重力势能与引力势能关系的讨论

重力势能与引力势能关系的讨论引言
在高中力学学习中，重力和引力的性质相同，重力势能，与物体离地面的高度成正比；引力势能，其绝对值与物体离地心的距离成反比，二者的表达式不同，甚至连符号也相反？为何重力势能公式与引力势能公式二者
差别这么大？这个问题在一般教学中往往没有讨论,使多数学生在学习过程中感
到很难理解,甚至认为这两个公式有点矛盾。

这两个势能只因选择的零势能面不同，其计算表达式有所差异，它们既有区
别又有联系，教学过程中只有理解了它们的实质才不易混淆，笔者对此进行以下
分析。

1势能的性质
组成物体系统内的各物体间存在一定的相互作用力，并且由其相对位置所决
定的能量在物理学上定义为势能，势能为能量的一种，具有能量量纲，在国际单
位制中的单位是焦耳（J），如分子势能、重力势能、弹性势能、引力势能、电
势能等。

势能具有标量性、系统性和相对性，标量性指势能是一个标量函数，只
有大小（有正负）无方向性，物体所具有的总势能应为所有势能的代数和；系统
性是指势能的值是相互作用的物体系统共有的，而不是单个物体独有的，如物体
的重力势能是指物体和地球系统共有的，离开地球就没有重力势能；相对性是指
势能的值是随零势能面的选择不同而不同，它的值是相对零势能面而言的，但势
能的变化与零势面的选择无关，原则上可以任意选择零势能面，但通常是以解决
问题的方便和通常习惯为标准，如弹性势能以弹簧原长处为零点，引力势能一般
取无限远为势能零点。

重力是地球对物体的吸引产生的，物体由于被举高而具有的能叫做重力势能，定义为
物体具有的重力势能的大小与物体
，
的质量成正比，与物体被举高的高度成正比。

物体在某一个位置所具有的重力势能其实是该点相对于零势能点（或面）的势能之差。

以图1为例讨论重力势能的相对性。

①若以桌面为零势能面，即，则一定质量
为的物体在A点具有的重力势能为：
物体在C点的重力势能为：
②若选取地面为零势能面，即，则物体在A点的重力势能为：
③若零势能面的选取由地面C改为以桌面B为零势能面，一定质量为物体在A位置的相对重力势能就发生变化，设物体在A点相对B点的重力势能为，物体在A点相对地面C的重力势能为，物体在地面C点相对B点的重力势能为，那么因零势能参考面的改变，物体在A点相对B点的重力势能可理解为：
2万有引力做功和引力势能
物体(特别指天体)在万有引力场中具有的势能叫做引力势能。

如图2设地球半经为，将一定质量为的物体从距离地心为
的初始位置1移动到无穷远处的位置2（记为∞），设地球对其引力所做的功为，根据万有引力公式和功的定义有：
(1)
然而保守力做功与移动的路径无关，只与起点和终点的位置有关，如重力、
万有引力、弹力、静电力、分子力等，保守力做功和相对应的势能之间的关系为：
(2)
这样结合（1）（2）得:
(3)
由（3）可知当选择两质点相距无穷远为势能的零点，即时，引力势
能函数积分相加的常数项为0，其具有简单的形式，更便于问题的研究
和解决，也就说（3）式表示的引力势能是因选无穷远处为零点而得到的。

这样
物体在距离地心为的位置1所具有的引力势能可表示为：
（式中表示地球的质量，表示物体的质量，表示物体到地球球心之
间的距离，表示物体离地面高度）
讨论引力势能的相对性，设物体在距离地面高处相对地面的引力势能为
，物体相对无穷远处的引力势能为，物体在无穷远处相对地面的引
力势能为（根据万有引力做功的特点，物体从无穷远处移到到地球表面，
引力做正功为，即物体处在无穷远处相对地面的引力势能为
），若将零势能参点由无穷远处改为以地面为零势
能面，由以上势能的相对性分析知：
(4)
由万有引力和重力的关系知，因地球自转产生的重力和万有引力的误差在赤道海平面处最大，为5.3‰，对计算结果影响很小。

地球的半径很大
（）,即使在赤道1万米的高空，也还是；当物体到地球中心为（物体离地面的高度），此时在赤道上空因忽略地球自转产生的误差为2.70%；当物体到地球中心为（物体离地面的高度），地球自转产生的误差为9.29%。

可见只有物体在地面附近很小范围里(并不是一定要非常接近，只要跟地球的半径比起来很小就行了即 )，引力产生的加速度才近似是重力加速度g，重力加速度g可视为常数。

在地球表面附近，物体离地面的高度远小于地球半径即时，物体重力与万有引力相等，根据万有引力定律和牛顿第二定律有：
(5)
由（4）（5）知以地面为引力势能零势能参面，质量为的物体在位置1相对地面的引力势能可表示为：
当时，引力势能；当时，引力势能为，地面为势能的零参考点；引力势能是物体离地面高度的函数，其量值不仅为正值，而且与地面的高度成正比。

就是说在和忽略地球自转影响情况下，物体所受重力就是地球对物体的引力，所谓的重力势能事实上就是引力势能。

3重力势能与引力势能
由以上讨论可知物体的重力势能是引力势能在地面附近很小范围里的表述，因为只有在地面附近，引力产生的加速度才近似是重力加速度g，没有考虑重力随高度变化的情况，我们平时所用的重力势能表达式是万有引力势能的表达式在且选地面为参考平面时的特殊情形。

然而到了外太空，引力会随物体离地心的距离而发生明显变化，产生的加速度就比g小得多
了，考虑这种变化，势能就不能再像上面一样表达了，引力势能的表达公式为，引力势能之所以为负值是因为选定无穷远为势能零点所造成的，物
体由无穷远运动到距地心为位置的过程中，引力作正功消耗引力势能而转化为
其它形式的能，所以引力势能降低，比零参考点低,为负值。

一般高度较小时，通常只讲物体的重力势能，当较大时，一般谈论的是物体的引力势能。

是时引力势能的表达式，而是时重力势能
的表达式。

重力势能和引力势能因所选择的零势能面不同，其表达形式不同，在较小时若选择相同的零势能面（如地面），其形式是一致的，物体与地球之间
的引力以及它们之间的势能本身是客观存在的自然规律,重力势能和引力势能其
本质性是一致的，它们的本质不会因为坐标原点的选择不同以及势能零参考点的
选择不同而改变，势能的变化量与零势能面的选取无关。

在具体的教学过程中只
有理解了规律和公式的本质和内涵，解题过程中才能灵活的应用。

参考文献：
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