2 0.1
0 0.1 0.1x y x x ⎧≤⎪=⎨
><-⎪⎩或 c
c y += 2 0.10.110 0.1 0.1
x x x y x x --<<⎧+-=-=⎨><-⎩ 或
即：1 2 0.10.1x
x x +-=--<< 10 0.1 x
x x x +-=><- 或 题解7-11(1)图 系统结构图
题解7-11(2)
图 系统结构图
题7-11(1)相轨迹
相轨迹如下:
7-12 试用相平面法分析图7-58所示系统，在00,0><=a a a 及三种情况下的相轨迹的特点。

解:由系统结构图可得: 0 0
M c ac c M c ac +<⎧=⎨-+>⎩
因此0c ac += 为开关线. 求解可得:21222 0 2 0 c c c M A c ac c
M A c ac ⎧=++<⎪⎨=-++>⎪⎩ 相轨迹为开口向右的抛物线相轨迹为开口向左的抛物线 当0a =时,开关线为c
轴,相轨迹如图(1)所示,为一簇封闭曲线,奇点在坐标原点,为中心点.
当0a <时,开关线沿原点向右旋转,相轨迹如图(2)所示,奇点在坐标原点,为不稳定的焦点.
当0a >时,开关线沿原点向左旋转,相轨迹如图(3)所示,奇点在坐标原点,为稳定的焦点.
图(1) 图(2) 图
(3) 题7-11(2)相轨。