数列的递推公式 课件——2022-2023学年高二数学人教A版(2019)选择性必修第二册
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所以an 的通项公式是 an 2n .
练一练
1.若数列 an 的通项公式是 an (1)n (3n 1) ，则 a1 a2 a10 ( ).
√A.15
B.12
C.-12
D.-15
因为 an (1)n (3n 1) ，所以 a1 a2 2 5 3，
a3 a4 8 11 3 ， a5 a6 14 17 3 ， a7 a8 20 23 3 ，
知道了首项和递推公式，就能求出数列的每一项了.例题ຫໍສະໝຸດ 已知数列an 的首项为 a1
1 ，递推公式为
an
1
1 an1
(n
2) ，
写出这个数列的前 5 项.
由题意可知，
a1 1 ，
a2
1
1 a1
11 1
2
，
a3
1
1 a2
1
1 2
3 2
，
a4
1
1 a3
1
2 3
5 3
，
a5
1
1 a4
1
3 5
8.
5
探究二 数列的前n项和
A.20
B.17
√C.18
D.19
因为数列 an 的前 n 项和 Sn 2n2 1， n N* ，
所以 a5 S5 S4 252 1 2 42 1 18.故选 C.
1.数列的递推公式； 2.数列的前 n 项和.
例 1 图中的一系列三角形图案称为 谢尔宾斯基三角形.在图中 4 个大三角形中， 着色的三角形的个数依次构成一个数列的前 4 项， 写出这个数列的一个通项公式.
在图（1）（2）（3）（4）中， 着色三角形的个数依次为 1，3，9，27， 即所求数列的前 4 项都是 3 的指数幂， 指数为序号减 1. 因此，
a9 a10 26 29 3 ，
因此 a1 a2 a10 3 5 15 .故选 A.
练一练
2.数列an 的通项公式为 an n 1 n 1 ，若an 的前 n 项和为 9，则 n 的值为( ).
A.576
√B.99
C.624
D.625
依题意得 an
1
n n1
n 1
n，
所以 Sn ( 2 1) ( 3 2) ( n 1 n) n 1 1 9 ，
这样，例 2 中的数列的前 4 项满足 a1 1 ， a2 3a1 ， a3 3a2 ， a4 3a3 .
由此猜测这个数列满足公式 an
1， 3an1
n 1， ，n 2.
探究一 数列的递推公式
像 an 3an1(n 2)这样， 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示， 那么这个式子叫做这个数列的递推公式.
所以 n 99 .故选 B.
练一练
3.在数列an 中， a1
1，
an
2
(1)n an1
(n
2) ，则 a3
的值为(
)
A.0
√B. 5 3
C. 7
3
D.3
因为 a1
1 ，所以 a2
2
1 a1
3 ， a3
2
1 a2
5 3
.故选
B.
练一练
4.已知数列an 的前 n 项和 Sn 2n2 1， n N* ，则 a5 的值为( )
数列an 从第 1 项起到第 n 项止的各项之和，
称为数列 an 的前 n 项和，记作 Sn ，即 Sn a1 a2 an .
如果数列an 的前 n 项和 Sn 与它的序号 n 之间的
对应关系可以用一个式子来表示，
那么这个式子叫做这个数列的前 n 项和公式.
显然 S1 a1 ，而 Sn1 a1 a2
an1 (n
2) ，于是有
an
S1 Sn
， Sn1
n 1， ，n 2.
例题
已知数列an 的前 n 项和公式为 Sn n2 n ，求an 的通项公式.
因为 a1 S1 2 ， an Sn Sn1
n2 n [(n 1)2 (n 1)]
2n(n 2) ， 并且当 n 1时， a1 2 1 2 依然成立.
这个数列的一个通项公式是 an 3n1 .
思考
换个角度观察例 2 图中的 4 个图形，可以发现， a1 1， 且每个图形中的着色三角形都在下一个图形中分裂为 3 个着色小三角形 和 1 个无色小三角形. 于是从第 2 个图形开始， 每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的 3 倍.
第 四 章 数列
4.1.2数列的递推公式
学习目标
了解通项公式和递推公式是给出数列的两种方式， 并明确它们的异同.
理解 an 与 sn 的关系.
准备好了吗？一起去探索吧！
理解递推公式的含义.
会用 an 与 sn 的关系求通项公式.
难点
重点
上节课我们学习了数列的概念和通项公式，
我们来做一道题回顾一下.
练一练
1.若数列 an 的通项公式是 an (1)n (3n 1) ，则 a1 a2 a10 ( ).
√A.15
B.12
C.-12
D.-15
因为 an (1)n (3n 1) ，所以 a1 a2 2 5 3，
a3 a4 8 11 3 ， a5 a6 14 17 3 ， a7 a8 20 23 3 ，
知道了首项和递推公式，就能求出数列的每一项了.例题ຫໍສະໝຸດ 已知数列an 的首项为 a1
1 ，递推公式为
an
1
1 an1
(n
2) ，
写出这个数列的前 5 项.
由题意可知，
a1 1 ，
a2
1
1 a1
11 1
2
，
a3
1
1 a2
1
1 2
3 2
，
a4
1
1 a3
1
2 3
5 3
，
a5
1
1 a4
1
3 5
8.
5
探究二 数列的前n项和
A.20
B.17
√C.18
D.19
因为数列 an 的前 n 项和 Sn 2n2 1， n N* ，
所以 a5 S5 S4 252 1 2 42 1 18.故选 C.
1.数列的递推公式； 2.数列的前 n 项和.
例 1 图中的一系列三角形图案称为 谢尔宾斯基三角形.在图中 4 个大三角形中， 着色的三角形的个数依次构成一个数列的前 4 项， 写出这个数列的一个通项公式.
在图（1）（2）（3）（4）中， 着色三角形的个数依次为 1，3，9，27， 即所求数列的前 4 项都是 3 的指数幂， 指数为序号减 1. 因此，
a9 a10 26 29 3 ，
因此 a1 a2 a10 3 5 15 .故选 A.
练一练
2.数列an 的通项公式为 an n 1 n 1 ，若an 的前 n 项和为 9，则 n 的值为( ).
A.576
√B.99
C.624
D.625
依题意得 an
1
n n1
n 1
n，
所以 Sn ( 2 1) ( 3 2) ( n 1 n) n 1 1 9 ，
这样，例 2 中的数列的前 4 项满足 a1 1 ， a2 3a1 ， a3 3a2 ， a4 3a3 .
由此猜测这个数列满足公式 an
1， 3an1
n 1， ，n 2.
探究一 数列的递推公式
像 an 3an1(n 2)这样， 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示， 那么这个式子叫做这个数列的递推公式.
所以 n 99 .故选 B.
练一练
3.在数列an 中， a1
1，
an
2
(1)n an1
(n
2) ，则 a3
的值为(
)
A.0
√B. 5 3
C. 7
3
D.3
因为 a1
1 ，所以 a2
2
1 a1
3 ， a3
2
1 a2
5 3
.故选
B.
练一练
4.已知数列an 的前 n 项和 Sn 2n2 1， n N* ，则 a5 的值为( )
数列an 从第 1 项起到第 n 项止的各项之和，
称为数列 an 的前 n 项和，记作 Sn ，即 Sn a1 a2 an .
如果数列an 的前 n 项和 Sn 与它的序号 n 之间的
对应关系可以用一个式子来表示，
那么这个式子叫做这个数列的前 n 项和公式.
显然 S1 a1 ，而 Sn1 a1 a2
an1 (n
2) ，于是有
an
S1 Sn
， Sn1
n 1， ，n 2.
例题
已知数列an 的前 n 项和公式为 Sn n2 n ，求an 的通项公式.
因为 a1 S1 2 ， an Sn Sn1
n2 n [(n 1)2 (n 1)]
2n(n 2) ， 并且当 n 1时， a1 2 1 2 依然成立.
这个数列的一个通项公式是 an 3n1 .
思考
换个角度观察例 2 图中的 4 个图形，可以发现， a1 1， 且每个图形中的着色三角形都在下一个图形中分裂为 3 个着色小三角形 和 1 个无色小三角形. 于是从第 2 个图形开始， 每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的 3 倍.
第 四 章 数列
4.1.2数列的递推公式
学习目标
了解通项公式和递推公式是给出数列的两种方式， 并明确它们的异同.
理解 an 与 sn 的关系.
准备好了吗？一起去探索吧！
理解递推公式的含义.
会用 an 与 sn 的关系求通项公式.
难点
重点
上节课我们学习了数列的概念和通项公式，
我们来做一道题回顾一下.