7.2 复数的四则运算(解析版) (人教A版2019必修第二册)-人教版高中数学精讲精练必修二

7.2复数的四则运算
考法一复数的加减运算
【例1-1】（2023·贵州黔东南）已知复数1123i z =-，29i z =-+，则12z z +的实部与虚部分别为（）
A ．3，2-
B ．3，2i
-C ．2，3
-D ．2，3i
-【答案】A
【解析】因为1123i z =-，29i z =-+，所以1232i z z +=-，其实部与虚部分别为3，2-.故选：A
【例1-2】（2024·内蒙古）复数13z a i =+，24i z b =-+，其中a ，b 为实数，若12z z +为实数，12z z -为纯虚数，则a b +=（）
A ．7-
B ．6
-C ．6
D ．7
【答案】A
【解析】由题意()1243i z z a b +=-++，()1243i z z a b -=++-，
因为12z z +为实数，12z z -为纯虚数，所以3040b a +=⎧⎨+=⎩，得34b a =-⎧⎨=-⎩
，
所以7a b +=-.故选：A.【一隅三反】
1．（2023·四川眉山）复数(12i)(34i)+--对应的点在（
）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】B
【解析】由复数(12i)(34i)26i +--=-+，可得复数在复平面内对应的点()2,6-位于第二象限.故选：B.
2．（2023·全国·模拟预测）若复数1213i,2i z z =+=-+，则12z z -=（）
A ．5
B
C ．25
D
【答案】A
【解析】由1213i,2i z z =+=-+，有22i z =--，则1234i z z -=+，所以125z z -==，故选：A ．
3．（2024·内蒙古）复数124i,3i z a z b =+=-+，其中,a b 为实数，若12z z +为实数，12z z -为纯虚数，则a b +=（
）A ．6B ．6
-C ．7
-D ．7
【答案】C
【解析】复数124i,3i z a z b =+=-+，,a b 为实数，则12(3)(4)i z z a b +=-++，由12z z +为实数，得40b +=，解得4b =-，又12(3)(4)i z z a b -=++-，显然40b -≠，由12z z -为纯虚数，得30a +=，解得3a =-，所以7a b +=-.故选：C
4．（2021·高一课时练习）设z 1=2+b i ，z 2=a+i ，当z 1+z 2=0时，复数a+b i 为（
）
A ．1+i
B ．2+i
C ．3
D ．2i
--【答案】D
【解析】因为z 1+z 2=(2+b i )+(a+i )=(2+a )+(b+1)i =0，所以2010a b +=⎧⎨+=⎩，，于是21a b =-⎧⎨
=-⎩，，
故i 2i a b +=--.故选：D.
考法二复数加减运算的几何意义
【例2-1】（2023上海）若向量,AB AC
分别表示复数122i,3i z z =-=+，则BC uu u r =（
）
A ．5
B
C ．
D ．
【答案】B
【解析】因为BC AC AB
=-，又向量,AB AC 分别表示复数122i,3i z z =-=+，
所以BC
表示复数2112i z z -=+，所以12i BC =+= 故选：B
【例2-2】（2023·江苏常州）已知12,z z ∈C ，121z z ==，12z z +=12z z -=（）
A ．0
B ．1
C D
【答案】B
【解析】在复平面中，设12,z z 分别与向量12,OZ OZ
对应，
由题意可得121OZ OZ ==uuu r uuur ，12OZ OZ +=uuu r uuur
因为22221212
122OZ OZ OZ OZ OZ OZ ⎛⎫++-=+ ⎪⎝⎭
uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，即()2
1232114OZ OZ +-=+=uuu r uuur ，解得121OZ OZ -=uuu r uuur ，即121z z -=.
故选：B.【一隅三反】
1．（2023·河南郑州）复数65i +与34i -+分别表示向量OA 与OB ，则表示向量BA
的复数为（
）
A ．39i +
B ．28i
+C ．9i
--D ．9i
+【答案】D
【解析】复数65i +与34i -+分别表示向量OA 与OB
，
因为BA OA OB =- ，所以表示向量BA
的复数为(65i)(34i)9i +--+=+.
故选：D.
2．（2023·高一课时练习）复平面上有A 、B 、C 三点，点A 对应的复数为2i +，BA
对应的复数为12i +，BC
对应的复数为3i -，则点C 的坐标为．
【答案】()
4,2-【解析】因为BA
对应的复数是12i +，BC 对应的复数为3i -，又AC BC BA =- ，所以AC 对应的复数为()()3i 12i 23i --+=-，又OC OA AC =+ ，
所以点C 对应的复数为()()2i 23i 42i ++-=-，所以点C 的坐标为()4,2-．故答案为：()4,2-．
3．（2023·高一课时练习）在平行四边形ABCD 中，若点A ，C 分别对应于复数1i -+，43i --，则A ，C 两点间的距离为．
【答案】5
【解析】依题意得AC
对应的复数为()()43i 1i 34i ----+=--，
所以A ，C 两点间的距离为34i 5AC =--=
=
．
故答案为：5．
考法三复数的乘除法运算
【例3】（2023·全国·高一随堂练习）计算：
(1)()312i -；(2)()3
23i -；(3)1122⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
；(4)1i ；(5)2i 1i -；(6)1i 13i ++．【答案】(1)112i -+(2)469i --(3)1(4)i -(5)1i -+(6)2
1i
55
-【解析】（1）()()()()()()()
2
3
2
12i 12i 12i 14i 4i 12i 34i 12i ==----+-=---236i 4i 8i 112i
=-+-+=-+（2）()()()()()()()
2
3
2
23i 23i 23i 412i 9i 23i 512i 23i ==----+-=---21015i 24i 36i 469i
=-+-+=--
（3）2
2
21111313i 12224444⎛⎫⎛⎫⎫⎛⎫-+-=--=-=+= ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
（4）211i i
i i i 1
⋅==
=--（5）
()()()222i 1i 2i 2i 2i 2i 2
1i 1i 1i 1i 1i 2
++-====-+--+-（6）()()()()22
1i 13i 1i
13i i 3i 42i 21i 13i 13i 13i 19i 1055
+-+-+--====-++--【一隅三反】
1.（2023·全国·高一随堂练习）计算：
(1)()i 34i ++；(2)()()1i 1i --+；(3)()()2i 3i --+；(4)()()14i 2i -+-．【答案】(1)35i +(2)2i -(3)12i --(4)35i -【解析】（1）()i 34i 35i ++=+（2）()()1i 1i 2i --+=-（3）()()2i 3i 12i --+=--（4）()()14i 2i 35i
-+-=-2．（2023·全国·高一随堂练习）计算：
(1)
i
23i +；(2)4i 3i 2i 2i +-+-+；(3)12i 2i 32i 1i ---+；
【答案】(1)
32i 1313+(2)121i 55+(3)13i 2
--(4)
12【解析】（1）
i i(23i)32i 32
i 23i (23i)(23i)131313
-+===+++-（2）4i 3i (4i)(2i)(3i)(2i)76i 55i 121i 2i 2i (2i)(2i)555+-+++--++-+==+-+-+（3）
12i 2i 3(12i)(i)(2i 3)(1i)2i 15i 1
3i 2i 1i 2i (i)(1i)(1i)222
---------+-=-=-=--+⋅-+-（4
2
2
1
2
=
；3.（2023湖北）计算：12
2i(1
i)i 22
⎛⎫-+ ⎪
⎝⎭
（2）50
8
20028i 1i ⎛⎫+
- ⎪ ⎪-⎝⎭
．（3）
()
2020
2
22i
1i 1i ⎛⎫
++
⎪ ⎪+-⎝⎭
；
（4）22021i i i +++ ．
【答案】（1）513；
（2）247+．（3）2i -+；（4）i .
【解析】（1）由于3211111((i)(i)(i)(i)1
222222222
2
-=-
⨯-=--⨯-=-2(1i)2i
-=-故
615
6215561592
6
612
(1(12(1)2(1)221251312112i (2i)i 2i(1i)i 2
22-⨯--⨯-+===+=⎛⎫
⨯-⨯-+ ⎪
⎝⎭
（2）由于2(1i)2i +=，2(1i)2i -=-，41
i =
，3
1
(1
22
-=-
故50
8
20028i
+
-+
⎝
⎭
2588
50042
4
8
502i 2(1i)(1i)⨯+=++--258444
25
212(2i)i (2i)i)
22
=-+-++-
4441
122i i 2(i)247822
=-+⨯-++-=+
（3）
()
22
22i
22i 1i i i 1i 2i i i 1i ++---+====-+-- )()())1i 1i 1i 1i -==-+-，所以，()2
2
11i i 1i 2⎛⎫=-=- ⎪ ⎪+⎝⎭
，
因此，原式
()
()
21010
42522
020
2
2i 2i
1i 21i i ⨯+=-++- =-+=⎛⎫
++ ⎪⎪+-⎝⎭
+
-+-=-+；
（4）因为()()
12323*
i i i i i i i i 10n n n n n n N +++=++++++=∈，
所以原式()()()23456782017
2018201920202021i i i i i i i i i
i i i i =+++++++++++++ ()
505
20214505i i i 1i i ==⋅=⋅=．
考法四在复数的范围内解方程
【例4】（2024云南）在复数范围内解下列方程.(1)250x +=；(2)23210x x ++=；(3)2460x x ++=.
【答案】(1)1,2x =(2)1,23
1x -=
(3)1,22x =-
【解析】（1）∵200∆=-<，∴由求根公式得1,22x =
=.
（2）∵224380∆=-⨯=-<，∴由求根公式得1,2x =
（3）∵244680∆=-⨯=-<，∴由求根公式得1,22x =-.【一隅三反】
1．（2023下·西藏林芝·高一校考期末）在复数范围内解下列方程：(1)230x +=；(2)210x x ++=．(3)240z +=；(4)210400z z -+=．
【答案】(1)x =(2)x =
(3)2i z =或2i z =-．(4)5z =或5z =．
【解析】（1）230x +=即为223i x =，故x =.
（2）2
10x x ++=即为2
2133i 244x ⎛
⎫+=-= ⎪⎝
⎭，
故12x +
=，所以12x =-.（3）240z +=，则24z =-，则2i z =±.
（4）配方，得()2
515z -=-．5z -=或5z -=，所以5z =或5z =．
2（2024上海）已知2z i =+是关于x 的方程20x px q ++=的一个根，求实数p、q 的值及方程的另一个根．【答案】4p =-，5q =，另一个根2i -．
【解析】因为2z i =+是方程20x px q ++=的一个根，
所以()()2
220i i p q ++++=，即()3240q p p i ++++=，
所以32040q p p ++=⎧⎨+=⎩，解得45
p q =-⎧⎨=⎩，
所以方程为2450x x -+=，因为124x x +=，
所以方程的另一个根是2x i =-.3（2024江苏）已知复数5
1i 12i
z =+++，i 为虚数单位.（1）求z 和z ；
（2）若复数z 是关于x 的方程20x mx n ++=的一个根，求实数m ，n 的值.【解析】（1） 复数5
5(12)
1112(12)(12)i z i i
i i i -=++=++++-1212i i i =-++=-，
||z ∴==2z i =+．
（2） 复数z 是关于x 的方程20x mx n ++=的一个根，
2(2)(2)0i m i n ∴-+-+=，
24420i i m mi n ∴-++-+=，(32)(4)0m n m i ∴++-+=，
∴320
40m n m ++=⎧⎨
+=⎩
，
解得4m =-，5n =．
考法五复数模的最值
【例5】（2023·浙江）已知复数z 满足1z =，则2z -的取值范围为．
【答案】[]
2,4【解析】1z =表示z 对应的点是单位圆上的点，
2z -
的几何意义表示单位圆上的点和(之间的距离，
2z -
的取值范围转化为点(到圆心的距离加上半径可得最大值，
减去半径可得最小值，
14=12-=，
所以2z -的取值范围为[]2,4.故答案为：[]2,4.
【一隅三反】
1．（2024·上海）已知C z ∈，且i 3z +=，i 为虚数单位，则33i z --的最大值是．
【答案】8
【解析】因为C z ∈且i 3z +=，
所以，根据复数模的几何意义，z 表示以(0,1)-为圆心，3为半径的圆，所以，33i z --表示圆上的点和点(3,3)的距离，
因为圆心(0,1)-到点(3,3)5=，
max 35833i z =-+-=，
故答案为：8
2．（2023·全国·模拟预测）设z 是复数且12i 1z -+=，则z 的最小值为（）
A ．1
B 1
C 1
D
【答案】C
【解析】根据复数模的几何意义可知，12i 1z -+=表示复平面内以()1,2-为圆心，1为半径的圆，而z 表示复数z 到原点的距离，
由图可知，min 11z =-=.故选：C
3．（2024北京）（多选）已知i 为虚数单位，下列说法正确的是（）
A ．若复数z 满足i z -=z 在复平面内对应的点在以()1,0
B ．若复数z 满足28i z z +=+，则复数158i
z =+C ．复数的模实质上是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模
D ．非零复数z 1对应的向量为1OZ
，非零复数z 2对应的向量为2OZ ，若1212z z z z +=-，则12
OZ OZ ⊥ 【答案】CD
【解析】对于A 项，设i z a b =+(),a b ∈R ，则()i 1i z a b -=+-，
由i z -=可得，()2
215a b +-=，
所以满足i z -=的复数z 在复平面内对应的点在以()0,1A 错误；
对于B 项，设i z a b =+(),a b ∈R ，则z =，
由28i z z +=+可得，i=2+8i a b +，
根据复数相等的条件可得2
8
a b ⎧⎪=⎨=⎪⎩，解得158a b =-⎧⎨=⎩，
所以158i z =-+，故B 项错误；
对于C 项，由复数的模的定义知C 正确；
对于D 项，由1212z z z z +=-的几何意义知，以12OZ OZ
，
为邻边的平行四边形为矩形，从而两邻边垂直，故D 正确.故选：CD .
考法六复数的综合运用
【例6】（2024·浙江宁波）（多选）已知复数1z ，2z ，则下列结论正确的有（
）
A ．22
11z z =B ．1212z z z z ⋅=⋅C ．1212z z z z =⋅D ．1212
z z z z +=+【答案】BC
【解析】设1i z a b =+，2i z c d =+，其中,,,R a b c d ∈.
对于选项A:()2
22222211i 2i,2i z a b a b ab z a b ab =+=-+--=，所以2ab 与2ab -不一定相等，故选项A 错误；对于选项B:因为()()()()12i i i z z a b c d ac bd ad bc ⋅=++=-++，所以()()21i z b z ac d ad bc ⋅=--+，
因为()()()()12i i i z z c d ac bd a b ad bc ⋅-=--+=-，
所以1212z z z z ⋅=⋅,故选项B 正确；
对于选项C:因为()()()()12i i i z z a b c d ac bd ad bc ⋅=++=-++,
所有12z z =
=
因为11z z =，所以1212z z z z =⋅,故选项C 正确；
对于选项D:因为()()12i z z a c b d +=+++，所以12z z +=
12z z +=,故选项D 错误；
故选：BC.【一隅三反】
1．（2024·云南德宏）（多选）已知z 是复数z 的共轭复数，则下列说法正确的是（
）
A ．2
z z z ⋅=B ．若||1z =，则1
z =±C ．||||||z z z z ⋅=⋅D ．若|1|1+=z ，则|1|z -的最小值为1
【答案】CD
【解析】对于A ，设()i ,R z a b a b =+∈，则()()2
22i i z z a b a b a b z ⋅=+-=+=，但()()()2
222i i i 2i z a b a b a b a ab b =+=++=+-，故A 错误；
对于B ，令i z =，满足i 1z ==，故B 错误；
对于C ，设()i ,R z a b a b =+∈，则i z a b =-所以()()22
i i z z a b a b a b ⋅=+-=+，则
2222
z z a b a b ⋅=+=+22z z a b ⋅==+，所以||||||z z z z ⋅=⋅，故C 正确；
对于D ，设()i ,R z a b a b =+∈，则11i 1z a b +=++=
=，
即()2
211a b ++=，表示以()1,0-为圆心，半径为1的圆，
1z -=()1,0
的距离，故1z -11=，故D 正确.
故选：CD
2（2023湖北）（多选）设1z ，2z 是复数，则（）
A．1212
z z z z -=-B．若12z z ∈R ，则12
z z =C．若120z z -=，则12
z z =D．若22
12
0z z +=，则120z z ==
【答案】AC
【解析】设1i z a b =+，2=+z x yi ，a ，b ，x ，y ∈R ，
12()()i ()()i z z a x b y a x b y -=-+-=---12i (i)a b x y z z =---=-，A 成立；
()()12i 0z z a x b y -=-+-=，则22()()0a x b y -+-=，所以a x =，b y =，
从而12z z =，所以12z z =，C 成立；
对于B，取1i z =，22i z =，满足12z z ∈R ，但结论不成立；
对于D，取1i z =，21z =，满足22
12
0z z +=，但结论不成立.故选：AC
3．（2024甘肃（多选））设12,z z 是复数，则下列命题中的真命题是（）
A．若120z z -=，则12z z =B．若12z z =，则12
z z =C．若12=z z ，则1122
z z z z ⋅=⋅D．若12=z z ，则22
12
z z =【答案】ABC
【解析】对于A，因12|0|z z -=，则120z z -=，即12z z =，则12z z =为真，A 正确；对于B，因12z z =，则1z 和2z 互为共轭复数，则12z z =为真，B 正确；
对于C，设1112221122i,i,,,,z a b z a b a b a b =+=+∈R ，因12||||z z ==22221122a b a b +=+，于是得2222
1111111122222222z (i)(i)(i)(i)z z a b a b a b a b a b a b z ⋅=+⋅-=+=+⋅-=⋅=+，则1122z z z z ⋅=⋅为真，C 正确；对于D，当121,i z z ==，有12||||z z =，而22121,1z z ==-，即22
12z z =为假，D 不正确.
故选：ABC
一．单选题
1．（2024·湖南邵阳）下列各式的运算结果不是纯虚数的是（
）
A ．2(1i)+
B ．2(1i)-
C ．
1i
1i
-+D ．4
(1i)+【答案】D
【解析】对于A ，22(1i)=1i 2i 2i +++=，故A 正确；对于B ，22(1i)=1i 2i 2i -+-=-，故B 正确；
对于C ，()()()2
1i 1i 2i ==i 1i 1i 1i 2
---=-++-，故C 正确；对于D ，4222(1i)(1i)(1i)2i 2i 4i 4+=++=⋅==-，故D 错误.故选：D.
2．（2024·云南昆明）复数
i
2i
+在复平面内对应的点位于（）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】A 【解析】由题意()()()i 2i i 12i 22i 2i 5i -+==++-，所以复数i 2i +在复平面内对应的点为12,55⎛⎫ ⎪⎝⎭
，它在第一象限.故选：A.
3．（2024上·山东枣庄）若z 是方程210x x ++=的一个虚数根，则2z z -=（
）
A ．0
B ．-1
C 3i
D ．-13i
【答案】A
【解析】方程210x x ++=化为：213(24x +=-，依题意，1322
z =-+或1322z =--，
显然1z z +=-，又210z z ++=，即21z z =--，所以21(10z z z z z z -=---=-+-=.故选：A
4．（2023·安徽）若复数z 满足()1i 1i z +=+，则z 的虚部为（
）
A ．
B ．2
C ．
i 2
D ．
2
【答案】D
【解析】由()1i 1i z +=+=)()()1i 1i 1i 1i 22
z -=
==-++-，
所以i 22z =
+，即z 的虚部为2
故选：D ．5．（2024·湖北武汉）已知复数z 满足23i
23i z z
+=-，则z =（）
A ．3
B
C ．7
D ．13
【答案】B
【解析】由题设2()()1323i 23i z -+==，
令i z a b =+，且,R a b ∈，则222(i)2i 13
a b a b ab +=-+=
所以22130a b ab ⎧-=⎨=⎩，故2213
a b ⎧=⎨=⎩，故z ==故选：B
6．（2023·广东中山）复数z 满足i i (1)2+=z ，其中i 为虚数单位，则（
）
A ．20z z +=
B ．0z z +=
C ．0z z -=
D ．220
z z -=【答案】A
【解析】由i i (1)2+=z ，得2i 2i (1i)22i
1i 1i (1i)(1i)2
z ⋅-+=
===+++-，1i z =-，对于A ，2
222(1i)(1i)2i 2i 0z z +=++-=-=，A 正确；对于B ，(1i)(1i)2z z +=++-=，B 错误；对于C ，(1i)(1i)2i z z -=+--=，C 错误；
对于D ，2
222(1i)(1i)2i 2i 4i z z -=+--=+=，D 错误.故选：A
7．（2024·河北保定）已知复数z 满足()
72728
2i 3i 4i z +=+，则z 在复平面内对应的点位于（
）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】A
【解析】由()7
27
282i 3i
4i z +=+，得()2i 43i z -=-，
所以()()()()43i 2i 43i 112i 2i 2i 2i 55z -+-=
==---+，所以112
i 55
z =+，所以z 在复平面内对应的点为112,55⎛⎫
⎪⎝⎭
，位于第一象限.
故选：A.
8．（2023·全国·统考模拟预测）已知复数12n
z ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
，n *∈N 且0z >，则n 的最小值为（）
A ．1
B ．3
C ．6
D ．9
【答案】C
【解析】因为2
1131i i 2244222⎛⎫+=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，3
11131
122222244⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-++=--=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，4
111
i 222222⎛⎫⎛⎫+=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，5
11111
22222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=--= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，6
11113
122244⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，所以，当6n =时，0z >，故n 的最小值为6.故选：C.二．多选题
9（2023福建）若实数x ，y 满足(i)(3i)24i x y ++=+，则（）
A．1i y +的共轭复数为1i -B．1xy =
C．|i |y +D．32
y x -=-【答案】BCD
【解析】因为(i)(3i)(3)(3)i 24i x y x y xy ++=-++=+.所以32x y -=，34xy +=，即32y x -=-，1xy =，则3
2y y
-
=-.解得1y =或3y =-，
故A 错误，B，C，D 均正确.故选：BCD.
10．（2024河北邢台）若复数z 满足i 2i z =-+（其中i 是虚数单位），则（）
A．z 的实部是2B．z 的虚部是2i C．12i z =-
D．|z |=【答案】CD
【解析】依题意i 2i z =-+，两边乘以i 得12i,12i z z -=--=+，所以z 的实部为1，虚部为2，所以AB 错误.12i z =-，所以C
正确.
z =，所以D 正确.
故选：CD
11．（2024·
河南南阳）设复数122
z =--的共轭复数为z ，则下列结论正确的有（
）
A ．22cos i sin 33z ππ=+
B ．212
z z =C ．
1z z
=D ．222
z z +=【答案】AC
【解析】对于A
，122i=cos isin
2233z ππ
=-+，故A 正确；对于B
，2211
2221
12z z -+-+===⎛⎫- ⎪⎝⎭
，故B 错误；对于C
，2
1122122z z ⎛⎫-+ ⎪-+=--⎝⎭⎝⎭
，所以1z z =，故C 正确；
对于D
，221122z ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭
，2
21122z ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以21z z +=-，故D 错误.故选：AC
12．（2023·
湖南衡阳）在复平面内，复数z =
，正确的是（）
A ．复数z 的模长为1
B ．复数z 在复平面内对应的点在第二象限
C ．复数z 是方程210x x -+=的解
D ．复数ω
满足max 1,1z ωω-==则【答案】AC
【解析】由z =
得
2112
z =
=
，则12z =对于
A,1z =
，故A 正确，对于B,复数z 在复平面内对应的点为1,2
⎛
⎝⎭
，故该点位于第四象限，故B
错误，对于
C,2
11131i i 1i i 10222242422⎛⎫⎛⎫---+=---++= ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,故12z =是210x x -+=的复数根，故C 正确，
对于D ，设复数ω对应的向量为(),
OW x y = 到,复数z 对应的向量为1
,2
2OZ ⎛⎫
=-
⎪ ⎪⎝⎭
,由
1z ω-=得1ZW = 的
距离为1，故复数ω对应点的(),x y 在以1,22⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭为圆心，半径为1的圆上，故ω的最大值为112OZ r +=+=
，故D 错误，
故选：AC 三．填空题
13．（2023·上海黄浦）复数1z ，2z 在复平面上对应的点分别为()11,2Z ，()21,3Z -，则12z z +=；
【答案】5i
【解析】因为复数1z ，2z 在复平面上对应的点分别为()11,2Z ，()21,3Z -，则1212i z 13i z =+=-+，，则1205i=5i z z +=+故答案为：5i
14．（2023·上海宝山）已知复数1z ，2z 满足11z =，22z =，312z z z =-，则3z 在复平面所对应的点组成的图形的面积为．
【答案】8π
【解析】11z = ，1z ∴是以复平面内点()0,0为圆心，以1为半径的圆，
312z z z =- ，213z z z ∴=-2132z z z ∴=-=，
13132,2z z z z ∴+≥-≤，即313z ∴≤≤，
∴复数3z 以复平面内点()0,0为圆心，半径为1和3的两圆构成的圆弧，
则3z 在复平面所对应的点组成的图形的面积为：()
22
318S ππ
=⨯-=故答案为：8π.
15．（2024·课时练习）若有两个数，它们的和是4，积为5，则这两个数是.
【答案】2i
±【解析】设()12,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈，依题意有12124,5z z z z +=⋅=，
即()()4
5a c b d i ac bd ad bc i ⎧+++=⎪⎨-++=⎪⎩，所以4
050a c b d ac bd ad bc +=⎧⎪+=⎪⎨
-=⎪
⎪+=⎩.将=-b d 代入0ad bc +=，得a c =；将a c =代入4a c +=，解得2a c ==；将2a c ==代入5ac bd -=，得1bd =-，结合=-b d 解得11b d =⎧⎨=-⎩或1
1
b d =-⎧⎨
=⎩.所以对应的数为2i +、2i -.
故答案为：2i
±16．（2023上海）已知i 为虚数单位，则集合{}
23*
i i i i ,n A x x n N ==+++⋅⋅⋅+∈中元素的个数为___________.
【答案】4
【解析】当*4,n k k N =∈时，23i i i i 0n x =+++⋅⋅+=⋅；当41,n k k N =+∈时，23i i i i i n x =+++⋅⋅+=⋅；
当42,n k k N =+∈时，232i i i i i i i 1n x =+++⋅⋅⋅+==-+；
当43,n k k N =+∈时，2323i i i i i i i 1n x =+++⋅⋅⋅+++==-，所以集合A 中元素的个数为4．故答案为：4．四．解答题
17．（2023·浙江·）已知复数z 满足1i 1i
12
z +-=-（i 是虚数单位）(1)求z 的值；
(2)若复数()2
5z m z --在复平面内对应的点在第三象限，求实数m 的取值范围.
【答案】(1)12i +；(2)7
(,4)2
.
【解析】（1）由
1i 1i
12
z +-=-，得
()()()()()21i 21i 1i 1112i 1i 1i 1i z +++=+=+=+--+.（2）由（1）知，222)512i)512i)(1)94(1)i 10i
(((z m z m m m --=-+--=--+-+228)272)i ((m m m =--+-，由复数()2
5z m z --在复平面内对应的点在第三象限，
得22802(72)0
m m m ⎧--<⎨-<⎩，解得7
42m <<，
所以实数m 的取值范围为7
(,4)2
.
18．（2023·浙江）已知复数4i z a =+，其中a 是正实数，i 是虚数单位．(1)如果()3i z a a +为纯虚数，求实数a 的值；(2)如果2a =，11i
z
z =
-是关于x 的方程20(,R)x bx c b c ++=∈的一个复根，求b c +的值．【答案】(1)12a =；(2)8.
【解析】（1）解：因为()()()223i 4i 3i 12(34)i z a a a a a a a a a +++==-++，
由()3i z a a +为纯虚数，可得22120340a a a a ⎧-=⎨+≠⎩
，解得12a =；
（2）解：因为2a =，所以42i z =+，142i (42i)(1i)(2i)(1i)13i 1i (1i)(1i)
z +++=
==++=+--+，将113i z =+代入方程20(,R)x bx c b c ++=∈，得2()(013i i)13b c +++=+，即有8(63)i=0b c b +-++，所以80b c +-=，8+=b c .
19．（2023·广东东莞）已知i(,),2i z a b a b z =+∈+R 和i
1z
-均为实数，其中i 是虚数单位.(1)求复数z ；(2)若117i 12
z z m m =+
--+对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围.【答案】(1)22i;z =-(2)132,1,22⎛
⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎝
⎭⎝⎭
【解析】（1）()i ,R z a b a b =+∈ ，
()2i 2i z a b ∴+=++，
()()()()()i 1i i i i 1i 1i 1i 1i 222a b a b a b z a b a b a b
++-+++-+====+---+，由题意，200b a b +=⎧⎨+=⎩
，可得2,2a b ==-，则22i;
z =-（2）117172123
i 22i i i 121212
m m z z m m m m m m --=+
-=++-=+-+-+-+，由题意，21
01
230
2
m m m m -⎧>⎪⎪-⎨-⎪<⎪+⎩，解得122m -<<或312m <<.
∴实数m 的取值范围是132,1,22
⎛⎫
⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝⎭
.
20．（2023·辽宁沈阳）在①复数z 满足i z +和
2i
z
-均为实数；②z 为复数z 的共轭复数，且()1i 1z z +=+；③复数()i ,0z a b a b =+∈<R 是关于x 方程2450x x -+=的一个根，这三个条件中任选一个（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分），并解答问题：(1)求复数z ；
(2)在复平面内，若()211
3i z z m m m
=+++-对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围.【答案】(1)2i z =-(2)()
12,0,12⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭U 【解析】（1）若选①：设()i ,z a b a b =+∈R ，则()i 1i z a b +=++，
()()()()i 2i 22i 2i 2i 2i 55
a b z
a b a b ++-+==+--+，若i z +和2i z -均为实数，则10
205
b a b +=⎧⎪
+⎨=⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=-⎩，
所以2i z =-；
若选②：设()i ,z a b a b =+∈R ，则i z a b =-，因为()1i 1z z +=+，则()()i 1i i 1a b a b ++=-+，整理得()()()i 1i a b a b a b -++=+-，
则1a b a a b b -=+⎧⎨+=-⎩，解得21
a b =⎧⎨=-⎩，所以2i z =-；
若选③：因为2450x x -+=，则()2
21x -=-，解得2i x =±，且()i ,0z a b a b =+∈<R ，所以2i z =-.
（2）由（1）可得2i z =+，则()()()22211113i 2i 3i 22i z z m m m m m m m m m ⎛⎫=+
++-=++++-=+++- ⎪⎝
⎭，若1z 对应的点在第四象限，则212020m m m ⎧+>⎪⎨⎪+-<⎩，解得122m -<<-或01m <<，所以实数m 的取值范围为()12,0,12⎛⎫-- ⎪⎝
⎭U .21．（2023上·广东深圳）已知复数i z x y =+，(),x y ∈∈R R ，其中i 为虚数单位，且满足2z =，且1z -为纯虚数.
(1)若复数i z x y =+，(),x y ∈∈R R 在复平面内对应点在第一象限，求复数z ；
(2)
(3)若在（1）中条件下的复数z 是关于x 的方程()20,R x mx n m n ++=∈的一个根，求实数m ，n 的值.
【答案】
(1)1=+z (2)答案见解析
(3)2m =-，4
n =【解析】（1）因为复数i z x y =+，(),x y ∈∈R R ，所以11i z x y -=--，又1z -为纯虚数，所以1x =，
又2z ==
，所以y =又因为复数z 在复平面内对应点在第一象限，
所以y =
1=z .
（2）由（1
）可知1z =
当1=z
时，
2i 12i 3i 2i 1i 444
z -++===-，
当1z =
时，
)(
)2i 12i 5i 444
z ===-+.（3）法一：由（1
）可知1=+z 是关于x 的方程()20,R x mx n m n ++=∈的一个根，
所以把1=+z ，代入20x mx n ++=
得(
)()2110m n ++⋅++=，
化简得2i 0m n +-++=，
即200m n +-=⎧⎪+=，解得：2m =-，4n =法二：由（1
）可知1=z 是关于x 的方程()20,R x mx n m n ++=∈的一个根，
所以此方程的另一根为：1z =，则24z z m z z n +=-=⎧⎨⋅==⎩
，解得：2m =-，4
n =22．（2024·全国·高三专题练习）已知关于x 的二次方程()()2tan i i 20x x θ-+-+=．
(1)当θ为何值时，这个方程有一个实根？
(2)是否存在θ，使得原方程有纯虚数根？若存在，求出θ的值；若不存在，试说明理由．
【答案】(1)()ππ4
k k θ=+∈Z (2)不存在，理由见解析
【解析】（1）设0x 是方程的一个实根，则()()200tan i i 20,
x x θ-+-+=即()()2000tan 2i 10.
x x x θ-⋅--+=根据复数相等的意义知2000tan 2010
x x x θ⎧-⋅-=⎨+=⎩解得：()0π1,tan 1,π4x k k θθ=-==+
∈Z ．所以，当()ππ4
k k θ=+∈Z 时，原方程有一实根01x =-．（2）假定方程有纯虚数根i b （b ∈R ，且0b ≠），代入原方程得
()()()2
i tan i i i 20,
b b θ-+⋅-+=即()22tan 1i 0.b b b θ-+--+=由复数相等意义知220(tan 1)0
b b b θ⎧-+-=⎨-+=⎩
但方程220b b -+-=即220b b -+=无实数解，即实数b 不存在．所以，对任何实数θ，原方程不可能有纯虚数根．。