偏导数的定义及其计算法（论文资料）

Δx→0
Δx
存在，则称此极限为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的
偏导数，记作
∂z ∂x
|x = x0
y= y0
，
∂f ∂x
|x=x0 ，
y= y0
z x| x= x0
y= y0
或
f x (x0,y0 )
即
f x (x0,
y0
)
=
lim
Δx→0
f
( x0
+ Δx,
y0 ) − Δx
f
(x0, y0 )
其中第二、三两个偏导数称为混合偏导数.同样可 得三阶、四阶、…以及n阶偏导数.二阶及二阶以上的 偏导数统称为高阶偏导数.
例7
设z=x3+y3−3xy2,
求：∂ 2 ∂x
z
2
,
∂2z ∂x∂y
,
∂2z ∂y∂x
,
∂2 ∂y
z
2
.
解： ∂z = 3x2 − 3y2 ,
∂x
∂z = 3y2 − 6xy ∂y
Δy →0
(2)z
=
sin(
xy)
−
cos2
(
xy)在点P0
(0,
π 2
)处;
解
∂z ∂x
=
[sin( xy)
− cos2 (xy)]'x
= y cos(xy) − 2 cos(xy) ⋅[− sin(xy)]⋅ y
= y cos(xy) + 2 y cos(xy) ⋅sin(xy)
∂z ∂y
= [sin(xy) − cos2 (xy)]y '
f (x,y)=
xy x2 + y2
0
(x2 + y2 ≠ 0) 在点O(0,0)处；
(x2 + y2 = 0)f y (0,0)=limΔy → 0
f
(0,0 +
Δy) Δy
−
f
(0,0)
=
lim
02
0 ⋅ Δy + (0 + Δy)2
−
0
=
lim
0
Δy →0
Δy
Δy→0 Δy
= lim 0 = 0
f (x, y0
y)
即
⎧z =
⎨ ⎩
y
=
f (x, y0
y０)
z Tx
L
M
0
曲面z = f (x,y)
平面 y =y0
由一元函数导数的几何意义：
∂z ∂x
x= x0
=
[ f ( x , y 0 )]'
x = y 0 = tan α
x
α
y
(x0 , y0 )
同理，∂∂yz x = x 0 = ?
.
y= y0
∂z ∂y
,
∂f ∂y
,
zy
或
f y (x, y)
fx(x0
,
y
0
)=
[
fx (x,
y)
]
|
x
=
x
,
0
f y (x0 , y0 ) = [ f y (x, y)]| x=x0
y= y0
y= y0
通常，偏导函数也简称为偏导数.
注 偏导数的概念可推广到二元以上的函数。 例如： 三元函数
u = f (x, y, z) 在点(x,y,z)处的偏导数定义为
x
2x2 2 +2
y
]
z = (x2 + 2y)x
∴ ∂z =
∂y
x ⋅ (x2 + 2 y)x−1 ⋅ (x2 + 2 y)'y
= x ⋅ (x2 + 2 y)x−1 ⋅ 2
= 2x(x2 + 2 y)x−1
例4 求 r = x2 + y2 + z2 的偏导数.
解：把y和z都看作常量，对x求导, 得
(1)
同样，函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数为
lim f (x0, y0 + Δy) − f (x0, y0 )
Δy →0
Δy
记作 即
∂z ∂y
|x= x0
y=y0
,
∂f ∂y
|x= x0
y= y0
,
z y|x= x0
y= y0
或
f y (x0,y0 )
f y (x0, y0 )
∴∂2z = ∂x2
∂ ∂z ()
∂x ∂x
=
∂ ∂x
(3x2
−3y2)
=
6x
∂2z = ∂x∂y
∂ ( ∂z ) ∂y ∂x
= ∂ (3x2 − 3y2 ) = −6 y
∂y
=
∂2z = ∂y∂x
∂ ∂x
( ∂z ) ∂y
=
∂ ∂x
(3 y2
− 6xy)
= −6 y
∂2z = ∂y 2
∂ ∂z ()
∂y ∂y
= ∂ (3y2 − 6xy) ∂y
= 6y −6x
定理 若函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏导数 ∂2z 及 ∂x∂y
∂2z 在区域D内连续，那么在该区域内这两个二阶 ∂y∂x 混合偏导数必相等，即：
∂2z = ∂2z , (x, y) ∈ D
(1)f(x,y)=
xy x2 + y2
0
(x2 + y2 ≠ 0) 在点O(0,0)处；
(x2 + y2 = 0)
(2)
z
=
sin(
xy)
−
cos2
( xy)在点P0
(0,
π 2
)处;
−(1 + 1 )
(3)z = e x y 在点P0 (−1,1)处.
(1) f(x,y)=
xy x2 + y2
fx (x, y) =
[
f
(x,
y)
]
' |x=x
,
f y (x, y) =
[
f
(x,
y)
]
' |y=y
常数
=
[
f
(x,
y)
]
'
x
常数
=
[
f
(
x,
y
)
]
'
y
注意：
∂z ∂z
偏导数的符号 ∂x 和 ∂y应看成一个整体，不能
将它们看成 ∂z 与 ∂x 或 ∂y 的商.
例1 求 z = x2 sin 2 y 的偏导数.
解： ∂z = 2x sin 2 y ∂x ∂z = x2 cos 2 y ⋅ 2
∂y
= 2x2 cos 2 y
例2
设 z = x y (x > 0, x ≠ 1)
，求证：x y
∂z ∂x
+
1 ln x
∂z ∂y
=
2
z.
证： ∵ ∴
∂z = yx y−1 , ∂x
x ∂z + 1 ∂z y ∂x ln x ∂y
y0 )
=
[
f
( x0
,
y)]
' |y= y0
如果函数z=f(x,y)在区域D内每一点都有对x的偏
导数，那么这个偏导数仍是x、y的函数，称为z=f(x,y)
对x的偏导函数，记为
∂z ∂x
，
∂f ∂x
，z
x
或
fx (x, y)
同样，函数z=f(x,y)对y的偏导函数也仍是x、y的函
数，记为： 按定义，得
0
(x2 + y2 ≠ 0) 在点O(0,0)处；
(x2 + y2 = 0)
解 根据偏导数的定义，有
f x (0,0)
=
lim
Δx → 0
f
(0
+
Δx,0) Δx
−
f
(0,0)
=
lim
Δx ⋅ 0 (Δx + 0)2 + 02
−0
Δx→0
Δx
= lim 0 Δx→0 Δx
= lim 0 = 0
Δx→0
∴
∂z ∂x
= ex ln(x2 +2 y) ⋅[x ln(x2 + 2 y)]'x
=
ex ln(x2 +2 y) ⋅
[1⋅
ln(
x2
+
2
y)
+
x
⋅
x2
1 +
2
y
⋅
2x]
=
ex ln(x2 +2 y) ⋅
[ln(x2 + 2 y) + 2x2 ] x2 + 2y
=
(x2 + 2y)x
[ln(x2 + 2 y) +
导数，记作
∂2z ∂x 2
= ∂ ( ∂z ) ∂x ∂x
∂2z ∂x∂y
=
∂ ( ∂z ) ∂y ∂x
∂ 2z = ∂ ( ∂z ) ∂y∂x ∂x ∂y
或 z xx，z xy ，z yx ，z yy
∂ 2z = ∂ ( ∂z ) ∂y2 ∂y ∂y
或 f xx ( x, y)，f xy ( x, y)，f yx ( x，y)，f yy ( x, y)
y=π 2
=
[
x
cos(
xy)
+
2x
cos(
xy)
⋅
sin(
xy)]
|x=0
y=π
2
=0
(2) z
=
sin( xy)
−
cos2 (xy)在点P0 (0,
π 2
)处;
另解：
∂z ∂x
|x=0
y=π
=
[sin(x ⋅ π )
2
− cos2 (x ⋅ π )]' 2 |x=0
2
=
[cos
πx
2
⋅
π
2
−
2cos
[e x y ]'x
=
−(1
ex
+
1) y
⋅[−(
1 x
+
1 y
)]'x
=
−(1 + 1 )
e xy
⋅
1
x2
∂z ∂y
−(1 + 1 )
= [e x y ]' y
=
−(1
ex
+
1 y
)
⋅[−( 1 x
+
1 y
)]' y
−(1 + 1 )
=e x y ⋅
1
y2
∴
∂z ∂x
|x=−1=
y =1
−(1 + 1 )
[e x y
⋅
1
x2
] |x=−1
y =1
=1
∴
∂z ∂y
|x=−1=
y =1
−(1 + 1 )
[e x y ⋅
1
y2
] |x=−1
y =1
=1
需要注意的是：“一元函数在其可导点上一定连 续”这个结论，对于多元函数是不成立的.这是因为各 偏导数存在只能保证当P(x,y)沿着平行坐标轴的方向
趋近P0 (x0,y0)时,函数值f(x,y)趋近于f (x0 ,y0)，但不能
∂z = x y ln x. ∂y
= x yx y−1 + 1 x y ln x
y
ln x
= xy + xy = 2xy
= 2z
例3 z = (x2 + 2 y)x , ( y > 0) 求 ∂z ，∂z
∂x ∂y
解
z = (x2 + 2 y)x = eln(x2 +2 y)x = ex ln(x2 +2 y)
保证当P(x,y)以任意方式趋近P0(x0 ,y0)时，f(x,y)都趋 近于f (x0 ,y0).
反例 ： 例6 (1)
偏导数的几何意义 复习一元函数导数
z = f (x, y)
∂z ∂x
x= x0
= [ f ( x, y0 )]'|x= x0
y= y0
固定 y =y0
得交线
L：⎩⎨⎧zy
= =
其中,点(x,y,z)是函数u = f (x, y, z)的定义域的内点.
从偏导数的定义可以清楚地知道，求多元函数的 偏导数，并不需要新的方法，求多元函数对哪个自变 量的偏导数，就是将其他自变量看成常量，而将多元 函数看成一元函数去求导，因此，一元函数的求导法 则和求导公式，对多元函数的偏导数仍然适用.
fx (x,
y, z)
= lim
Δx→0
f
(x + Δx, y, z) − Δx
f
(x, y, z)
f
y
(
x,
y,
z)
=
lim
Δy →0
f
(x, y + Δy, z) − Δy
f
(x,
y, z)
fz (x, y, z) =
lim
Δz →0
f
(x, y, z + Δz) − Δz
f (x, y, z)
= tan β x
α
z
Ty
Tx 曲面z = f (x,y)
L
M
0
(x0 , y0 )
平面 x=x0
.
y
.
β
二、高阶偏导数
一般说来，函数f(x,y)的偏导数
zx
=
∂f
(x, ∂x
y),
zy
=
∂f
(x, y) ∂y
还是x、y的二元函数.如果这两个函数对自变量x和y
的偏导数也存在，则称这些偏导数为f(x,y)的二阶偏
= x cos(xy) − 2 cos(xy) ⋅[− sin(xy)]⋅ x
= x cos(xy) + 2x cos(xy) ⋅sin(xy)
∂z
∴
∂x
|x=0
y= π
= [ y cos(xy)
2
+ 2 y cos(xy) ⋅sin(xy)] |x=0
y=π 2
=π +0=π
2
2
∂z ∂y
|x=0
πx
2
⋅
(−
sin
πx
2
)
⋅
π
2
]
|x
=0
= 1⋅π − 0 = π
2
2
∂z ∂y
|x=0
y=π
=
[sin(0 ⋅ y)
− cos2 (0 ⋅ y)]
'|y=π
2
2
=
(−1)
' |y=π
=
0
2
−( 1 + 1 )
(3)z = e x y 在点P0 (−1,1)处.
解
∂z = ∂x
−(1 + 1 )
第二节 偏导数
一、偏导数的定义及其计算法
定义 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义,