高等数学 第9章 方向余弦 细化版 精华

细化版
还有更多更多的细化版与优化版
联系旺旺:o 弦官
买一赠多,买细化版赠优化版,word2013(可激活),相关原教材,mathtype6.9最新版
三、曲面的切平面与法线
我们先讨论由隐式给出曲面方程F(x,y,z)=0(15)的情形,
然后把由显式给出的曲面方程z=f(x,y)作为它的特殊情形,
设曲面∑由方程(15)给出,
000M(x ,y ,z )是曲面上∑的一点,
并设函数F(x,y,z)的偏导数在该点连续且不同时为零.
在曲面∑上,
通过点M 任意引一条曲线Γ(图9-8),
假定曲线Γ的参数方程为x φ(t),y ψ(t),z ω(t)(αt β)===≤≤(16)
0t t =对应于点000M(x ,y ,z )且0φ(t )'00ψ(t ),ω(t )''不全为零,
则由(8)式可得这曲线的切线方程为000000x x y y z z .φ(t )ψ(t )ω(t )
---==''' 我们现在要证明,在曲面∑上通过点M 且在点M 处具有切线的任何曲线, 它们在点M 处的切线都在同一个平面上,
事实上,
因为曲线Γ完全在曲面∑上,
所以有恒等式F(φ(t),ψ(t),ω(t)]0,≡
又因F(x,y,z)在点000(x ,y ,z )处有连续偏导数,
且00φ(t ),ψ(t )''和0ω(t )'存在,
所以这恒等式左边的复合函数在0t t =时有全导数,
且这全导数等于零:0t=t d F[φ(t),ψ(t),ω(t)]|0,dt
= 即有x 0000F (x ,y ,z )φ(t )'y 0000F (x ,y ,z )ψ(t )'+z 0000F (x ,y ,z )ω(t )0.'+=(17) 引入向量x 000y 000z 000n F (x ,y ,z ),F (x ,y ,z ),F (x ,y (,z ),)=
则(17)式表示曲线(16)在点M 处的切向量000T φ(t ),ψ(t ),(t ))ω('''=与向量n 垂直, 因为曲线(16)是曲面上通过点M 的任意一条曲线,
它们在点M 的切线都与同一个向量n 垂直,
所以曲面上通过点M 的一切曲线在点M 的切线都在同一个平面上(图9-8). 这个平面称为曲面∑在点M 的切平面, 这切平面的方程是x 0000F (x ,y ,z )(x x )-y 0000F (x ,y ,z )(y y )+-+z 0000F (x ,y ,z )(z z )0.-=l(18) 通过点000M(x ,y ,z )且垂直于切平面(18)的直线称为曲面在该点的法线, 法线方程是0x 000x x F (x ,y ,z )-0y 000y y F (x ,y ,z )-=0z 000z z 0.F (x ,y ,z )
-==(19) 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量,
向量x 000y 000z 000n F (x ,y ,z ),F (x ,y ,z ),F (x ,y (,z ))=
就是曲面∑在点M 处的一个法向量,
现在来考虑曲面方程z=f(x,y)(20)
令F(x,y,z)=f(x,y)-z,
可见x x F (x,y,z)f (x,y),=y y F (x,y,z)f (x,y),=z F (x,y,z) 1.=-
于是,当函数f(x,y)的偏导数x f (x,y),y f (x,y)在点00(x ,y )连续时,
曲面(20)在点000M(x ,y ,z )处的法向量为x 00y 00n (f (x ,y ),f (x ,y ),1),=- 切平面方程为x 000y 0000f (x ,y )(x x )f (x ,y )(y y )(z z )0,-+---=
或0x 000y 000z z f (x ,y )(x x )f (x ,y )(y y ),-=-+-(21) 而法线方程为000x 00y 00x x y y z z f (x ,y )f (x ,y )1
---==-(22) 这里顺便指出,方程(21)右端恰好是函数z=f(x,y)在点00(x ,y )的全微分, 而左端是切平面上点的竖坐标的增量,
因此,函数z=f(x,y)在点00(x ,y )的全微分,
在几何上,
表示曲面z=f(x,y)在点000(x ,y ,z )处的切平面上点的竖坐标的增量,
如果用α,β,γ表示曲面的法向量的方向角,
并假定法向量的方向是向上的,
即使得它与z 轴的正向所成的角γ是一锐角,
则法向量的方向余弦为cos α=
f cos β-=
cos γ=
这里,把x 00y 00f (x ,y ),f (x ,y )分别简记为x y f ,f .
例6
求球面222x y z 14++=在点(1,2,3)处的切平面及法线方程
,
解
222F(x,y,z)x y z =14=++
x y z n (F ,F ,F )(2x,2y,2z),==
(1,2,3)n |(2,4,6)=
所以在点(1,2,3)处此球面的切平面方程为2(x-1)+4(y-2)+6(z-3)=0, 即x+2y+3z-14=0. 法线方程为
y 2x 1z 3,123
---== 即y x z .123== 由此可见,法线经过原点(即球心).
例7
求旋转抛物面22z x y 1=+-在点(2,1,4)处的切平面及法线方程, 解
22f(x,y)x y 1,=+-
x y n (f ,f ,1)(2x,2y,1),=-=-
(2,1,4)n |(4,2,1).=-
所以在点(2,1,4)处的切平面方程为4(x-2)+2(y-1)-(z-4)=0. 即4x+2y-z-6=0. 法线方程为y 1x 2z 4.421---==-loo。