2016-2017学年江西省玉山县第一中学高二下学期期中考试数学(理)试题(解析版)

2016-2017学年江西省玉山县第一中学高二下学期期中考试
数学（理）试题
一、选择题
1．在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若11A B a = , 11A D b =
，
1A A c = ，则下列向量中与1B M
相等的向量是
A. 1122a b c -++
B. 1122a b c ++
C. 1122a b c -+
D. 1122
a b c --+
【答案】A
【解析】
如图，由向量的三角形法则可得1112
B M B B BD =+
，即
()
11111222
B M A A BA B
C c a b =++=-+
，应选答案A 。

2．设函数，是的导数，则函数的部分图象可以为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
为奇函数,去掉B,C; 去掉D,
选A.
3．抛物线顶点在原点，焦点在y轴上，其上一点到焦点距离为5，则抛物线的标准方程为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可设抛物线的标准方程为，则，即抛
物线的标准方程为，选D.
点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的
弦AB的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．
4．在下列命题中：
①若、共线，则表示、的有向线段所在的直线平行；
②若表示、的有向线段所在直线是异面直线，则、一定不共面；
③若、、三向量两两共面，则、、三向量一定也共面；
④已知三向量、、不共面，则空间任意一个向量总可以唯一表示为,
．其中正确命题的个数为
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
【答案】B
【解析】①若、共线，则表示、的有向线段所在的直线可共线；②若、共面，则表示、的有向线段所在直线一定不是异面直线；因此若表示、的有向线段所在直线是异面直线，则、一定不共面；③若、，则、三向量两两共面，但、、三向量不一定共面；④当三向量、、两两不共面时，空间任意一个向量才可以唯一表示为,．总上，②正确，选B.
5．已知点A(4,1,3),B(2,-5,1),C为线段AB上一点，且,则点C的坐标是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意得
，所以
，选C.
6．过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的弦，是另一焦点，若
是等腰直角三
角形，则双曲线的离心率等于
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】由题意得
选C.
点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于
的方程或不等式，再根据
的关系消掉
得到
的关系式，而建立关
于
的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的
范围等.
7．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，点E 、F 分别是AB 、AD 的中点，则
等于
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】取AE 中点M ，则
8． 在长方体ABCD ­ A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为（ ） A
．
3
．5 C
．5 D
．5
【答案】D.
【解析】试题分析：如图所示，连结11AC 交11B D 于E ，则1C E ⊥平面11BDD
B ，连结BE ，则1
C BE ∠为1BC 与平面11BD
D B
所成的角，且1C E =
1BC =
，所以111sin C E C BE BC ∠=
==
，故选D.
B
【考点】直线与平面所成的角.
9．△ABC
的顶点分别为A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则AC 边上的高BD 等于( ) A. 5 B. C. 4
D. 2
【答案】A 【解析】
设＝λ
，又
＝(0,4，－3)，
则
＝(0,4λ，－3λ)， ＝(4，－5,0)， ＝(－4,4λ＋5，－3λ)，
由·＝0.
得λ＝－，∴＝(－4，，)．
∴|
|＝5.
10．若直线与曲线交于不同的两点，那么的取值范围是
A. （）
B. （
）
C. （）
D. （）
【答案】D 【
解
析
】
由直线
与曲线 相切得
由图知,的取值范围是（
），选D.
11．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为(1,0)，一个顶点为，若在此椭圆上存在不同两点关于直线对称，则的取值范围是
A. （）
B. （）
C. （）
D. （）
【答案】C
【解析】由题意得
设A,B为椭圆上两点关于直线对称，
则由点差法得AB中点M满足，又中点M满足
解得，又M在椭圆内部，所以，选C。

点睛：有关圆锥曲线弦长问题的求解方法
涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法.
12．设函数，若有两个极值点，且，则
的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
即
，为一个三角形ABC 内部，其中
，则过点A 取最小值，过C 取最大值,因此
的取值范围是，选A
二、填空题
13．若(1,1,0),(1,0,2),a b a b ==-+
则与同方向的单位向量是________________
【答案】 )5
52,55,
0( 【解析】试题分析：，与+同方向的单位向量是)55
2,55,0()2,1,0(5
1=
【考点】空间向量的坐标运算； 14．已知向量，
，若与的夹角为钝角，则的取值范围是
______. 【答案】
【解析】
，即
15．椭圆的焦点、，点为其上的动点，当∠为钝角时,点横坐标的
取值范围是______________
【答案】
【
解
析
】
设 ，则
16．设，是的导数，若有两个不相同的零点，则实数的
取值范围是________． 【答案】
【解析】
，所以，结合图像知
点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法
(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.
(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
三、解答题
17．（1）双曲线与椭圆有相同焦点，且焦点到渐近线的距离等于，求双曲线的标准方程；
（2）已知顶点在原点，焦点在轴上的抛物线被直线截得的弦长为，求抛物线的标准方程.
【答案】（1）（2）或
【解析】试题分析：（1）由双曲线焦点到渐近线的距离等于 ,以及解得，（2）先设抛物线标准方程，与直线方程联立方程组，利用韦达定理及弦长公式可得的值，即得抛物线的标准方程.
试题解析：（1）椭圆的焦点为，焦点到渐近线的距离等于，
，，双曲线方程为。

（2）设抛物线的方程为，则消去得
，，
抛物线的方程为
18．如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCＤ中，∠ABC=600，PA=AC=a，PB=PD=,点E 是PD中点.
（1）求证：；
（2）求二面角E-AC-D的余弦值.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】试题分析：（1）由勾股定理可得PA⊥AB，PA⊥AD，再根据线面垂直判定定理得结论，（2）作EG//PA交AD于G，则EG⊥平面ABCD.再作GH⊥AC于H，由三垂线定理可得EH⊥AC，∠EHG即为所求二面角的平面角在直角三角形中求余弦值.
试题解析：（1）证明：因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，
所以AB=AD=AC=a，在△PAB中，
由PA2+AB2=2a2=PB2知PA⊥AB.
同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD.
（2）作EG//PA交AD于G，
由PA⊥平面ABCD.
知EG⊥平面ABCD.作GH⊥AC于H，连结EH，
则EH⊥AC，∠EHG即为所求二面角的平面角.
又PE =ED，
所以
从而
19．如图，在五面体ABCDEF中，
AB∥CD∥EF，CD=EF=CF=2AB=2AD=2，，平面平面ABCD，是BC的中点，
（1）求异面直线BE与所成角的余弦值；
（2）在直线上，是否存在一点，使得平面EBD ，若存在，求出该点；若不存在请说明理由.
【答案】（1）（2）见解析
【解析】试题分析：（1）利用空间向量研究线线角，首先根据垂直关系确定坐标系，设立各点坐标，利用直线方向向量数量积求夹角，最后根据线线角范围确定异面直线BE
与所成角的余弦值；（2）先寻找：为EF中点，再证明：根据中位线性质可得线线平行，得到面面平行，最后根据面面平行性质可得线面平行.
试题解析：（1）∵∥，∴四边形为菱形，
∵，∴为正三角形，取的中点，连接，则
∴，∵平面平面，平面，
平面平面，∴平面
∵∴两两垂直
以为原点，的方向为轴，建立空间直角坐标系
∵，
∴、
∴，
(2)
存在，该点即为
中点
，连结
交于点
，
，
20．(13分)
在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2
y x =上异于坐标原点Ｏ的两不同动点Ａ、Ｂ满足
AO BO ⊥（如图所示）．
（Ⅰ）求AOB ∆得重心Ｇ（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；
（Ⅱ）AOB ∆的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】
解：（I ）设△AOB 的重心为G(x,y),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=+=332121y y y x x x （1）…1分 ∵OA ⊥OB ∴1-=⋅OB OA k k ,即12121-=+y y x x ，(2)…………3分
又点A ，B 在抛物线上，有2
22211,x y x y ==，代入（2）化简得121-=x x …4分
∴3
2332)3(31]2)[(31)(31322212212
22121+=+⨯=-+=+=+=
x x x x x x x x y y y 所以重心为G 的轨迹方程为3
2
32
+
=x y ……………………………………6分 （II ）2
2
21212222212221222221212
1))((21||||21y y y x y x x x y x y x OB OA S AOB +++=++==∆ 由（I ）得
122
12)1(2212221221662616261=⨯=+-=+⋅≥++=∆x x x x S AOB
……11分
当且仅当6
2
61x x =即121-=-=x x 时，等号成立。

………………………12分 所以△AOB 的面积存在最小值，存在时求最小值1； …………………13分
2
2
11222
2
12121222
12
122
22
21
21
2
1212
,(,),(,),(,)1,0, 1.0,,1()22
,3
3
3
3
3
AB y kx b A B G x y AO BO y kx b kx b k b y k
y x x x x x x x x x x x x x
x x x x x
x x
x x x x k
=+⊥∴+=∴=-=+⎧⎪--=∴+==-=-⎨=⎪⎩+++-+===
= 法三（1）设直线的方程为……分………………………………3分联立得…………4分由重心公式的x=?2
233
k y x =+…5分消掉得重心轨迹方程为…………………………………………7分
1
2
20,112
11AOB AB s x x
∆∴=
-=≥∴（）由上可知直线恒过（）…………………………………………8分…………………………………………………………9分
分1（当k=0时取等号）……………………………………………………12分三角形AOB 面积存在最小值1 …………………………13分
【解析】略 21．已知
，函数
.
（1）若，求函数的极值；
（2
）设
，
是
的导数，
是
的导数，
，图像的最低点坐标为，找出最大的实数，满足对于任意正实数
且
，
成立.
【答案】（1）在处取得极小值，没有极大值（2）
【解析】试题分析：（1）求导数，并求导函数零点2，列表分析导函数符号变化规律，
确定极值取法（2）根据基本不等式确定函数取最小值的条件，确定a,b的值；再利用单调性求函数最小值，即为最大值
试题解析：（1）当时，，
，-
在处取得极小值，没有极大值
（2）由题意，得，则当且仅当时，等号成立，，
恒成立，设
=
令，则，即，则在上单调递
减，，最大的实数数.
22．如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为，一双曲线的顶点是该椭圆的焦点，且它的实轴长等于虚轴长，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和，其中
在轴的同一侧.
（1）求椭圆和双曲线的标准方程；
（2）是否存在题设中的点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）由椭圆定义可得，再结合离心率为，
解出，，由双曲线的顶点是该椭圆的焦点，得,再根据实轴长等于虚轴长得（2）设P点坐标，利用点斜式表示直线AB,CD方程,利用韦达定理及弦长
公式求；根据椭圆性质确定直线AB,CD斜率关系，根据焦点三角形求向量夹角，综合条件可解得P点坐标
试题解析：解：（1）由题意知，椭圆离心率为，得，又，
所以可解得，，所以，所以椭圆的标准方程为
；所以椭圆的焦点坐标为（，0），因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该
椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为
（2）设，则，在双曲线上，
，设方程为，
的方程为，设，则
，
，
同理，，由题知，
，.
，
,.
点睛：直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法.。