2020年湖南省长沙市怡雅中学中考复习九年级数学三角形综合练习试题(无答案,Word版)

湖南省长沙市怡雅中学2020 年中考复习九年级数学三角形综合练习题
1、如图，△ABC中，点 O 是边 AC 上一个动点，过 O 作直线MN∥BC．设 MN 交∠ACB 的平分线于点 E，交∠ACB 的外角平分线于点 F．
（1）求证：OE=OF；
（2）若 CE=12，CF=5，求 OC 的长；
（3）当点 O 在边AC 上运动到什么位置时，四边形 AECF 是矩形？并说明理由．
2、如图，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长 BN 交AC 于点 D，已知 AB=10，BC=15，MN=3
（1）求证：BN=DN；
（2）求△ABC 的周长．
3、如图，△ABC是边长为 3 的等边三角形，将△ABC 沿直线 BC 向右平移，使 B 点与 C 点重合，得到△DCE，连接 BD，交 AC 于F．
（1）猜想 AC 与 BD 的位置关系，并证明你的结论；
（2）求线段 BD 的长．
4、如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=5 米，AC=12 米．M 点在线段 CA 上，从 C 向A 运动，速度为 1 米/秒；同时 N 点在线段 AB 上，从 A 向B 运动，速度为 2 米/秒．运动时间为 t 秒．
（1）当 t 为何值时，∠AMN=∠ANM？
（2）当 t 为何值时，△AMN 的面积最大？并求出这个最大值．
5、已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4．点 Q 是线段 AC 上的一个动点，过点 Q 作AC 的垂线交线段 AB（如图 1）或线段 AB 的延长线（如图 2）于点 P．（1）当点 P 在线段 AB 上时，求证：△APQ∽△ABC；
（2）当△PQB 为等腰三角形时，求 AP 的长．
6、如图，在△ABC 中，AB=AC，∠B=30°，BC=8，D 在边BC 上，E 在线段DC 上，DE=4，△DEF 是等边三角形，边 DF 交边 AB 于点 M，边 EF 交边 AC 于点 N．（1）求证：△BMD∽△CNE；
（2）当 BD 为何值时，以 M 为圆心，以 MF 为半径的圆与 BC 相切？
（3）设BD=x，五边形 ANEDM 的面积为 y，求 y 与x 之间的函数解析式（要求写出自变量 x 的取值范围）；当 x 为何值时，y 有最大值？并求 y 的最大值．
7、如图，A、B 两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点 P 由点 B 出发沿 BA 方向向点 A 作匀速直线运动，速度为每秒 3 个单位长度，点 Q 由A 出发沿 AO（O 为坐标原点）方向向点O 作匀速直线运动，速度为每秒 2 个单位长度，连接 PQ，
若设运动时间为）秒．解答如下问题：
（1）当 t 为何值时，PQ∥BO？
（2）设△AQP 的面积为 S，
①求 S 与 t 之间的函数关系式，并求出 S 的最大值；
②若我们规定：点P、Q的坐标分别为（x
1，y
1
），（x
2
，y
2
），则新坐标（x
2
﹣x
1
，
y
2﹣y
1
）称为“向量PQ”的坐标．当 S 取最大值时，求“向量PQ”的坐标．
8、如图所示，直线y=与x轴相交于点A（4，0），与y轴相交于点B，将△AOB沿着y 轴折叠，使点 A 落在x 轴上，点 A 的对应点为点 C．
（1）求点 C 的坐标；
（2）设点 P 为线段 CA 上的一个动点，点 P 与点 A、C 不重合，连接 PB，以点 P 为端点作射线 PM 交AB 于点 M，使∠BPM=∠BAC
①求证：△PBC∽△MPA；
②是否存在点 P 使△PBM 为直角三角形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
9、某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板 ABC 与AFE 按如图（1）所示位置放置放置，现将Rt△AEF绕A 点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），如图（2），AE与BC交于点M，AC与EF 交于点 N，BC 与EF 交于点 P．
（1）求证：AM=AN；
（2）当旋转角α=30°时，四边形ABPF 是什么样的特殊四边形？并说明理由．
10、如图，△ABC 中，AB=BC，AC=8，tanA=k，P 为AC 边上一动点，设 PC=x，作PE∥AB 交 BC 于 E，PF∥BC 交 AB 于 F．
（1）证明：△PCE 是等腰三角形；
（2）EM、FN、BH 分别是△PEC、△AFP、△ABC的高，用含 x 和k 的代数式表示EM、FN，并探究 EM、FN、BH 之间的数量关系；
（3）当k=4 时，求四边形 PEBF 的面积S 与x 的函数关系式．x 为何值时，S 有最大值？并求出S 的最大值．
11、如图，在平面坐标系中，直线 y=﹣x+2 与x 轴，y 轴分别交于点 A，点 B，动点 P（a，b）在第一象限内，由点 P 向x 轴，y 轴所作的垂线 PM，PN（垂足为M，N）分别与直线 AB 相交于点 E，点 F，当点 P（a，b）运动时，矩形 PMON 的面积为定值2．
（1）求∠OAB 的度数；
（2）求证：△AOF∽△BEO；
（3）当点 E ，F 都在线段 AB 上时，由三条线段 AE ，EF ，BF 组成一个三角形， 记此三角形的外接圆面积为 S 1，△OEF 的面积为 S 2．试探究：S 1+S 2 是否存在最小
值？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由．
12、已知两个共一个顶点的等腰 Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接 AF ，M 是 AF 的中点，连接 MB 、ME ．
（1）如图 1，当 CB 与 CE 在同一直线上时，求证：MB∥CF；
（2）如图 1，若 CB=a ，CE=2a ，求 BM ，ME 的长；
（3）如图 2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME ．
13、如图，在△ABC 中，∠B=45°，BC=5，高 AD=4，矩形EFPQ 的一边 QP 在 BC 边上，E 、F 分别在 AB 、AC 上，AD 交 EF 于点 H ．
（1）求证 ；
（2）设 EF=x ，当 x 为何值时，矩形 EFPQ 的面积最大？并求出最大面积；
（3）当矩形 EFPQ 的面积最大时，该矩形 EFPQ 以每秒 1 个单位的速度沿射线 DA 匀速向上运动（当矩形的边 PQ 到达 A 点时停止运动），设运动时间为 t 秒，矩形 EFPQ 与△ABC 重叠部分的面积为 S ，求 S 与 t 的函数关系式，并写出 t 的取值范围．
14、如图 1，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠ABC的平分线 BE 交AC 于E．（1）求证：AE=BC；
（2）如图（2），过点E作EF∥B C交AB于F，将△A EF绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜144°）得到△AE′F′，连结CE′，BF′，求证：CE′=BF′；（3）在（2）的旋转过程中是否存在CE′∥AB？若存在，求出相应的旋转角α；若不存在，请说明理由．
15、如图所示，在Rt△ABC中，AB=BC=4，∠ABC=90°，点 P 是△ABC 的外角∠BCN 的角平分线上一个动点，点 P′是点 P 关于直线 BC 的对称点，连结 PP′交BC 于点 M，BP′交 AC 于 D，连结 BP、AP′、CP′．
（1）若四边形BPCP′为菱形，求BM 的长；
（2）若△BMP′∽△ABC，求 BM 的长；
（3）若△ABD 为等腰三角形，求△ABD 的面积．。